- neden sıfıra eşit değildir? ya da / neden 1'e eşit değildir? Matematiksel olarak yanlış gibi görünen bu tür işlemler, sonsuzluk kavramının tam olarak anlaşılamamasından kaynaklanmaktadır. Bu makalemde sonsuzluk kavramının tanımlarından ve sonsuz içeren matematiksel hesaplamaların nasıl yapılacağından bahsetmek istiyorum.
Öncelikle sonsuz içeren bazı işlemlerin sonuçlarına göz atalım.
sayı -
= -sayı x
=-sayı x
= --sayı x (-
) =sayı /
= 0e =
e- = 0
0 x
= Belirsiz0 x -
= Belirsiz1 = Belirsiz
Matematikte sonsuz kavramı hakkındaki en yaygın hata, sonsuzun sayılamayacak kadar büyük bir sayı zannedilmesidir. Fakat sonsuz, sonu belli olmayan işlemleri veya sayıları temsil eder. Çarpma, bölme, toplama, çıkarma gibi işlemlerde bazı kabuller yapılarak sonuç basitleştirilir. 10 'nu üçe bölüp sonucu 'e yuvarlamamız gibi. Bu kabuller sonucu çok fazla değiştirmez. Fakat sonsuz () içeren işlemler için kabuller yapılamaz. Çünkü sonsuzun matematiksel işlemleri farklı sonuçlara sahip olabilir.
İşlemlerde birden fazla sonsuz varsa bu sonsuzların birbirine eşit olup olmadığını bilemeyiz. Örneğin aşağıdaki işlemlerin sonuçları sonsuzdur.
İşlemlerin sonuçlarını bilmiyoruz. Sadece toplama ve çarpma işlemlerinin sonsuza kadar gittiğini biliyoruz. Bu nedenle sonuç sonsuzdur diyebiliyoruz. Ayrıca işlemlerin sonucu olan iki sonsuzun birbirine eşit olup olmadığını da bilmiyoruz. Eşit olsaydı 1+1+1+ = 9x9x9x olurdu. Yani eğer bir işlemde birden fazla sonsuz varsa bu sonsuzların birbirine eşit olup olmadığını bilemeyiz. Bu nedenle örneğin sonsuz - sonsuz işleminin sonucu sıfır değildir. Benzer olarak sonsuz / sonsuz işleminin sonucu da 1 değildir.
Pek çok sonsuz işleminde sonsuzu sonu olmayan bir sayı olarak düşünürsek sonuca kolaylıkla ulaşabiliriz. Örneğin sonsuz + 1 işleminin sonucu sonsuzdur. Çünkü sonu belli olmayan bir sayıya 1 eklersek yine sonu belli olmayan bir sayı elde ederiz. Benzer olarak sonsuz + sonsuz işleminin de sonucu sonsuzdur. Çünkü sonu belli olmayan iki sayıyı toplarsak sonu belli olmayan bir sayı elde ederiz.
Sonsuzluk kavramını biraz anladıysak sonsuzluk işlemlerimize ve ispatlarımıza geçebiliriz.
Matematiksel olarak bir sayıyı kendisinden çıkarırsak sıfır kalır. Fakat yukarıda da bahsettiğim gibi sonsuz - sonsuz işlemindeki sonsuzlar birbirlerine eşit mi değil mi sorularının cevaplarını bilmiyoruz. Sonsuzların bir sayısal değere sahip ve birbirine eşit büyük bir sayı olduğunu varsayarsak ne gibi hataların oluşacağını görelim. Bu varsayımımıza göre - sonucu sıfır olacaktır. Eşitliğin her tarafına 1 eklersek,
Daha önce bahsettiğim gibi sonu belli olmayan bir sayı ile 1'i toplarsak, yine sonu belirli olmayan bir sayı elde ederiz. Yani sonsuz ile 1'in toplamı yine sonsuzdur. O halde,
sonsuz eksi sonsuz eşitliğinin her tarafına farklı sayılar eklersek, her defasında sonsuz eksi sonsuz işleminin sonucu değişecektir. Bu yüzden sonsuz eksi sonsuz işleminin sonucu "belirsizdir". Sonucu belirsiz olan işlemlere başka bir örnek verelim,
Bu belirsizlik için de bir önceki örnekte olduğu gibi sonsuz / sonuz = 1 varsayımını yapıp, hatalarımızı görebiliriz. Öncelikle şunu belirteyim, sonsuz + sonsuz = sonsuz'dur. Çünkü sonu belirli olmayan iki sayının toplamı, yine sonu belirli olmayan bir sayı olacaktır.
Yine varsayımımızda pekçok hatalarla karşılaşıyoruz. Bu yüzden sonsuz / sonsuz işlemi de belirsizdir. Çünkü işlemde yer alan sonsuzların belirli bir değerleri yoktur, yani birbirine eşit sayılar olup olmadığını bilmiyoruz.
Sonsuz işlemlerinin yapılabilmesi için matematikte limit işleminden yararlanır. Limit işlemi kesin rakamlar yerine yaklaşılan değeri sonuç olarak kabul eder.
Örneğin y = 1 / x fonksiyonuna göz atalım (x>0). X'in sonsuz değeri için fonksiyonumuz y = 1 / şeklini alacaktır. Bu nedenle fonksiyonumuzun limit değeri sıfırdır. Çünkü x yerine 1,2,3,4, sayıları koyarsak, yani x'in aşamalı şekilde sonsuza yaklaştığını düşünürsek, her x değeri için bir y değerimiz olur.
X değeri arttıkça Y değeri küçülür ve X sonsuza yaklaştıkça, Y değeri de sıfıra yaklaşır. Limit işlemi, bu yaklaşılan değeri sonuç olarak kabul eder. Yani fonksiyonun x= için limiti sıfırdır. Fonksiyonumuzun grafiği aşağıdaki gibi görünür. (X ne kadar artarsa, Y o kadar sıfıra yaklaşır.)
Belkide en kafa karıştıran sonsuz işlemlerinden bir tanesi 1'un Belirsiz olmasıdır. Bu işlem 1x1x1x1x1x çarpımlarının sonsuza kadar devam ettiğini gösterir. İlk bakışta "Çarpma işlemi ister tane, ister 10 milyon tane, isterse sonsuz tane olsun, 1'i 1 ile çarparsak sonuç daima 1'dir. Bu nedenle 1 işleminin sonucu 1'dir" diye düşünebiliriz. Bu mantık hatalı değildir. Ancak 1 için öyle bir durum vardır ki sonucun belirsiz olmasına neden olmuştur. Basit limit işlemleri ile bu durumu görelim.
İki fonksiyonumuz olsun f(x) ve g(x). Bu fonksiyonlarımız da aşağıdaki gibi olsun.
Bu fonksiyonlar için x= ise,
sonuçlarını elde ederiz. Yani 1'a ulaşmak için f(x)g(x) işlemini (x= için) kullanabiliriz. Çünkü yukarıdaki görüldüğü gibi x= için f(x)=1 ve g(x)= 'dur.
Artık 1 sonucuna elde ettiğimiz formül ile (f(x)g(x)) ulaşabiliriz.
Yukarıda grafikle anlattığım gibi x= için 1/x sonucu sıfırdır. Yani elimizde limx(1)x limiti kalır ki sonuç 1'dir. Fakat
Yukarıdaki limit işlemi aynı zamanda matematikte özel bir sayısının ifadesidir. Bu sayı Euler Sayısı'dır (e). Euler sayısı yaklaşık olarak değerine sahiptir. Şimdi limit işlemine yeniden bakarsak
değerine ulaşırız. Gördüğünüz gibi 1 için 2 farklı sonuca ulaştık. İşte bu nedenle 1 belirsizdir.
Reply to author
Sign in to reply to author
Forward
Sign in to forward
Delete
You do not have permission to delete messages in this group
Link
Report message as abuse
Sign in to report message as abuse
Show original message
Either email addresses are anonymous for this group or you need the view member email addresses permission to view the original message
to TMOZ
Bir üzeri sonsuz neden belirsizdir?
Reply to author
Sign in to reply to author
Forward
Sign in to forward
Delete
You do not have permission to delete messages in this group
Link
Report message as abuse
Sign in to report message as abuse
Show original message
Either email addresses are anonymous for this group or you need the view member email addresses permission to view the original message
Bir üzeri sonsuz neden belirsizdir?
--
Okul, dersane, özel ders büroları, için her türlü eğitim öğretim faaliyetlerini düzenli takip etmek, dokunmatik ekran, optik okuyucu uyumlu istediğiniz özelliklere sahip paket programlar hazırlatmak isteyenler TecnoSınav programcılık tmoz'a uygun fiyatlarla hizmet vermektedir. Ayrıntılı bilgi için:
seafoodplus.info
seafoodplus.info?ref=mf
TMOZ reklamları için ücret alınmamaktadır. Sadece TMOZ'a destek olanların reklam ve duyurularına destek verilmektedir.
Site reklamlarında tmoz linki olup olmadığına bakılmaktadır. Eğer reklam edilen internet sitesinde tmoz linki veya logosu yoksa mesajı gönderen kişinin mesajları denetime alınır ve gönderdiği mesaj tmozdan silinir. Örnek logo için : seafoodplus.info
Reply to author
Sign in to reply to author
Forward
Sign in to forward
Delete
You do not have permission to delete messages in this group
Link
Report message as abuse
Sign in to report message as abuse
Show original message
Either email addresses are anonymous for this group or you need the view member email addresses permission to view the original message
üzeri sonsuza 0 diyebilen mantık neden 1 üssü sonsuza 1 diyemiyor?
veya 1 üssü sonsuz belirsiz de neden 0,9 üssü sonsuz belirli?
Reply to author
Sign in to reply to author
Forward
Sign in to forward
Delete
You do not have permission to delete messages in this group
Link
Report message as abuse
Sign in to report message as abuse
Show original message
Either email addresses are anonymous for this group or you need the view member email addresses permission to view the original message
taban ile üs bağımlı iken ifade ilgili değer için (limit ile yaklaşılan) 1 üssü sonsuz ile karşılaşılıyorsa bu durum belirsizlikle adlandırılır taban 1 ise biliyoruz ki limit hangi değer için soruluyorsa sorulsun değer 1 seafoodplus.info taban ve üss oynak ise yani birbirine bağımlı ise burumda 1 üssü sonsuz değeri ile karşılaşılıyorsa dikkatli olmak gerek; aşağıdaki tüm ifadeler 1 üssü sonsuz durumuna sahip; ancak yakınsadığı değerler farklıdır;
Reply to author
Sign in to reply to author
Forward
Sign in to forward
Delete
You do not have permission to delete messages in this group
Link
Report message as abuse
Sign in to report message as abuse
Show original message
Either email addresses are anonymous for this group or you need the view member email addresses permission to view the original message
07 Kasım tarihinde bora . <[email protected]> yazdı:
üzeri sonsuza 0 diyebilen mantık neden 1 üssü sonsuza 1 diyemiyor?
veya 1 üssü sonsuz belirsiz de neden 0,9 üssü sonsuz belirli?
Okul, dersane, özel ders büroları, için her türlü eğitim öğretim faaliyetlerini düzenli takip etmek, dokunmatik ekran, optik okuyucu uyumlu istediğiniz özelliklere sahip paket programlar hazırlatmak isteyenler TecnoSınav programcılık tmoz'a uygun fiyatlarla hizmet vermektedir. Ayrıntılı bilgi için:
seafoodplus.info
seafoodplus.info?ref=mf
TMOZ reklamları için ücret alınmamaktadır. Sadece TMOZ'a destek olanların reklam ve duyurularına destek verilmektedir.
Site reklamlarında tmoz linki olup olmadığına bakılmaktadır. Eğer reklam edilen internet sitesinde tmoz linki veya logosu yoksa mesajı gönderen kişinin mesajları denetime alınır ve gönderdiği mesaj tmozdan silinir. Örnek logo için : seafoodplus.info
Başarının onda dokuz temeli , kendine güvenmek ,bütün kudretinle işine sarılmaktır . T. seafoodplus.info
Reply to author
Sign in to reply to author
Forward
Sign in to forward
Delete
You do not have permission to delete messages in this group
Link
Report message as abuse
Sign in to report message as abuse
Show original message
Either email addresses are anonymous for this group or you need the view member email addresses permission to view the original message
07 Kasım tarihinde DNZKRDG <[email protected]> yazdı:
taban ile üs bağımlı iken ifade ilgili değer için (limit ile yaklaşılan) 1 üssü sonsuz ile karşılaşılıyorsa bu durum belirsizlikle adlandırılır taban 1 ise biliyoruz ki limit hangi değer için soruluyorsa sorulsun değer 1 seafoodplus.info taban ve üss oynak ise yani birbirine bağımlı ise burumda 1 üssü sonsuz değeri ile karşılaşılıyorsa dikkatli olmak gerek; aşağıdaki tüm ifadeler 1 üssü sonsuz durumuna sahip; ancak yakınsadığı değerler farklıdır;
Okul, dersane, özel ders büroları, için her türlü eğitim öğretim faaliyetlerini düzenli takip etmek, dokunmatik ekran, optik okuyucu uyumlu istediğiniz özelliklere sahip paket programlar hazırlatmak isteyenler TecnoSınav programcılık tmoz'a uygun fiyatlarla hizmet vermektedir. Ayrıntılı bilgi için:
seafoodplus.info
seafoodplus.info?ref=mf
TMOZ reklamları için ücret alınmamaktadır. Sadece TMOZ'a destek olanların reklam ve duyurularına destek verilmektedir.
Site reklamlarında tmoz linki olup olmadığına bakılmaktadır. Eğer reklam edilen internet sitesinde tmoz linki veya logosu yoksa mesajı gönderen kişinin mesajları denetime alınır ve gönderdiği mesaj tmozdan silinir. Örnek logo için : seafoodplus.info
Reply to author
Sign in to reply to author
Forward
Sign in to forward
Delete
You do not have permission to delete messages in this group
Link
Report message as abuse
Sign in to report message as abuse
Show original message
Either email addresses are anonymous for this group or you need the view member email addresses permission to view the original message
Reply to author
Sign in to reply to author
Forward
Sign in to forward
Delete
You do not have permission to delete messages in this group
Link
Report message as abuse
Sign in to report message as abuse
Show original message
Either email addresses are anonymous for this group or you need the view member email addresses permission to view the original message
Reply to author
Sign in to reply to author
Forward
Sign in to forward
Delete
You do not have permission to delete messages in this group
Link
Report message as abuse
Sign in to report message as abuse
Show original message
Either email addresses are anonymous for this group or you need the view member email addresses permission to view the original message
to TMOZ
Peki arkadaşlar genişletilmiş reel sayılar kümesine dahil edilen
sonsuz sembolleri ne ifade seafoodplus.info türlü sonsuz yerine kullanılacak
bir sembol olarak mı kullanılıyor.
Reply to author
Sign in to reply to author
Forward
Sign in to forward
Delete
You do not have permission to delete messages in this group
Link
Report message as abuse
Sign in to report message as abuse
Show original message
Either email addresses are anonymous for this group or you need the view member email addresses permission to view the original message
07 Kasım tarihinde ( Alaattin ŞEKER - Algebra) <[email protected]> yazdı:
Peki arkadaşlar genişletilmiş reel sayılar kümesine dahil edilen
sonsuz sembolleri ne ifade seafoodplus.info türlü sonsuz yerine kullanılacak
bir sembol olarak mı kullanılıyor.
--
Okul, dersane, özel ders büroları, için her türlü eğitim öğretim faaliyetlerini düzenli takip etmek, dokunmatik ekran, optik okuyucu uyumlu istediğiniz özelliklere sahip paket programlar hazırlatmak isteyenler TecnoSınav programcılık tmoz'a uygun fiyatlarla hizmet vermektedir. Ayrıntılı bilgi için:
seafoodplus.info
seafoodplus.info?ref=mf
TMOZ reklamları için ücret alınmamaktadır. Sadece TMOZ'a destek olanların reklam ve duyurularına destek verilmektedir.
Site reklamlarında tmoz linki olup olmadığına bakılmaktadır. Eğer reklam edilen internet sitesinde tmoz linki veya logosu yoksa mesajı gönderen kişinin mesajları denetime alınır ve gönderdiği mesaj tmozdan silinir. Örnek logo için : seafoodplus.info
Reply to author
Sign in to reply to author
Forward
Sign in to forward
Delete
You do not have permission to delete messages in this group
Link
Report message as abuse
Sign in to report message as abuse
Show original message
Either email addresses are anonymous for this group or you need the view member email addresses permission to view the original message
07 Kasım tarihinde DNZKRDG <[email protected]> yazdı:
Reply to author
Sign in to reply to author
Forward
Sign in to forward
Delete
You do not have permission to delete messages in this group
Link
Report message as abuse
Sign in to report message as abuse
Show original message
Either email addresses are anonymous for this group or you need the view member email addresses permission to view the original message
Bir mail grubuna aboneyim. Matematik üzerine tartışmalar yapılan bir mail grubu. Oradaki tartışmadan bir alıntı yapacağım. Bu alıntılar sonrasında bizde görüşlerimizi yazalım.Kişi1: Bir arkadaşım, 1 üzeri sonsuzun neden belirsiz olduğu sorusunu yöneltti.
Kişi2: Sunu deneyebilirsiniz:
()^n ifadesi, n sonsuza giderken sifira yaklasir.
()^n ifadesi ise, n sonsuza giderken sonsuza iraksar.
Bu nedenle, 1^n ifadesinin n sonsuza giderken ne olacagi belirsizdir.Kişi3:
Mesela (1+1/n)^n dizisinin limiti 2'den buyuk olan e sayisidir ve (/n)^n dizisinin limiti ise 1/e'dir.
Ama 1 + 1/n dizisi de 1 - 1/n dizisi de 1'e gider.
Yani x_n dizisi 1'e, y_n dizisi de sonsuza gidiyorsa, x_n^{y_n} dizisinin sabit bir limiti yoktur.
Bu da 1 uzeri sonsuz tanimsiz olmali demektir.Kişi4:
Ama hocam bu kesinlikle sezgiye karşı ve tam olarak inandırıcı bir argüman da yok gibi.
Neden 1 olarak kabul etmiyoruz basitçe?
Bir yerlerde sorun mu çıkartıyor?Kişi5:
Anladığım kadarıyla 'a soruyu soran kişi 1'in kendisiyle sonsuz sayıda çarpımını sormuş.
Bu işlemin sonucu 1'dir bence. anlam kargaşası bence şurdan çıkıyor: (1+1/n)^n dizisinin limiti e'dir ve ortada bir belirsizlik yok.
lise kitaplarında bu durum 1 üzeri sonsuz belirsizliği diye veriliyor.öğrencilere de öğretmenler genelde bu şekilde anlatıyor.
Bu karmaşayı önlemek için dersine girdiğim sınıflarda artık euler teoremi diye veriyorum.örneğin,
bölme konusunu anlatırken '' 0/0 nedir? '' diye sorduğumda öğrenciler ''belirsiz'' diye cevap veriyor.
(MD'de asallar ve indirgenemezler isimli kapak konusunda çok güzel açıklanmış 0/0 diye bir sayının olmadığı.) yine lise kitaplarında limit konusunda
lim(x, 1'e yaklaşırken( x^)/(x-1) ifadesi için 0/0 belirsizliği deniyor.çünkü x yerine 1 koyarak çözünce ortaya bu saçmalık çıkıyor.Kişi2:
Tabi bu sekilde anlatmayin. Zira 1^n ifadesi n sonsuza giderken 1'e
yakinsar. Zaten sabit dizidir bu.Kişi6: Bu belirsiz ve tanımsız kavramları Türkçe kaynaklarda sıkça karıştırılanAyrıca sitemizdeki bu yazıda konu ile alakalıdır.
bir durum. MD gibi özenli yazılan kaynaklar sayesinde bir zaman sonra bu
kargaşa giderilir umarım. Esasında sorun biraz yanlış adlandırmadan
kaynaklanıyor.
1 üzeri sonsuz belirsizliği ile kastedilen şu aslında: (a_n) ve (b_n) iki
reel sayı dizisi olmak üzere, (a_n) dizisi 1 e ve (b_n) dizisi sonsuza
yaklaşıyorsa (a_n)^(b_n) dizisinin limiti hakkında bir belirsizlik söz
konusu. Çünkü bu limit sonlu, sonsuz olabilir ya da hiç olmayabilir. Ancak
bu isimlendirme iyi değil, çünkü sanki 1^n dizisinin limiti gibi
algılanıyor.
Diğer belirsizliklerde de benzer yanlış adlandırmalar söz konusu.
Ancak bahsettiğim belirsizlik reel sayılar kümesi söz konusu olduğunda
geçerli. Genişletilmiş reel sayılar R U {sonsuz} için durumun nasıl
anlaşılması gerektiğini Ali Nesin'in birkaç mail önce yorumlamıştı.
Hocam . Sonsuz un belirsiz olduğunu düşünürsek (ki öyle . Çünkü sonsuz , bir sayı değildir ) 1 üzeri belirsiz olduğu için sonuç belirsizdir ? Çünkü sonsuz artabilir de azalabilirde ?
A'yı hayatta başarı olarak tanımlayalım, o zaman A = X + Y + Z' dir; X çalışmaktır, Y oyundur Z ise çenesini tutmayı bilmektir.
Sitedeki makalede yapılan ispata bakılırsa, 1 un belirsiz olmasının nedeni, bütün sayıların 0. kuvvetinin 1 olması.
ben pek anlamam
beni aşıyor bu
ama şöyle düşündüm
sonsuz denen şeyin kendisi zaten muğlak değil mi? yani nedir sonsuz? somut değil
somut olmayan bir şeyle işleme giren somut birşeyden somut bir şey çıkmaz herhalde
örneğin
5.= yine belirsiz olmazmı,
yani bilmiyorum
Foruma üye olmana gerek yok! Facebook hesabınla yorumlarını bekliyoruz!
|
|
|
|
|
< Bu mesaj bu kişi tarafından değiştirildi DeathWarrior -- 27 Kasım ; > |