10 Sınıf Matematik Polinomlar 100 Soru Ve Çözümleri
Polinom Soruları Çözümleri (10 adet)
29 Kas #1
Polinom Soruları Çözümleri (10 adet)
SORU 1:
p(x)=xm-3+xm-2+x+1
ifadesi seafoodplus.info bir polinom olduğuna göre, m kaçtır ?
(Polinom olma şartı)
ÇÖZÜM 1:
P(x)'in 2. derece polinom olabilmesi için,
m-2=2=>m=4 olmalı.
SORU 2:
p(x)=x6/n+nn-2+2
ifadesi bir polinom belirttiğine göre, n nin alabileceği kaç farklı değer vardır. ?
(Polinom olma şartı)
ÇÖZÜM 2:
p(x) in polinom olabilmesi içinN ve (n-2)&#;N olmalı
&#;N=>n={1,2,3,6} olur.
n-2&#;0 => n&#;2 olacağından n=1 olamaz.
n={2,3,6} dır.
SORU 3:
der[p(x)]=3
der[(Q(x)]=2
olduğuna göre, der[p(x²).Q(x)] kaçtır ?
(polinomda derece bulma)
ÇÖZÜM 3:
der[p(x)]=3 ise P(x)=x³ olsun.
der[Q(x)]=2 ise Q(x)=x² olsun.
Buna göre,
p(x²)=(x²)³=x6 dır(*)
p(x²).Q(x)=x6.x²=x8 dir(**)
Bu durumda, der[p(x²).Q(x)]=8'dir.
Yaptıklarımızı genelleyelim:
der[p(x²).Q(x)]=der[p(x²)]+der[Q(x)]
=2der[p(x)]+der[Q(x)]
=+2
=8 bulunur.
SORU 4:
p(x+1)=3x+1
olduğuna göre, p(x+2) polinomunun kat sayıları toplamı kaçtır ?
(polinom ve katsayılar toplamı)
ÇÖZÜM 4:
p(x+2) polinomunun katsayıları toplamı
p(1+2)=p(3)'tür.
p(3)'ü elde edebilmek için, verilen p(x+1) polinomunda x yerine 2 yazılır.
p(x+1)=3x+1
p(2+1)=+1
p(3)=7 bulunur.
SORU 5:
p(x+2)=4x²+3x+1
olduğuna göre, p(x+3) polinomunun sabit terimi kaçtır ?
(polinom ve sabit terim)
ÇÖZÜM 5:
p(x+3) polinomunun sabit terimi
p(0+3)=p(3)'tür.
p(3)'ü bulmak için, verilen p(x+2) de x yerine 1 yazılır.
p(x+2)=4x²+3x+1
p(3)=4+3+1
p(3)=8
SORU 6:
p(x)=x6+x³+x²+x+1
polinomunun x³-1 ile bölümünden kalan nedir ?
(polinomda bölme soruları)
ÇÖZÜM 6:
x³-1=0=> x³=1 yazılır.
p(x)=(x³)²+x²+x+1
=1+1+x²+x+1
=x²+x+3 bulunur.
SORU 7:
p(x)=2x³+ax²-x+2
polinomu x+2 ile tam bölünebildiğine göre, a değeri kaçtır ?
ÇÖZÜM 7:
p(-2)=0 olmalıdır.
x=-2 için
p(-2)=2.(-2)³+a.(-2)²-(-2)+2
0=+4a+4
a=3 bulunur.
SORU 8:
p(2x-1)+2x²=Q(x)+x
veriliyor.
p(x) polinomunun x-1 ile bölümünden kalan 6 olduğuna göre q(x-3) polinomunun x-5 ile bölümünden kalan kaçtır ?
ÇÖZÜM 8:
p(2x-3)+2x²=Q(x)+x
p(1)=6=>Q(2)=?
x=2 için
p(1)+²=Q(2)+2
6+8=Q(2)+2
Q(2)=12 bulunur.
SORU 9:
p(x)=x10+x&#;+1
polinomunun x-5&#;3 ile bölümünden kalan kaçtır ?
ÇÖZÜM 9:
p(x)=x10+x&#;+1
x-5&#;3=0
x=5&#;3 olur.
=(5&#;3)10+(5&#;3)&#;+1
=9+3+1
=13 bulunur.
SORU
p(x)=x+x+x
polinomunun x+1 ile bölümünden kalan kaçtır ?
ÇÖZÜM
x=-1 yazılır.
p(-1)=(-1)+(-1)+(-1)
=-1+
=-1 bulunur.
29 Kas #2
29 Kas #3
Birşey değil
09 Ağu #4
09 Ağu #5
Tesekkurler Svsmumcu26,faydali olduysa ne mutlu.
01 Eki #6
Hayret bişe forumda ilk defa soruyu cozebıldım hepsını sağol duyguda böyle değişik soru tipleri yokmu böyle iyice yeni mantıklar bulmaya seafoodplus.info bazen konuyu biliyorum bir soru geliyor yapamyorum bir türlü benım amacım onu gıderebılmek.
[SORU 3 ün mantığı ney] daha açık anlatırmısın bana :S geçen benzer soru cozememıstım.
06 Eki #7
Polinomlarla ilgili değişik soru çeşitleri "Çözümlü Matematik Soruları " kısmında vardıseafoodplus.infoen bulabilirsin.
P(x) = a0 , a1.x1 , a2.x2 , … , an.xn
biçimindeki ifadelere x değişkenine göre, düzenlenmiş reel kat sayılı polinom (çok terimli) denir.
Burada, a0 , a1 , a2, an reel sayılarına polinomun kat sayıları,
a0 , a1.x1 , a2.x2 , … , an.xnifadelerine polinomun terimleri denir.
an.xn terimindeki an sayısına terimin kat sayısı,
x in kuvveti olan n sayısına terimin derecesi denir.
Derecesi en büyük olan terimin derecesine polinomun derecesi denir ve der[P(x)] ile gösterilir.
Derecesi en büyük olan terimin kat sayısına ise polinomun baş kat sayısı denir.
Polinomlar kat sayılarına göre adlandırılırlar. Kat sayıları reel sayı olan polinomlara reel kat sayılı polinom,
kat sayıları rasyonel sayı olan polinomlara rasyonel kat sayılı polinom, kat sayıları tam sayı olan polinomlara tam kat sayılı polinom denir.
P(x) = 0 biçimindeki polinoma, sıfır polinomu denir. Sıfır polinomunun derecesi tanımsızdır. |
Aynı dereceli terimlerinin kat sayıları eşit olan polinomlar eşittir.
İki polinom toplanırken; dereceleri aynı olan terimlerin kat sayıları kendi aralarında toplanır,
sonuç o terimin kat sayısı olarak yazılır.
P(x) – Q(x) = P(x) + [–Q(x)]
olduğu için, P(x) polinomundan Q(x) polinomunu çıkarmak, P(x) ile –Q(x) i toplamaktır.
Bunun için çıkarma işlemini, çıkarılacak polinomun işaretini değiştirip toplama yapmak biçiminde ele alabiliriz.
İki polinomun çarpımı; polinomlardan birinin her teriminin diğer polinomun her bir terimi ile
ayrı ayrı çarpımlarından elde edilen terimler toplamınarak yapılır.
4. Bölme İşleminin Yapılışı
Polinomlarda bölme işlemi, sayılarda bölme işlemine benzer şekilde yapılır.
Bunun için sırasıyla aşağıdaki işlemler yapılır:
1) Bölünen ve bölen polinomlar x değişkeninin azalan kuvvetlerine göre sıralanır.
2) Bölünen polinomun soldan ilk terimi, bölen polinomun soldan ilk terimine bölünür. Çıkan sonuç,
bölümün ilk terimi olarak yazılır.
3) Bulunan bu bölüm, bölen polinomun bütün terimleri ile çarpılarak, aynı dereceli terimler alt alta
gelecek şekilde bölünen polinomun altına yazılır.
4) Bölünenin altına yazılan çarpım polinomu, bölünen polinomdan çıkarılır.
5) Yukarıdaki işlemlere, kalan polinomun derecesi, bölen polinomun derecesinden küçük
oluncaya kadar devam edilir.
m > n olmak üzere, der[P(x)] = m ve der[Q(x)] = n olsun. P(x) in Q(x) ile bölümünden elde edilen bölümpolinomu B(x) olsun. Buna göre, |
C. P(x) İN x = k İÇİN DEĞERİ
P(x) = a0 + a1.x1 + a2.x2 + … + an.xn
polinomunun x = k için değeri,
P(k) = a0+ a1.k + a2k2 + … + an.kn dir.
P(x) = a0 + a1. x + a2.x2+ … + an.xn polinomunda x = 1 yazılırsa, P(1) = a0+ a1 + a2 + + an olur. Bu durumda P(1) in değeri P(x) polinomunun kat sayıları toplamıdır. |
Herhangi bir polinomda x yerine 1 yazılırsa, o polinomun kat sayıları toplamı bulunur. Örneğin, P(x + 7) polinomunun kat sayıları toplamı, P(1 + 7) = P(8) dir. |
P(x) = a0 + a1. x + a2.x2+ … + an.xn polinomunda x = 0 yazılırsa, P(0) = a0 olur. Bu durumda P(0) ın değeri P(x) polinomunun sabit terimidir. |
Herhangi bir polinomda x yerine 0 yazılırsa, o polinomun sabit (x ten bağımsız) terimi bulunur. Örneğin, P(2x + 3) polinomunun sabit terimi, P(0 + 3) = P(3) tür. |
D. P(x) İN (ax + b) İLE BÖLÜNMESİYLE ELDE EDİLEN KALAN
P(x) in ax + b ile bölünmesiyle elde edilen bölüm B(x), kalan K olsun. Buna göre,
Yani; P(x) polinomunun ax + b ile bölünmesiyle elde edilen kalanı bulmak için, ax + b = 0
denkleminin kökü olan
için P(x) polinomunun değeri olan
hesaplanır.
P(a + b) dir. P(3.a + b) dir. |
E. P(x) İN xn + a İLE BÖLÜMÜNDEN KALAN
Derecesi n den büyük olan bir polinomun xn + a ile bölümünden kalanı bulmak için, xn yerine –a yazılır. (xn + a = 0 ise, xn = –a) |
F. P(x) İN (x – a) . (x – b) ÇARPIMI İLE BÖLÜNMESİ
1) P(x) polinomu (x – a) . (x – b) çarpımı ile tam olarak bölünebiliyorsa x – a ve x – b çarpanları ile de ayrı ayrı tam olarak bölünür. |
2)x – a ve x – b aralarında asal polinomlar olmak üzere;
P(x), bu polinomlara ayrı ayrı tam olarak bölünebiliyorsa, (x – a) . (x – b) çarpımı ile de tam olarak bölünür.
G. P(x) İN (a × x + b)2 İLE BÖLÜNEBİLMESİ
P(x) polinomu (ax + b)2ile tam bölünebiliyorsa,
P(x) polinomu ve P'(x) polinomu ax + b ye tam olarak bölünür.
(P'(x), P(x) in türevidir.)
Buna göre, P(x) polinomu (ax + b)2 ile tam bölünebiliyorsa,
ÇÖZÜMLÜ SORULAR
POLİNOM SORULARI ÇÖZÜMLERİ
SORU 1:
p(x)=xm-3+xm-2+x+1
ifadesi seafoodplus.info bir polinom olduğuna göre, m kaçtır ?
(Polinom olma şartı)
ÇÖZÜM 1:
P(x)’in 2. derece polinom olabilmesi için,
m - 2 = 2 => m=4 olmalı.
———————————————
SORU 2:
p(x)=x6/n+xn-2+2
ifadesi bir polinom belirttiğine göre, n nin alabileceği kaç farklı değer vardır. ?
(Polinom olma şartı)
ÇÖZÜM 2:
p(x) in polinom olabilmesi için
6/n ∈N => n={1,2,3,6} olur.
n - 2 ≥ 0 => n ≥ 2 olacağından n=1 olamaz.
n={2,3,6} dır.
——————————————————-
SORU 3:
der[p(x)]=3
der[(Q(x)]=2
olduğuna göre, der[p(x²).Q(x)] kaçtır ?
(polinomda derece bulma)
ÇÖZÜM 3:
der[p(x)]=3 ise P(x)=x³ olsun.
der[Q(x)]=2 ise Q(x)=x² olsun.
Buna göre,
p(x²)=(x²)³=x6 dır…..(*)
p(x²).Q(x)=x6 . x2 =x8 dir…..(**)
Bu durumda, der[p(x²).Q(x)]=8′dir.
Yaptıklarımızı genelleyelim:
der [p(x²).Q(x)] = der [p(x²)]+der[Q(x)]
=2der[p(x)]+der[Q(x)]
=+2
=8 bulunur.
————————————
SORU 4:
p(x+1)=3x+1
olduğuna göre, p(x+2) polinomunun kat sayıları toplamı kaçtır ?
(polinom ve katsayılar toplamı)
ÇÖZÜM 4:
p(x+2) polinomunun katsayıları toplamı
x=1 için
p(1+2)=p(3)’tür.
p(3)’ü elde edebilmek için, verilen p(x+1) polinomunda x yerine 2 yazılır.
p(x+1)=3x+1
p(2+1)=+1
p(3)=7 bulunur.
—————————————————————–
SORU 5:
p(x+2)=4x²+3x+1
olduğuna göre, p(x+3) polinomunun sabit terimi kaçtır ?
(polinom ve sabit terim)
ÇÖZÜM 5:
p(x+3) polinomunun sabit terimi
p(0+3)=p(3)’tür.
p(3)’ü bulmak için, verilen p(x+2) de x yerine 1 yazılır.
p(x+2)=4x²+3x+1
p(3)=4+3+1
p(3)=8
———————————————–
SORU 6:
p(x)=x6+x3+x2+x+1
polinomunun x³-1 ile bölümünden kalan nedir ?
(polinomda bölme soruları)
ÇÖZÜM 6:
x3-1=0=> x3=1 yazılır.
p(x)=(x3)2+x2+x+1
=1+1+x2+x+1
=x2+x+3 bulunur.
——————————————————-
SORU 7:
p(x)=2x3+ax2-x+2
polinomu x+2 ile tam bölünebildiğine göre, a değeri kaçtır ?
ÇÖZÜM 7:
p(-2)=0 olmalıdır.
x=-2 için
p(-2)=2.(-2)³+a.(-2)²-(-2)+2
0=+4a+4
a=2 bulunur.
——————————————————————————————————-
SORU 8:
p(2x-1)+2x2=Q(x)+x
veriliyor.
p(x) polinomunun x-1 ile bölümünden kalan 6 olduğuna göre q(x-3) polinomunun x-5 ile bölümünden kalan kaçtır ?
ÇÖZÜM 8:
p(2x-3)+2x2=Q(x)+x
p(1)=6=>Q(2)=?
x=2 için
p(1)+2=Q(2)+2
6+8=Q(2)+2
Q(2)=12 bulunur.
———————————————————————-
SORU 9:
p(x)=x10+x5+1
polinomunun x - 5√3 ile bölümünden kalan kaçtır ?
ÇÖZÜM 9:
p(x)=x10+x5+1
x - 5√3 = 0
x=5√3 olur.
=(5√3)10 +(5√3)⁵+1
=9+3+1
=13 bulunur.
—————————————————————————-
SORU
p(x)=x+x+x
polinomunun x+1 ile bölümünden kalan kaçtır ?
ÇÖZÜM
x=-1 yazılır.
p(-1)=(-1)+(-1)+(-1)
=-1+
=-1 bulunur.
SORU
P(x) polinomunun,beşinci dereceden bir Q(x) polinomuna bölümünden elde edilen bölüm x2+5x-7,kalan ise 9x-5 olduğuna göre,P(x) kaçıncı dereceden bir polinomdur?
ÇÖZÜM
( x2+5x-7).Q(x)+9x-5=P(x)
(B(x) 5. dereceden bir polinom ise üstler toplamndan 7 olur ) ozaman der[A(x)]=7 dir
Polinom Çözümlü Örnekler
SORU
P(x)=2 x3+3.x8-n-4xn+2+5x Polinomunun derecesi en çok kaçtır?
ÇÖZÜM
İfadenin bir polinom olması için üslerin &#;0 olması gerekmektedir.
Bunun için 8-n&#;0 , 8&#;n olmalı.
n+2&#;0 , n&#;-2 olmalıdır.
n=8 olursa 4xn+2 ifadesinden polinomun derecesi en çok 10 olacaktır.
SORU
P(x)=2x&#; + 3x² - 3
Q(x)=-2x&#; + 2x -1 olduğuna göre P(x)+Q(x) polinomunun derecesi kaçtır ?
ÇÖZÜM
Normal toplama işlemi yaparmış gibi alt alta toplayalıseafoodplus.infoız burda dikkat etmemiz gereken husus toplanacak olan terimlerin aynı dereceden olması gerektiğidir.
P(x)=2x&#; + 3x² - 3
Q(x)=-2x&#; + 2x -1
+_____________
2x&#;+(-2x&#;) + 3x² + 2x - 4
0+3x² + 2x - 4 = 3x² + 2x - 4 seafoodplus.info ise 2 bulunur.
SORU
P(x)+P(x-2)=6x
olduğuna göre P(x) polinomu nedir ?
ÇÖZÜM
Burda şöyle düşünmemiz seafoodplus.info bakalım seafoodplus.infoden değil mi ? Toplama işleminde sonucun seafoodplus.infoden olması demek toplananların da seafoodplus.infoden olması gerektiği anlamına gelir.
Örneğin x²+x²=2x² yani seafoodplus.infodendir.
Bu durumda P(x)=mx+n olsun.
P(x-2)=m(x-2)+n olur.
+________________-
mx+n+mx-2m+n=6x verilmiş.
2mx+2n-2m=6x
m=3
2n-6=
2n=-8
n=-4 bulunur.
P(x) = mx+n idi
P(x)=3x-4 bulunur.
SORU
seafoodplus.infoden bir P(x) polinomunun x+1 ile bölümünden kalan 5 , x-2 ile bölümünden kalan (-1)'dir.
Buna göre P(x) polinomunun sabit terimi kaçtır ?
ÇÖZÜM
P(x) seafoodplus.infoden denmiş yani P(x)=mx+n'dir.
P(x)'in x+1 ile bölümünden kalan 5miş.Yani P(-1)=5
x-2 ile bölümünden kalan -1 miş yani P(2)=-1
P(-1)=-m+n=5
P(2)=2m+n=-1
n-m=5 / -1 ile çarpalım.
2m+n=-1
-n+m=-5
2m+n=-1
+_____
3m=-6
m=-2
n=3 bulunur.
P(x)=-2x+3
P(0) isteniyor.
P(0)=(0)+3
P(0)=3 bulunur.
SORU
P(x) polinomunun x+2 ile bölümünden kalan (-6) , x-2 ile bölümünden kalan 10'dur.
Buna göre P(x) polinomunun x²-4 ile bölümünden kalan nedir ?
ÇÖZÜM
P(x)'in x+2 ile bölümünden kalan -6 ise P(-2)=-6
x-2 ile bölümünden kalan 10 ise P(2)=10
x2-4 ile bölümünden kalanı bulmak için ;
P(x)=(x2 -4).B(x)+K (b(x)=bölüm)
x2=4 dersek K'ını buluruz.P(x)'dex2yerine 4 yazalım.
Kalan bölenden 1 derece küçük olmalıdır.
K(x)=mx+n olur.
P(-2)=-6 için
K=-6 bulduk.
-2m+n = -6
P(2) = 10 için
2m+n=10 bulduk
2n=4
n=2
m=4 bulunur.
K(x)=mx+n'idi.
K(x)=4x+2 bulunur.