Bir tam sayının belirli bir sayıya kalansız bölünüp bölünmediğini bölme işlemini yapmadan kısa yoldan bulmamızı sağlayan kurallara bölünebilme kuralları denir.
Tüm tam sayılar 1'e tam bölünürler.
2 ile Bölünebilme
Çift sayılar (son rakamı 0, 2, 4, 6, 8 olan sayılar) 2'ye tam bölünür.
Bir tam sayı 2'ye tam bölünmüyorsa kalan sayı 1'dir.
2'ye tam bölünen bazı sayılar: \( 0, 2, 24, , \)
2'ye tam bölünmeyen bazı sayılar: \( 1, 3, 15, , \)
3 ile Bölünebilme
Rakamlarının toplamı 3 ya da 3'ün katı olan sayılar 3'e tam bölünür. Sayının rakamlarının toplamı da büyük bir sayı ise aynı yöntem rakamlar toplamına tekrar uygulanabilir.
Bir sayı 3'e tam bölünmüyorsa kalan sayı rakamların toplamının 3'e bölümünden kalan sayıdır.
ÖRNEK:
Aşağıdaki sayı rakamları toplamı 3'e tam bölündüğü için 3'e tam bölünür.
\( \Longrightarrow 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 \)
Aşağıdaki sayı rakamları toplamı 3'e tam bölünmediği için 3'e tam bölünmez.
\( \Longrightarrow 8 + 3 + 4 + 6 + 7 = 28 \)
Her ne kadar \( 28 \)'in 3'e tam bölünmediğini biliyor olsak da, yöntemin tekrarlanabilirliğini göstermek adına işlemi tekrar uygulayalım.
\( 28 \Longrightarrow 2 + 8 = 10 \)
\( 10 \Longrightarrow 1 + 0 = 1 \)
Buna göre sayı 3'e bölündüğünde 1 kalanını verir.
İSPATI GÖSTER
3'e bölünebilirliğini kontrol edeceğimiz 4 basamaklı sayıya \( (abcd) \) diyelim ve bu sayıyı çözümlenmiş şekliyle yazalım.
\( (abcd) = a + b + 10c + d \)
İfadeyi aşağıdaki şekilde düzenleyelim.
\( (abcd) = a + 99b + 9c + a + b + c + d \)
\( (abcd) = \underbrace{3 \cdot a + 3 \cdot 33b + 3 \cdot 3c}_\text{1. kısım} \) \( + \underbrace{a + b + c + d}_\text{2. kısım} \)
İfadenin ilk kısmının her terimi 3'ün bir katı olduğu için ilk kısım 3'e tam bölünür, dolayısıyla \( (abcd) \) sayısının 3'e tam bölünebilirliğini bulmak için ikinci kısmın 3'e bölünebilirliğini kontrol etmemiz yeterlidir, bu kısım da sayının rakamları toplamına eşittir.
Ayrıca ifadenin ilk kısmının 3'e bölümünden kalan 0 olduğu için sayının 3'e bölümünden kalan ikinci kısmın 3'e bölümünden kalana eşit olur.
\( (abcd) \bmod{3} = (a + b + c + d) \bmod{3} \)
İspatta hata bildirin
3'e tam bölünen bazı sayılar: \( 0, 3, 33, , , \)
3'e tam bölünmeyen bazı sayılar: \( 1, 44, , , \)
4 ile Bölünebilme
Yöntem 1
Son iki basamağı 00 olan ya da 4'e tam bölünen sayılar 4'e tam bölünür.
Bir sayı 4'e tam bölünmüyorsa kalan sayı son iki basamağının 4'e bölümünden kalan sayıdır.
ÖRNEK:
\( \) sayısının son iki basamağı (52) 4'e tam bölündüğü için bu sayı da 4'e tam bölünür.
İSPATI GÖSTER
4'e bölünebilirliğini kontrol edeceğimiz 4 basamaklı sayıya \( (abcd) \) diyelim ve bu sayıyı kısmen çözümlenmiş şekliyle yazalım.
\( (abcd) = a + b + (cd) \)
İfadeyi aşağıdaki şekilde düzenleyelim.
\( (abcd) = \underbrace{4 \cdot a + 4 \cdot 25b}_\text{1. kısım} + \underbrace{(cd)}_\text{2. kısım} \)
İfadenin ilk kısmının her terimi 4'ün bir katı olduğu için ilk kısım 4'e tam bölünür, dolayısıyla \( (abcd) \) sayısının 4'e tam bölünebilirliğini bulmak için ikinci kısımdaki ve sayının son iki basamağına karşılık gelen \( (cd) \) sayısının 4'e bölünebilirliğini kontrol etmemiz yeterlidir.
Ayrıca ifadenin ilk kısmının 4'e bölümünden kalan 0 olduğu için sayının 4'e bölümünden kalan ikinci kısmın 4'e bölümünden kalana eşit olur.
\( (abcd) \bmod{4} = (cd) \bmod{4} \)
İspatta hata bildirin
Yöntem 2
Onlar basamağındaki rakamın iki katı ile birler basamağındaki rakamın toplamı 4'e tam bölünen sayılar 4'e tam bölünür.
ÖRNEK:
Bu yöntemi aşağıdaki sayıya uygulayalım.
\( \Longrightarrow 2 \cdot 7 + 6 = 20 \)
20 4'e tam bölündüğü için verilen sayı da 4'e tam bölünür.
İSPATI GÖSTER
4'e bölünebilirliğini kontrol edeceğimiz 4 basamaklı sayıya \( (abcd) \) diyelim ve bu sayıyı çözümlenmiş şekliyle yazalım.
\( (abcd) = a + b + 10c + d \)
İfadeyi aşağıdaki şekilde düzenleyelim.
\( (abcd) = a + b + 8c + 2c + d \)
\( (abcd) = \underbrace{4 \cdot a + 4 \cdot 25b + 4 \cdot 2c}_\text{1. kısım} + \underbrace{2c + d}_\text{2. kısım} \)
İfadenin ilk kısmının her terimi 4'ün bir katı olduğu için ilk kısım 4'e tam bölünür, dolayısıyla \( (abcd) \) sayısının 4'e tam bölünebilirliğini bulmak için ikinci kısmın 4'e bölünebilirliğini kontrol etmemiz yeterlidir, bu kısım da sayının onlar basamağındaki rakamın iki katı ile birler basamağındaki rakamın toplamına eşittir.
Ayrıca ifadenin ilk kısmının 4'e bölümünden kalan 0 olduğu için sayının 4'e bölümünden kalan ikinci kısmın 4'e bölümünden kalana eşit olur.
\( (abcd) \bmod{4} = (2c + d) \bmod{4} \)
İspatta hata bildirin
4'e tam bölünen bazı sayılar: \( 0, 4, 44, , , \)
4'e tam bölünmeyen bazı sayılar: \( 5, 30, , , \)
5 ile Bölünebilme
Son rakamı 0 ya da 5 olan sayılar 5'e tam bölünür.
Bir sayı 5'e tam bölünmüyorsa kalan sayı son rakamının 5'e bölümünden kalan sayıdır.
5'e tam bölünen bazı sayılar: \( 0, 5, 10, , , \)
5'e tam bölünmeyen bazı sayılar: \( 8, 72, , , \)
6 ile Bölünebilme
Önümüzdeki bölümde göreceğimiz genel bölünebilme kuralına göre, hem 2'ye hem de 3'e tam bölünen sayılar 6'ya da tam bölünür.
ÖRNEK:
\( \) sayısı yukarıda paylaştığımız bölünebilme kurallarına göre hem 2'ye hem 3'e tam bölündüğü için 6'ya da tam bölünür.
6'ya tam bölünen bazı sayılar: \( 0, 6, 66, , , \)
6'ya tam bölünmeyen bazı sayılar: \( 9, 15, 76, , \)
7 ile Bölünebilme
Yöntem 1
Son rakamını iki ile çarpıp diğer basamaklardaki sayıdan çıkartınca kalan sayı 7'ye tam bölünen sayılar 7'ye tam bölünür. Bu yöntemle elde ettiğimiz sayı hala büyük ise yöntemi bu sayıya tekrar uygulayabiliriz.
ÖRNEK:
Yöntemi \( \) sayısına 7'ye bölünebilirliğinden emin olduğumuz noktaya kadar uygulayalım.
\( \Longrightarrow - 2 \cdot 7 = \)
\( \Longrightarrow - 2 \cdot 6 = \)
\( \Longrightarrow - 2 \cdot 8 = \)
\( \Longrightarrow 23 - 2 \cdot 1 = 21 \)
\( 21 \) 7'ye tam bölündüğü için \( \) sayısı da tam bölünür.
Yöntem 2
Sayının rakamlarının altına birler basamağından başlayarak sırasıyla "(+1), (+3), (+2), (-1), (-3), (-2), (+1), " yazılır ve her basamaktaki sayılar birbiriyle çarpılır. Elde edilen sayıların toplamı 7'nin tam katı ise bu sayı 7'ye tam bölünür.
ÖRNEK:
Yöntemi \( \) sayısına uygulayalım.
\( \)
\( (+1)(-2)(-3)(-1)(+2)(+3)(+1) \)
Her basamaktaki rakamları aralarında çarparak bu çarpımları toplayalım.
\( 7 \cdot 1 + 0 \cdot 3 + 2 \cdot 2 - 9 \cdot 1 \) \( - 4 \cdot 3 - 2 \cdot 2 \) \( + 7 \cdot 1 = -7 \)
-7 sayısı 7'ye tam bölündüğü için bu sayı da 7'ye tam bölünür.
İSPATI GÖSTER
7'ye bölünebilirliğini kontrol edeceğimiz 6 basamaklı sayıya \( (abcdef) \) diyelim ve bu sayıyı çözümlenmiş şekliyle yazalım.
\( (abcdef) = a + b + c + d + 10e + f \)
İfadeyi aşağıdaki şekilde düzenleyelim.
\( (abcdef) = a + b + c + 98d + 7e \) \( + (-2a) - 3b - c + 2d + 3e + f \)
\( (abcdef) = \underbrace{7 \cdot a + 7 \cdot b + 7 \cdot c + 7 \cdot 14d + 7e}_\text{1. kısım} \) \( + \underbrace{(-2a) - 3b - c + 2d + 3e + f}_\text{2. kısım} \)
İfadenin ilk kısmının her terimi 7'nin bir katı olduğu için ilk kısım 7'ye tam bölünür, dolayısıyla \( (abcdef) \) sayısının 7'ye tam bölünebilirliğini bulmak için ikinci kısmın 7'ye bölünebilirliğini kontrol etmemiz yeterlidir, bu kısım da rakamların birler basamağından başlayarak sırasıyla "(+1), (+3), (+2), (-1), (-3), (-2), (+1), " ile çarpımlarının toplamına eşittir.
Ayrıca ifadenin ilk kısmının 7'ye bölümünden kalan 0 olduğu için sayının 7'ye bölümünden kalan ikinci kısmın 7'ye bölümünden kalana eşit olur.
\( (abcdef) \bmod{7} = (-2a - 3b - c + 2d + 3e + f) \bmod{7} \)
İspatta hata bildirin
7'ye tam bölünen bazı sayılar: \( 0, 7, 77, , , \)
7'ye tam bölünmeyen bazı sayılar: \( 25, , , , \)
8 ile Bölünebilme
Son 3 basamağı olan ya da 8'e tam bölünen sayılar 8'e tam bölünür.
Bir sayı 8'e tam bölünmüyorsa kalan sayı son üç basamağının 8'e bölümünden kalan sayıdır.
ÖRNEK:
\( \) sayısının son üç basamağı () 8'e tam bölündüğü için bu sayı da 8'e tam bölünür.
İSPATI GÖSTER
8'e bölünebilirliğini kontrol edeceğimiz 6 basamaklı sayıya \( (abcdef) \) diyelim ve bu sayıyı çözümlenmiş şekliyle yazalım.
\( (abcdef) = a + b + c + (def) \)
İfadeyi aşağıdaki şekilde düzenleyelim.
\( (abcdef) = \underbrace{8 \cdot a + 8 \cdot b + 8 \cdot c}_\text{1. kısım} \) \( + \underbrace{(def)}_\text{2. kısım} \)
İfadenin ilk kısmının her terimi 8'in bir katı olduğu için ilk kısım 8'e tam bölünür, dolayısıyla \( (abcdef) \) sayısının 8'e tam bölünebilirliğini bulmak için ikinci kısmın 8'e bölünebilirliğini kontrol etmemiz yeterlidir.
Ayrıca ifadenin ilk kısmının 8'e bölümünden kalan 0 olduğu için sayının 8'e bölümünden kalan ikinci kısmın 8'e bölümünden kalana eşit olur.
\( (abcdef) \bmod{8} = (cde) \bmod{8} \)
İspatta hata bildirin
8'e tam bölünen bazı sayılar: \( 0, 8, 88, , , \)
8'e tam bölünmeyen bazı sayılar: \( 44, , , , \)
9 ile Bölünebilme
Rakamlarının toplamı 9 ya da 9'un katı olan sayılar 9'a tam bölünür.
3'e bölünebilme kuralında olduğu gibi, sayının rakamlarının toplamı da büyük bir sayı ise aynı yöntem rakamlar toplamına tekrar uygulanabilir.
Bir sayı 9'a tam bölünmüyorsa bölümden kalan sayı rakamlarının toplamının 9'a bölümünden kalan sayıdır.
ÖRNEK:
Aşağıdaki sayı rakamları toplamı 9'a tam bölündüğü için 9'a tam bölünür.
\( \Longrightarrow 5 + 3 + 7 + 4 + 8 = 27 \)
Aşağıdaki sayı rakamları toplamı 9'a tam bölünmediği için 9'a tam bölünmez.
\( \Longrightarrow 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 = 39 \)
Her ne kadar \( 39 \)'un 9'a tam bölünmediğini biliyor olsak da, yöntemin tekrarlanabilirliğini göstermek adına işlemi tekrar uygulayalım.
\( 39 \Longrightarrow 3 + 9 = 12 \)
\( 12 \Longrightarrow 1 + 2 = 3 \)
Sonuç 9'un bir katı olmadığı için sayı 9'a tam bölünmez.
İSPATI GÖSTER
9'a bölünebilirliğini kontrol edeceğimiz 4 basamaklı sayıya \( (abcd) \) diyelim ve bu sayıyı çözümlenmiş şekliyle yazalım.
\( (abcd) = a + b + 10c + d \)
İfadeyi aşağıdaki şekilde düzenleyelim.
\( (abcd) = a + 99b + 9c + a + b + c + d \)
\( (abcd) = \underbrace{9 \cdot a + 9 \cdot 11b + 9 \cdot 1c}_\text{1. kısım} \) \( + \underbrace{a + b + c + d}_\text{2. kısım} \)
İfadenin ilk kısmının her terimi 9'un bir katı olduğu için ilk kısım 9'a tam bölünür, dolayısıyla \( (abcd) \) sayısının 9'a tam bölünebilirliğini bulmak için ikinci kısmın 9'a bölünebilirliğini kontrol etmemiz yeterlidir, bu kısım da sayının rakamları toplamına eşittir.
Ayrıca ifadenin ilk kısmının 9'a bölümünden kalan 0 olduğu için sayının 9'a bölümünden kalan ikinci kısmın 9'a bölümünden kalana eşit olur.
\( (abcd) \bmod{9} = (a + b + c + d) \bmod{9} \)
İspatta hata bildirin
9'a tam bölünen bazı sayılar: \( 0, 9, 99, , , \)
9'a tam bölünmeyen bazı sayılar: \( 35, 66, , , \)
10 ile Bölünebilme
Son rakamı 0 olan sayılar 10'a tam bölünür.
Bir sayı 10'a tam bölünmüyorsa kalan sayının son rakamıdır.
10'a tam bölünen bazı sayılar: \( 0, 10, 50, , , \)
10'a tam bölünmeyen bazı sayılar: \( 5, 55, , , \)
11 ile Bölünebilme
Yöntem 1
Sayının tüm basamakları birler basamağından başlayıp sağdan sola, her basamaktaki rakamın işareti sırasıyla "+ – + – + -" olacak şekilde toplanır. Elde edilen toplam 11'in katı ise sayı 11'e tam bölünür.
ÖRNEK:
Yöntemi \( \) sayısına uygulayalım.
\( \Longrightarrow 6 - 8 + 7 - 9 + 4 = 0 \)
0 11'in katı olduğu için sayı 11'e tam bölünür.
Yöntemi \( \) sayısına uygulayalım.
\( \Longrightarrow 9 - 8 + 6 - 3 + 4 - 1 \) \( = 7 \)
7 11'in katı olmadığı için sayı 11'e tam bölünmez.
İSPATI GÖSTER
11'e bölünebilirliğini kontrol edeceğimiz 5 basamaklı sayıya \( (abcde) \) diyelim ve bu sayıyı çözümlenmiş şekliyle yazalım.
\( (abcde) = a + b + c + 10d + e \)
İfadeyi aşağıdaki şekilde düzenleyelim.
\( (abcde) = \underbrace{a + b + 99c + 11d}_\text{1. kısım} \) \( + \underbrace{a - b + c - d + e}_\text{2. kısım} \)
\( (abcde) = \underbrace{11 \cdot a + 11 \cdot 91b + 11 \cdot 9c + 11d}_\text{1. kısım} \) \( + \underbrace{a - b + c - d + e}_\text{2. kısım} \)
İfadenin ilk kısmının her terimi 11'in bir katı olduğu için ilk kısım 11'e tam bölünür, dolayısıyla \( (abcde) \) sayısının 11'e tam bölünebilirliğini bulmak için ikinci kısmın 11'e bölünebilirliğini kontrol etmemiz yeterlidir, o da yöntemde açıkladığımız şekilde rakamların toplamına/farkına eşittir.
Ayrıca ifadenin ilk kısmının 11'e bölümünden kalan 0 olduğu için sayının 11'e bölümünden kalan ikinci kısmın 11'e bölümünden kalana eşit olur.
\( (abcde) \bmod{11} = (a - b + c - d + e) \bmod{11} \)
İspatta hata bildirin
Yöntem 2
Son rakamını diğer basamaklardaki sayıdan çıkartınca kalan sayı 11'e tam bölünen sayılar 11'e tam bölünür. Bu yöntemle elde ettiğimiz sayı hala büyük ise yöntemi bu sayıya tekrar uygulayabiliriz.
ÖRNEK:
Yöntemi \( \) sayısına 11'e bölünebilirliğinden emin olduğumuz noktaya kadar uygulayalım.
\( \Longrightarrow - 6 = \)
\( \Longrightarrow - 2 = \)
\( \Longrightarrow 49 - 5 = 44 \)
11'e tam bölünen bir kalan elde ettiğimiz için sayı 11'e tam bölünür.
Yöntemi \( \) sayısına 11'e bölünebilirliğinden emin olduğumuz noktaya kadar uygulayalım.
\( \Longrightarrow - 9 = \)
\( \Longrightarrow - 9 = \)
\( \Longrightarrow - 6 = \)
11'e tam bölünmeyen bir kalan elde ettiğimiz için sayı 11'e tam bölünmez.
İSPATI GÖSTER
11'e bölünebilirliğini kontrol edeceğimiz 4 basamaklı sayıya \( (abcd) \) diyelim ve bu sayıyı kısmen çözümlenmiş şekliyle 3 basamaklı \( (abc) \) sayısı cinsinden yazalım.
\( (abcd) = 10(abc) + d \)
İki taraftan \( 11d \) çıkaralım.
\( (abcd) - 11d = 10(abc) + d - 11d \)
\( (abcd) - 11d = 10(abc) - 10d \)
\( (abcd) - 11d = 10[(abc) - d] \)
Eğer \( (abcd) \) sayısı 11'e tam bölünüyorsa yukarıdaki eşitliğin sol tarafındaki \( (abcd) - 11d \) ifadesi de 11'e tam bölünmelidir, çünkü \( (abcd) \) ve \( (abcd) - 11d \) ifadeleri farkları 11'in bir katı olduğu için 11 modunda denktirler.
\( (abcd) \equiv [(abcd) - 11d] \pmod{11} \)
Eğer \( (abcd) - 11d \) ifadesi 11'e tam bölünüyorsa bu ifadeye eşit olan eşitliğin sağ tarafındaki \( 10[(abc) - d] \) ifadesi de 11'e tam bölünmelidir.
Eğer \( 10[(abc) - d] \) ifadesi 11'e tam bölünüyorsa 10 ve 11 aralarında asal olduğu için ifadenin diğer çarpanı olan \( (abc) - d \) ifadesi 11'e tam bölünmelidir.
Dolayısıyla \( (abc) - d \) ifadesinin verilen 4 basamaklı \( (abcd) \) sayısına 11 modülünde denk olduğu sonucuna varabiliriz, bu yüzden iki sayının 11'e bölünebilme durumları aynıdır ve \( (abcd) \) sayısının 11'e tam bölünebilirliğini bulmak için \( (abc) - d \) ifadesinin 11'e bölünebilirliğini kontrol etmemiz yeterlidir.
Ayrıca \( (abcd) \) sayısının ve \( (abc) - d \) ifadesinin 11'e bölümlerinden kalan eşit olur.
\( (abcd) \bmod{11} = [(abc) - d] \bmod{11} \)
İspatta hata bildirin
11'e tam bölünen bazı sayılar: \( 0, 11, 44, , , \)
11'e tam bölünmeyen bazı sayılar: \( 45, , , , \)
12 ile Bölünebilme
Önümüzdeki bölümde göreceğimiz genel bölünebilme kuralına göre, hem 3'e hem de 4'e tam bölünen sayılar 12'ye de tam bölünür.
ÖRNEK:
\( \) sayısı yukarıda paylaştığımız bölünebilme kurallarına göre hem 3'e hem 4'e tam bölündüğü için 12'ye de tam bölünür.
12'ye tam bölünen bazı sayılar: \( 0, 12, 72, , , \)
12'ye tam bölünmeyen bazı sayılar: \( 44, 92, , , \)
SORU 1:
\( (abc) \) ve \( (46d) \) üç basamaklı sayılar ve \( 3 \cdot (abc) = (46d) \) olduğuna göre, \( d \)'nin alabileceği farklı rakam değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
İfadeye göre \( (46d) \) sayısı 3'ün bir katıdır.
\( 46d \) sayısının 3'e bölünebilmesi için rakamları toplamı 3'ün katı olmalıdır.
Buna göre \( d \) sayısı \( \{2, 5, 8\} \) değerlerinden birini alabilir.
Bu değerlerin toplamı \( 2 + 5 + 8 = 15 \) olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 2:
90 basamaklı \( \ldots \) sayısının 2, 4 ve 9 ile bölümünden kalanlar sırasıyla \( a \), \( b \) ve \( c \) olduğuna göre, \( a + b + c \) kaçtır?
Çözümü Göster
Sayının birler basamağında 1 olduğu için 2'ye bölümünden kalan 1'dir.
Sayının son iki basamağı 61 olduğu için 4'e bölümünden kalan 1'dir.
Sayının 9'a bölümünden kalanı bulmak için sayının rakamları toplamının 9'a bölünebilirliğini bulalım.
\( 4 + 6 + 1 + \ldots + 4 + 6 + 1 \)
\( = 30 \cdot (4 + 6 + 1) \)
\( = 30 \cdot 11 = \)
'un rakamları toplamı 6 olduğu için soruda verilen sayının 9'a bölümünden kalan da 6'dır.
Buna göre \( a + b + c = 1 + 1 + 6 = 8 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 3:
\( 0! + 1! + 2! + + 24! \) toplamının 9'a bölümünden kalan kaçtır?
Çözümü Göster
\( 6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \)
\( = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot (3 \cdot 2) \)
\( 6! \) iki tane 3 çarpanı içerdiği için 9'a tam bölünür. 6'dan büyük sayıların faktöriyelleri \( 6! \) içerdikleri için o sayılar da 9'a tam bölünür.
Buna göre sadece \( 0! + 1! + 2! + 3! + 4! + 5! \) toplamının 9'a bölümünden kalanı bulmamız yeterlidir.
\( 0! + 1! + 2! + 3! + 4! + 5! \)
\( = 1 + 1 + 2 + 6 + 24 + \)
\( = \)
sayısının 9'a bölümünden kalan 1'dir.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 4:
\( x = 79! - 11 \) olduğuna göre, \( x \) sayısının 8 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözümü Göster
Son 3 basamağı olan ya da 8'e tam bölünen sayılar 8'e tam bölünür.
\( 79! \) sayısı 2 ve 5 çarpanlarını 3'ten fazla sayıda içerdiği için \( 2^3 \cdot 5^3 = 10^3 = \) çarpanını mutlaka içerir, dolayısıyla son 3 basamağı 0'dır ve 8'e tam bölünür.
\( 79! \) sayısının son 3 basamağı \( \) olduğu için bu sayıdan 11 çıkarıldığında elde edilen sayının son 3 basamağı \( \) olur.
\( \)'un 8'e bölümünden kalan 5'tir.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 5:
5'e bölündüğünde bölümü ve kalanı aynı olan iki basamaklı doğal sayıların toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Bir sayının 5'e bölümünden kalan 0, 1, 2, 3, 4 olabilir.
5'e bölündüğünde bölümü ve kalanı bu sayılardan biri olan sayıları bulalım.
\( 5 \cdot 0 + 0 = 0 \)
\( 5 \cdot 1 + 1 = 6 \)
\( 5 \cdot 2 + 2 = 12 \)
\( 5 \cdot 3 + 3 = 18 \)
\( 5 \cdot 4 + 4 = 24 \)
Bu sayılardan iki basamaklı olanlar 12, 18 ve 24'tür.
\( 12 + 18 + 24 = 54 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 6:
\( x \) ve \( y \) birbirinden farklı iki rakam olmak üzere,
\( x \) sayısı \( y \) sayısını kalansız böler, \( y \) sayısı da iki basamaklı \( (xy) \) sayısını kalansız böler.
Buna göre kaç farklı \( (xy) \) sayısı yazılabilir?
Çözümü Göster
\( x = 1 \) olduğunda her \( y \) sayısını kalansız böler, ancak sadece \( y \in \{2, 5\} \) için diğer koşulu sağlar.
\( x = 2 \) olduğunda \( y \in \{4, 6, 8\} \) için \( y \) sayısını kalansız böler, ancak sadece \( y = 4 \) için diğer koşulu sağlar.
\( x = 3 \) olduğunda \( y \in \{6, 9\} \) için \( y \) sayısını kalansız böler, ancak sadece \( y = 6 \) için diğer koşulu sağlar.
\( x = 4 \) olduğunda \( y = 8 \) için \( y \) sayısını kalansız böler ve bu değer için diğer koşulu sağlar.
Buna göre sorudaki tüm şartları sağlayan iki basamaklı \( (xy) \) sayıları 5 tanedir.
\( (xy) \in \{12, 15, 24, 36, 48\} \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 7:
\( (a2b4) \) TL parası olan Ahmet tanesi 9 TL olan çikolatalardan bir miktar alınca TL'si kalmaktadır.
Buna göre \( a \cdot b \) çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözümü Göster
Ahmet'in çikolatalar için harcadığı \( (a2b4) - \) TL 9'un bir tam katı olmalıdır.
Buna göre 'un 9'a bölümünden kalan 3 olduğuna göre, \( (a2b4) \) sayısının 9'a bölümünden kalan da 3 olmalıdır.
\( (a2b4) \) sayısının 9'a bölümünden kalan 3 ise rakamları toplamının 9'a bölümünden kalan da 3'tür.
\( a + 2 + b + 4 = a + b + 6 \)
\( a + b + 6 \) toplamının 9'a bölümünden kalanın 3 olması için \( a + b \) rakamlar toplamı 6 ya da 15 olmalıdır.
\( a \cdot b \) çarpımının en büyük değeri için \( (a, b) \) ikilisi birbirine en yakın olacak şekilde seçilir.
Buna göre \( a = 7 \) ve \( b = 8 \) değerleri için \( a \cdot b \) çarpımı en büyük değerini alır.
\( a \cdot b = 56 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 8:
\( a, b, c, d \) ardışık rakamlar olmak üzere,
I. \( a \cdot b \cdot c \cdot d \) çarpımı 8'e bölünür.
II. \( a + b + c + d \) ifadesi 4'e bölünür.
III. \( (abcd) \) dört basamaklı sayısı 3'e bölünür.
öncüllerinden hangileri kesinlikle doğrudur?
Çözümü Göster
I. öncül: Ardışık 4 rakamdan biri 2'ye bir diğeri 4'e kesinlikle bölündüğü için bu 4 rakamın çarpımı 8'e tam bölünür. I. öncül kesinlikle doğrudur.
II. öncül: \( a + b + c + d \) \( = a + (a + 1) + (a + 2) + (a + 3) \) \( = 4a + 6 \) olduğu için ifade 4'e tam bölünmez. II. öncül yanlıştır.
II. öncül: Rakamlar toplamı olan \( 4a + 6 \) ifadesi her \( a \) değeri için 3'e bölünmez. III. öncül her zaman doğru değildir.
Buna göre sadece I. öncül kesinlikle doğrudur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 9:
\( b \) ve \( t \) birer rakam ve \( (6b61) \) dört basamaklı bir sayı olmak üzere,
\( [3(t + 2)]^2 = (6b61) \) olduğuna göre, \( b + t \) toplamının sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
\( [3(t + 2)]^2 = 9(t + 2)^2 = (6b61) \) olduğuna göre, \( (6b61) \) sayısı 9'a tam bölünür.
Buna göre \( (6b61) \) sayısının rakamları toplamı 9'un bir katı olmalıdır.
\( 6 + b + 6 + 1 = 13 + b \)
Burdan \( b = 5 \) bulunur.
\( [3(t + 2)]^2 = \)
\( 3(t + 2) = 81 \)
\( t + 2 = 27 \)
\( t = 25 \)
\( b + t = 5 + 25 = 30 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( (xxx) \) ve \( (yyy) \) üç basamaklı sayılardır.
\( (xxx) \cdot (yyy) = (n) \) olduğuna göre, \( n \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( xxx \) ve \( yyy \) sayılarının rakamları toplamı sırasıyla \( 3x \) ve \( 3y \) olduğu için ikisi de 3'e tam bölünür, bu yüzden çarpımları olan \( (n) \) sayısı en az iki tane 3 çarpanı içerir ve 9'a tam bölünür.
9'a tam bölünen bir sayının rakamları toplamı da 9'a tam bölünür.
\( (n) \) sayısının rakamlarının toplamını alalım.
\( 2 + 9 + 5 + 7 + 0 + n = 23 + n \)
Buna göre \( n = 4 \) olmalıdır.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
3 basamaklı \( (3a4) \) sayısının 9'a bölümünden kalan 4'tür.
4 basamaklı \( (a1b6) \) sayısının 9'a bölümünden kalan 5'tir.
Buna göre 5 basamaklı \( (ababa) \) doğal sayısının 9'a bölümünden kalan kaçtır?
Çözümü Göster
Bir sayının 9'a bölümünden kalan, sayının rakamları toplamının 9'a bölümünden kalandır.
\( (3a4) \) sayısının rakamları toplamını alalım.
\( 3 + a + 4 = 7 + a \)
Kalanın 4 olması için \( a = 6 \) olmalıdır.
\( (a1b6) = (61b6) \) sayısının rakamları toplamını alalım.
\( 6 + 1 + b + 6 = 13 + b \)
Kalanın 5 olması için \( b = 1 \) olmalıdır.
\( (ababa) = () \) sayısının rakamları toplamını alalım.
\( 6 + 1 + 6 + 1 + 6 = 20 \)
Buna göre, \( () \) sayısının 9'a bölümünden kalan 2 olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
Rakamları asal sayı olan 4 basamaklı bir doğal sayı ile ilgili olarak,
I. 5 ile tam bölünür.
II. 3 ile tam bölünür.
III. 9 ile tam bölünür.
IV. 15 ile tam bölünür.
ifadelerinden sadece ikisinin doğru olduğu bilindiğine göre, bu koşullara uygun olarak yazılabilecek en büyük sayının rakamları çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster
Asal sayı olan rakamlar 2, 3, 5 ve 7'dir.
IV. öncül yanlıştır, çünkü sayı 15'e tam bölünüyorsa 3'e ve 5'e de tam bölünür, bu durumda üç ifade doğru olmuş olur.
I., II. ve III. öncüllerden ikisi üç farklı şekilde doğru olabilir:
I. ve II. doğru, III. yanlış: Bu durum doğru olamaz, çünkü sayı 3'e ve 5'e tam bölünüyorsa 15'e de tam bölünür, bu durumda üç ifade doğru olmuş olur.
I. ve III. doğru, II. yanlış: Bu durum da doğru olamaz, çünkü sayı 9'a tam bölünüyorsa 3'e de tam bölünür, bu durumda üç ifade doğru olmuş olur.
II. ve III. doğru, I. yanlış: Bu durumda 3'e ve 9'a bölünen ama 5'e ve 15'e bölünmeyen 4 basamaklı en büyük sayıyı bulmalıyız.
Bu koşulları sağlayan 4 basamaklı en büyük sayı olur.
Sayının rakamları çarpımı ise \( 7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 3 = \) olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin