5 Bölü 0

Sıfırın MÖ itibarıyla Antik Mısırlılar,^[3] MÖ ikinci binyılın ortalarında Babiller,^[4]MÖ yıllarındaOrta Amerika'da yaşayan Mayalılar tarafından kullanıldığına dair kanıtlar vardır. MS civarında ise Hintler sıfıra benzer bir sembol kullanmışlardır. Hindistan'dan yayılan sıfır, MS yıllarındaAvrupa'da da benimsenmiş ve kullanılmıştır. Harezmi tarafından yeniden tanımlanan sıfır sayısının, Orta Çağ'da Endülüs'ten Avrupa'ya geçtiği düşünülmektedir.^[5]

Matematik[değiştir

0/0 Belirsizliği

\( \frac{0}{0} \) belirsizliği ayrı ayrı limitleri 0 olan iki ifadenin bölümünün limiti alındığında oluşur.

\( \lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} \) limitinde,

\( \lim_{x \to a} f(x) = 0 \) ve \( \lim_{x \to a} g(x) = 0 \) değerleri elde ediliyorsa,

bu limit için \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

---

ÖRNEK:

\( \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} \) limitinde,

\( \lim_{x \to 2} (x^2 - 4) = 0 \) ve \( \lim_{x \to 2} (x - 2) = 0 \) olduğu için, \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

---

\( \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin{x}}{x} \) limitinde,

\( \lim_{x \to 0} \sin{x} = 0 \) ve \( \lim_{x \to 0} x = 0 \) olduğu için, \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Tüm belirsizliklerde olduğu gibi, bir fonksiyonun limitini hesaplarken \( \frac{0}{0} \) belirsizliği elde etmemiz fonksiyonun bu noktada limitinin tanımsız ya da sıfır olduğu anlamına gelmez. Fonksiyonun bu noktada limiti tanımlı olabilir ve bu limit değerini bulmak için kullanabileceğimiz bazı yöntemler aşağıdaki gibidir.

Çarpanlara Ayırma ve Sadeleştirme

\( \frac{0}{0} \) belirsizliği olan bir ifadede pay ve paydanın ortak bir çarpanı varsa ve limitini aldığımız değer bu çarpanı sıfır yapıyorsa payı ve paydayı çarpanlarına ayırarak ve bu ortak çarpanı sadeleştirerek belirsizliği giderebiliriz. Belirsizlik ortadan kalktıktan sonra ifadenin bu sadeleşmiş haliyle limit değerini tekrar hesaplayabiliriz.

ÖRNEK 1:

\( \lim_{x \to 2} \dfrac{x^3 - 4x^2 + 6x - 4}{x - 2} \) limitinin değerini bulalım.

---

\( \lim_{x \to 2} \dfrac{x^3 - 4x^2 + 6x - 4}{x - 2} \) limitinde,

\( \lim_{x \to 2} (x^3 - 4x^2 + 6x - 4) \) \( = 2^3 - 4(2)^2 + 6(2) - 4 = 0 \)

ve

\( \lim_{x \to 2} (x - 2) = 2 - 2 = 0 \)

olduğu için, \( \dfrac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Bu belirsizlik bize fonksiyonun \( x = 2 \) noktasında tanımsız olduğunu gösterir, ama bu noktada limitin olmadığı sonucuna varamayız.

2 değeri pay ve paydadaki ifadelerin ikisini de sıfır yaptığı için iki ifadenin de bir kökü olmalıdır. Paydaki üçüncü dereceden ifadeyi çarpanlarına ayırmak için elimizde kolay bir yöntem olmadığı için polinom bölmesi ile bu ifadeyi \( x - 2 \)'ye bölerek diğer çarpanını bulalım.

\( x^3 - 4x^2 + 6x - 4 = (x - 2)(x^2 - 2x + 2) \)

Pay ve paydadaki ifadeleri yukarıdaki şekilde çarpanlarına ayırıp ortak çarpanları sadeleştirelim.

\( \lim_{x \to 2} \dfrac{x^3 - 4x^2 + 6x - 4}{x - 2} \) \( = \lim_{x \to 2} \dfrac{(x - 2)(x^2 - 2x + 2)}{x - 2} \)

\( = \lim_{x \to 2} (x^2 - 2x + 2) \)

Pay ve paydayı sıfır yapan çarpanları sadeleştirmiş olduk. Kalan ifadede direkt yerine koyma yöntemiyle limit değerini bulabiliriz.

\( = 2^2 - 2(2) + 2 = 2 \)

Yukarıdaki örnekte pay ve paydadaki ortak çarpanları sadeleştirdiğimizde \( \frac{0}{0} \) belirsizliğinin ortadan kalktığını ve ifadenin sadeleşmiş halinde \( x \) değerini yerine koyarak limit değerini elde edebileceğimizi gördük. Peki ortak çarpanları sadeleştirdiğimizde elde ettiğimiz yeni fonksiyonun bu noktadaki limitinin orijinal fonksiyonun aynı noktadaki limitine eşit olduğundan nasıl emin olabiliriz? Aşağıda bu soruyu cevaplamaya çalışacağız.

Sorudaki orijinal fonksiyonun (birinci grafik) ve sadeleşmiş halinin (ikinci grafik) grafikleri aşağıda verilmiştir.

Bu grafiklerle ilgili şu yorumları yapabiliriz.

• Bir rasyonel fonksiyon ve o fonksiyonun pay ve paydasındaki ortak bir çarpanın sadeleşmiş şekli bir nokta dışında aynı fonksiyonlardır ve grafikleri özdeştir.
• O nokta pay ve paydadaki bu çarpanı sıfır yapan ve belirsizliğe yol açan \( x \) değerinin karşılık geldiği noktadır.
• Bu nokta orijinal fonksiyonun grafiğinde tanımsız, sadeleşmiş fonksiyonda ise tanımlıdır.
• Limit bir noktadaki fonksiyon değeri ile değil, o noktanın civarındaki davranışla ilgilendiği için, iki fonksiyon arasındaki bu ayrımın limit hesaplamasına bir etkisi yoktur, dolayısıyla her ne kadar bu çarpanın sadeleşmesi yeni bir fonksiyon üretse de, bu noktadaki limit değeri açısından iki fonksiyon özdeştir.

\( \frac{0}{0} \) belirsizliğinde pay ve payda birer polinom ise ve ifadeyi çarpanlarına ayıramıyorsak pay ve paydadan daha yüksek dereceli olan ifadeyi diğerine polinom bölmesi ile bölmeyi deneyebiliriz. Bu polinom bölmesi işleminin sonucu bize ortak çarpanların sadeleşmiş halini verecektir.

SORU 1:

\( \lim_{x \to 1} \dfrac{x^{40} - 1}{x^{20} - 1} \) limitinin değerini bulalım.

Çözümü Göster

\( \lim_{x \to 1} \dfrac{x^{40} - 1}{x^{20} - 1} \) limitinde,

\( \lim_{x \to 1} (x^{40} - 1) = 1^{40} - 1 = 0 \)

ve

\( \lim_{x \to 1} (x^{20} - 1) = 1^{20} - 1 = 0 \)

olduğu için, \( \dfrac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Payı kare farkı şeklinde çarpanlarına ayırdığımızda paydadaki ifadeyi bir çarpan olarak elde ederiz.

\( x^{40} - 1 \) \( = (x^{20})^2 - 1^2 \) \( = (x^{20} - 1)(x^{20} + 1) \)

Paydaki ifadeyi yukarıdaki şekilde çarpanlarına ayırıp ortak çarpanları sadeleştirelim.

\( \lim_{x \to 1} \dfrac{x^{40} - 1}{x^{20} - 1} \) \( = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x^{20} - 1)(x^{20} + 1)}{x^{20} - 1} \)

\( = \lim_{x \to 1} (x^{20} + 1) \)

Pay ve paydayı sıfır yapan çarpanları sadeleştirmiş olduk. Kalan ifadede direkt yerine koyma yöntemiyle limit değerini bulabiliriz.

\( = 1^{20} + 1 = 2 \) buluruz.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

---

SORU 2:

\( \lim_{x \to 8} \dfrac{\sqrt[3]{x} - 2}{x - 8} \) limitinin değerini bulalım.

Çözümü Göster

\( \lim_{x \to 8} \dfrac{\sqrt[3]{x} - 2}{x - 8} \) limitinde,

\( \lim_{x \to 8} (\sqrt[3]{x} - 2) = \sqrt[3]{8} - 2 = 0 \)

ve

\( \lim_{x \to 8} (x - 8) = 8 - 8 = 0 \)

olduğu için, \( \dfrac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Paydayı küp farkı şeklinde çarpanlarına ayırdığımızda paydaki ifadeyi bir çarpan olarak elde ederiz.

\( x - 8 = \sqrt[3]{x}^3 - 2^3 = (\sqrt[3]{x} - 2)(\sqrt[3]{x}^2 + 2\sqrt[3]{x} + 2^2) \)

Paydadaki ifadeyi yukarıdaki şekilde çarpanlarına ayırıp ortak çarpanları sadeleştirelim.

\( \lim_{x \to 8} \dfrac{\sqrt[3]{x} - 2}{x - 8} \) \( = \lim_{x \to 8} \dfrac{\sqrt[3]{x} - 2}{(\sqrt[3]{x} - 2)(\sqrt[3]{x}^2 + 2\sqrt[3]{x} + 2^2)} \)

\( = \lim_{x \to 8} \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}^2 + 2\sqrt[3]{x} + 2^2} \)

Pay ve paydayı sıfır yapan çarpanları sadeleştirmiş olduk. Kalan ifadede direkt yerine koyma yöntemiyle limit değerini bulabiliriz.

\( = \dfrac{1}{\sqrt[3]{8}^2 + 2\sqrt[3]{8} + 2^2} \)

\( = \dfrac{1}{2^2 + 2 \cdot 2 + 2^2} \)

\( = \dfrac{1}{12} \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

---

SORU 3:

\( \lim_{x \to -3} \dfrac{2x^2 + 5x - 3}{x^2 + 5x + 6} \) limitinin değerini bulalım.

Çözümü Göster

\( \lim_{x \to -3} \dfrac{2x^2 + 5x - 3}{x^2 + 5x + 6} \) limitinde,

\( \lim_{x \to -3} (2x^2 + 5x - 3) = 2(-3)^2 + 5(-3) - 3 = 0 \)

ve

\( \lim_{x \to -3} (x^2 + 5x + 6) = (-3)^2 + 5(-3) + 6 = 0 \)

olduğu için, \( \dfrac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

-3 pay ve paydadaki ikinci derece ifadelerin ikisini de sıfır yaptığı için iki ifadenin de bir kökü olmalıdır, bu yüzden iki ifadeyi de çarpanlarına ayıralım.

\( 2x^2 + 5x - 3 = (2x - 1)(x + 3) \)

\( x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) \)

Pay ve paydadaki ifadeleri yukarıdaki şekilde çarpanlarına ayırıp ortak çarpanları sadeleştirelim.

\( \lim_{x \to -3} \dfrac{2x^2 + 5x - 3}{x^2 + 5x + 6} \) \( = \lim_{x \to -3} \dfrac{(2x - 1)(x + 3)}{(x + 2)(x + 3)} \)

\( = \lim_{x \to -3} \dfrac{2x - 1}{x + 2} \)

Pay ve paydayı sıfır yapan çarpanları sadeleştirmiş olduk. Kalan ifadede direkt yerine koyma yöntemiyle limit değerini bulabiliriz.

\( = \dfrac{2(-3) - 1}{-3 + 2} \)

\( = \dfrac{-7}{-1} = 7 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

---

SORU 4:

\( \lim_{x \to 4} \dfrac{x^3 - 6x^2 + 5x + 12}{x - 4} \) limitinin değerini bulalım.

Çözümü Göster

\( \lim_{x \to 4} \dfrac{x^3 - 6x^2 + 5x + 12}{x - 4} \) limitinde,

\( \lim_{x \to 4} (x^3 - 6x^2 + 5x + 12) = 4^3 - 6(4)^2 + 5(4) + 12 = 0 \)

ve

\( \lim_{x \to 4} (x - 4) = 4 - 4 = 0 \)

olduğu için, \( \dfrac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

4 pay ve paydadaki ifadelerin ikisini de sıfır yaptığı için iki ifadenin de bir kökü olmalıdır. Paydaki üçüncü dereceden ifadeyi çarpanlarına ayırmak için elimizde kolay bir yöntem olmadığı için polinom bölmesi ile bu ifadeyi \( x - 4 \)'e bölerek diğer çarpanını bulalım (polinom bölme işleminin detaylarını burada vermeyeceğiz).

\( x^3 - 6x^2 + 5x + 12 = (x - 4)(x^2 - 2x - 3) \)

Pay ve paydadaki ifadeleri yukarıdaki şekilde çarpanlarına ayırıp ortak çarpanları sadeleştirelim.

\( lim_{x \to 4} \dfrac{x^3 - 6x^2 + 5x + 12}{x - 4} \) \( = lim_{x \to 4} \dfrac{(x - 4)(x^2 - 2x - 3)}{x - 4} \)

\( = lim_{x \to 4} (x^2 - 2x - 3) \)

Pay ve paydayı sıfır yapan çarpanları sadeleştirmiş olduk. Kalan ifadede direkt yerine koyma yöntemiyle limit değerini bulabiliriz.

\( = 4^2 - 2(4) - 3 \)

\( = 16 - 8 - 3 = 5 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

---

SORU 5:

\( a, b \in \mathbb{R} \) olmak üzere,

\( \lim_{x \to 3} \dfrac{ax^2 - 18}{x - 3} = b \) eşitliği verilmektedir.

Buna göre, \( a + b \) toplamını bulalım.

Çözümü Göster

Verilen limit ifadesinin reel sayı bir sonucu olduğuna göre limitin tanımlı olduğu sonucuna varabiliriz.

\( \lim_{x \to 3} \dfrac{ax^2 - 18}{x - 3} \) limitinde,

\( \lim_{x \to 3} (x - 3) = 3 - 3 = 0 \)

olduğunu görüyoruz. Buna göre payın limitinin de sıfır olması ve ifadede giderilebilir bir \( \dfrac{0}{0} \) belirsizliği olması gerekir, aksi takdirde ifade \( c \ne 0 \) olacak şekilde \( \dfrac{c}{0} \) tanımsızlığına dönüşür. Buna göre payın limitini sıfıra eşitleyerek \( a \) değerini bulalım.

\( \lim_{x \to 3} (ax^2 - 18) = a3^2 - 18 = 0 \)

\( a = 2 \)

\( a \) değerini limit ifadesinde yerine koyalım ve çarpanlara ayırma yöntemiyle ifadeyi sadeleştirelim.

\( \lim_{x \to 3} \dfrac{2x^2 - 18}{x - 3} \)

\( = \lim_{x \to 3} \dfrac{2(x^2 - 9)}{x - 3} \)

\( = \lim_{x \to 3} \dfrac{2(x - 3)(x + 3)}{x - 3} \)

\( = \lim_{x \to 3} 2(x + 3) \)

Pay ve paydayı sıfır yapan çarpanları sadeleştirmiş olduk. Kalan ifadede direkt yerine koyma yöntemiyle limit değerini bulabiliriz.

\( = 2(3 + 3) = 12 = b \)

Buna göre, \( a + b = 2 + 12 = 14 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Eşlenik ile Çarpma

Pay ve payda belirsizliği ortadan kaldıracak şekilde ortak bir çarpana ayrılmıyorsa ve pay ya da payda köklü bir ifade içeriyorsa payı ve paydayı bu köklü ifadenin eşleniği ile çarparak ve oluşan ifadeyi sadeleştirerek belirsizliği gidermeyi deneyebiliriz. Belirsizlik ortadan kalktıktan sonra ifadenin bu sadeleşmiş haliyle limit değerini tekrar hesaplayabiliriz.

ÖRNEK 2:

\( \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1} \) limitinin değerini bulalım.

---

\( \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1} \) limitinde,

\( \lim_{x \to 1} (\sqrt{x + 3} - 2) = \sqrt{1 + 3} - 2 = 0 \)

ve

\( \lim_{x \to 1} (x - 1) = 1 - 1 = 0 \)

olduğu için, \( \dfrac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Bu belirsizliği gidermek için payı ve paydayı paydaki köklü ifadenin eşleniği ile çarpalım.

\( \lim_{x \to 1} [ \dfrac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1} \cdot \dfrac{\sqrt{x + 3} + 2}{\sqrt{x + 3} + 2}] \)

\( = \lim_{x \to 1} \dfrac{(\sqrt{x + 3})^2 - 2^2}{(x - 1)(\sqrt{x + 3} + 2)} \)

\( = \lim_{x \to 1} \dfrac{x - 1}{(x - 1)(\sqrt{x + 3} + 2)} \)

\( (x - 1) \) çarpanının pay ve paydada ortak olduğunu görüyoruz, bu iki çarpanı sadeleştirdiğimizde aşağıdaki ifadeyi elde ederiz.

\( = \lim_{x \to 1} \dfrac{1}{(\sqrt{x + 3} + 2)} \)

Elde ettiğimiz ifadede \( x = 1 \) koyduğumuzda belirsizliğin ortadan kalktığını görüyoruz. Kalan ifadede direkt yerine koyma yöntemiyle limit değerini bulabiliriz.

\( = \dfrac{1}{(\sqrt{1 + 3} + 2)} = \dfrac{1}{4} \)

SORU 6:

\( \lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x + 7} - 3}{\sqrt{x - 1} - 1} \) limitinin değerini bulalım.

Çözümü Göster

\( \lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x + 7} - 3}{\sqrt{x - 1} - 1} \) limitinde,

\( \lim_{x \to 2} (\sqrt{x + 7} - 3) = \sqrt{2 + 7} - 3 = 0 \)

ve

\( \lim_{x \to 2} (\sqrt{x - 1} - 1) = \sqrt{2 - 1} - 1 = 0 \)

olduğu için, \( \dfrac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Hem pay hem de payda köklü ifade içerdiği için, bu belirsizliği gidermek için payı ve paydayı bu iki köklü ifadenin eşlenikleri ile çarpalım.

\( \lim_{x \to 2} [ \dfrac{\sqrt{x + 7} - 3}{\sqrt{x - 1} - 1} \cdot \) \( \dfrac{(\sqrt{x + 7} + 3)(\sqrt{x - 1} + 1)}{(\sqrt{x + 7} + 3)(\sqrt{x - 1} + 1)} ] \)

\( = \lim_{x \to 2} \dfrac{(\sqrt{x + 7}^2 - 3^2)(\sqrt{x - 1} + 1)}{(\sqrt{x - 1}^2 - 1^2)(\sqrt{x + 7} + 3)} \)

\( = \lim_{x \to 2} \dfrac{(x + 7 - 9)(\sqrt{x - 1} + 1)}{(x - 1 - 1)(\sqrt{x + 7} + 3)} \)

\( = \lim_{x \to 2} \dfrac{(x - 2)(\sqrt{x - 1} + 1)}{(x - 2)(\sqrt{x + 7} + 3)} \)

Pay ve paydadaki ortak \( (x - 2) \) çarpanını sadeleştirelim.

\( = \lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x - 1} + 1}{\sqrt{x + 7} + 3} \)

Pay ve paydayı sıfır yapan çarpanları sadeleştirmiş olduk. Kalan ifadede direkt yerine koyma yöntemiyle limit değerini bulabiliriz.

\( = \dfrac{\sqrt{2 - 1} + 1}{\sqrt{2 + 7} + 3} \)

\( = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Özel Trigonometrik Limitler

İspatlarını trigonometrik fonksiyonların limiti bölümünde verdiğimiz bazı trigonometrik ifadelerin limit değerlerini kullanarak da \( \frac{0}{0} \) belirsizliğini giderebiliriz.

\( \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin{x}}{x} = 1 \)

\( \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos{x}}{x} = 0 \)

\( \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan{x}}{x} = 1 \)

L'Hospital Kuralı

Tüm belirsizlikleri gidermek için kullanabileceğimiz bir yöntem olan L'Hospital kuralını önümüzdeki bölümde inceleyeceğiz.

SORU 7:

\( \lim_{x \to -3} \dfrac{x^2 + 5x + 6}{x + 3} \) limitinin değeri kaçtır?

Çözümü Göster

Önce pay ve paydadaki ifadelerin ayrı ayrı limitini bulalım.

İki ifade de birer polinom fonksiyonudur. Polinom fonksiyonunun bir noktadaki limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.

\( \lim_{x \to -3} (x^2 + 5x + 6) = (-3)^2 + 5(-3) + 6 = 0 \)

\( \lim_{x \to -3} (x + 3) = -3 + 3 = 0 \)

Payın ve paydanın bu noktadaki limitleri ayrı ayrı sıfır olduğu için limit ifadesinde \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

İfadenin payının ve paydasının ortak bir çarpanı varsa ve limitini aldığımız değer bu çarpanı sıfır yapıyorsa payı ve paydayı çarpanlarına ayırarak ve bu ortak çarpanı sadeleştirerek belirsizliği giderebiliriz. Belirsizlik ortadan kalktıktan sonra ifadenin bu sadeleşmiş haliyle limit değerini tekrar hesaplayabiliriz.

\( \lim_{x \to -3} \dfrac{x^2 + 5x + 6}{x + 3} \)

\( = \lim_{x \to -3} \dfrac{(x + 2)(x + 3)}{x + 3} \)

\( = \lim_{x \to -3} (x + 2) \)

\( = -3 + 2 = -1 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

---

SORU 8:

\( \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos(2x)}{\sin{x} \cdot \cos{x}} \) limitinin değeri kaçtır?

Çözümü Göster

Önce pay ve paydadaki ifadelerin ayrı ayrı limitini bulalım.

Sinüs ve kosinüs fonksiyonları tüm reel sayılarda süreklidir. Sürekli fonksiyonlar arasındaki toplama, çıkarma, çarpma ve (payda sıfırdan farklı olmak koşuluyla) bölme işlemleri sonucunda oluşan fonksiyonlar da süreklidir.

Buna göre pay ve paydadaki ifadeler tüm reel sayılarda süreklidir ve doğrudan yerine koyma yöntemi ile limit değerlerini bulabiliriz.

\( \lim_{x \to 0} (1 - \cos(2x)) = 1 - 1 = 0 \)

\( \lim_{x \to 0} (\sin{x} \cdot \cos{x}) = 0 \cdot 1 = 0 \)

Payın ve paydanın bu noktadaki limitleri ayrı ayrı sıfır olduğu için limit ifadesinde \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Trigonometrik özdeşlikleri kullanarak payı ve paydayı sadeleştirelim.

Kosinüs iki kat açı formülü aşağıdaki gibidir.

\( \cos(2x) = 1 - 2\sin^2{x} \)

\( \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - (1 - 2\sin^2{x})}{\sin{x} \cdot \cos{x}} \)

\( = \lim_{x \to 0} \dfrac{2\sin^2{x}}{\sin{x} \cdot \cos{x}} \)

\( = \lim_{x \to 0} \dfrac{2\sin{x}}{\cos{x}} = \lim_{x \to 0} (2\tan{x}) \)

Tanjant fonksiyonu \( x = 0 \) noktasında sürekli olduğu için doğrudan yerine koyma yöntemi ile limit değerini bulabiliriz.

\( = 2\tan{0} = 0 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

---

SORU 9:

\( \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(2x)}{x \cdot \cos{x}} \) limitinin değeri kaçtır?

Çözümü Göster

Önce pay ve paydadaki ifadelerin ayrı ayrı limitini bulalım.

Sinüs ve kosinüs fonksiyonları tüm reel sayılarda süreklidir. Sürekli fonksiyonlar arasındaki toplama, çıkarma, çarpma ve (payda sıfırdan farklı olmak koşuluyla) bölme işlemleri sonucunda oluşan fonksiyonlar da süreklidir.

Buna göre pay ve paydadaki ifadeler tüm reel sayılarda süreklidir ve doğrudan yerine koyma yöntemi ile limit değerlerini bulabiliriz.

\( \lim_{x \to 0} \sin(2x) = 0 \)

\( \lim_{x \to 0} (x \cdot \cos{x}) = 0 \cdot 1 = 0 \)

Payın ve paydanın bu noktadaki limitleri ayrı ayrı sıfır olduğu için limit ifadesinde \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Trigonometrik özdeşlikleri kullanarak payı ve paydayı sadeleştirelim.

Sinüs iki kat açı formülü aşağıdaki gibidir.

\( \sin(2x) = 2\sin{x} \cdot \cos{x} \)

\( \lim_{x \to 0} \dfrac{2\sin{x} \cdot \cos{x}}{x \cdot \cos{x}} \)

\( = \lim_{x \to 0} \dfrac{2\sin{x}}{x} = 2 \cdot \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin{x}}{x} \)

\( \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin{x}}{x} = 1 \) olduğunu ispatıyla birlikte göstermiştik.

\( = 2 \cdot 1 = 2 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

---

SORU

\( \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos(2x)}{x \cdot (1 + \cos{x})} \) limitinin değeri kaçtır?

Çözümü Göster

Önce pay ve paydadaki ifadelerin ayrı ayrı limitini bulalım.

Birim fonksiyon ve kosinüs fonksiyonu tüm reel sayılarda süreklidir. Sürekli fonksiyonlar arasındaki toplama, çıkarma, çarpma ve (payda sıfırdan farklı olmak koşuluyla) bölme işlemleri sonucunda oluşan fonksiyonlar da süreklidir.

Buna göre pay ve paydadaki ifadeler tüm reel sayılarda süreklidir ve doğrudan yerine koyma yöntemi ile limit değerlerini bulabiliriz.

\( \lim_{x \to 0} (1 - \cos(2x)) = 1 - 1 = 0 \)

\( \lim_{x \to 0} (x \cdot (1 + \cos{x}) = 0 \cdot 2 = 0 \)

Payın ve paydanın bu noktadaki limitleri ayrı ayrı sıfır olduğu için limit ifadesinde \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Trigonometrik özdeşlikleri kullanarak payı ve paydayı sadeleştirelim.

Kosinüs iki kat açı formülü aşağıdaki gibidir.

\( \cos(2x) = 2\cos^2{x} - 1 \)

\( \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - (2\cos^2{x} - 1)}{x \cdot (1 + \cos{x})} \)

\( = \lim_{x \to 0} \dfrac{2 - 2\cos^2{x}}{x \cdot (1 + \cos{x})} \)

\( = \lim_{x \to 0} \dfrac{2(1 - \cos^2{x})}{x \cdot (1 + \cos{x})} \)

Kare farkı özdeşliğini kullanalım.

\( = \lim_{x \to 0} \dfrac{2(1 - \cos{x})(1 + \cos{x})}{x \cdot (1 + \cos{x})} \)

\( = \lim_{x \to 0} \dfrac{2(1 - \cos{x})}{x} \)

\( = 2 \cdot \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos{x}}{x} \)

\( \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos{x}}{x} = 0 \) olduğunu ispatıyla birlikte göstermiştik.

\( = 2 \cdot 0 = 0 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

---

SORU

\( \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan(2x) \cdot \cos(2x)}{x \cdot \cos^2{x}} \) limitinin değeri kaçtır?

Çözümü Göster

Önce pay ve paydadaki ifadelerin ayrı ayrı limitini bulalım.

Birim fonksiyon ve kosinüs fonksiyonu tüm reel sayılarda, tanjant fonksiyonu \( \{ \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \) hariç tüm noktalarda süreklidir. Sürekli fonksiyonlar arasındaki toplama, çıkarma, çarpma ve (payda sıfırdan farklı olmak koşuluyla) bölme işlemleri sonucunda oluşan fonksiyonlar da süreklidir.

Buna göre pay ve paydadaki ifadeler tüm reel sayılarda süreklidir ve doğrudan yerine koyma yöntemi ile limit değerlerini bulabiliriz.

\( \lim_{x \to 0} (\tan(2x) \cdot \cos(2x)) = 0 \cdot 1 = 0 \)

\( \lim_{x \to 0} (x \cdot \cos^2{x}) = 0 \cdot 1 = 0 \)

Payın ve paydanın bu noktadaki limitleri ayrı ayrı sıfır olduğu için limit ifadesinde \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Trigonometrik özdeşlikleri kullanarak payı ve paydayı sadeleştirelim.

Tanjant iki kat açı formülü aşağıdaki gibidir.

\( \tan(2x) = \dfrac{2 \cdot \tan{x}}{1 - \tan^2{x}} \)

\( \lim_{x \to 0} \dfrac{\frac{2 \cdot \tan{x}}{1 - \tan^2{x}} \cdot \cos(2x)}{x \cdot \cos^2{x}} \)

\( = \lim_{x \to 0} \dfrac{\frac{2 \cdot \tan{x}}{1 - \frac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}}} \cdot \cos(2x)}{x \cdot \cos^2{x}} \)

\( = \lim_{x \to 0} \dfrac{\frac{2 \cdot \tan{x} \cdot \cos^2{x}}{\cos^2{x} - \sin^2{x}} \cdot \cos(2x)}{x \cdot \cos^2{x}} \)

Kosinüs iki kat açı formülü aşağıdaki gibidir.

\( \cos(2x) = \cos^2{x} - \sin^2{x} \)

\( = \lim_{x \to 0} \dfrac{\frac{2 \cdot \tan{x} \cdot \cos^2{x}}{\cos(2x)} \cdot \cos(2x)}{x \cdot \cos^2{x}} \)

\( = \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \cdot \tan{x} \cdot \cos^2{x}}{x \cdot \cos^2{x}} \)

\( = \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \cdot \tan{x}}{x} = 2 \cdot \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan{x}}{x} \)

\( \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan{x}}{x} = 1 \) olduğunu ispatıyla birlikte göstermiştik.

\( = 2 \cdot 1 = 2 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

kaynağı değiştir]

Sıfır sözcüğü Arapçasifr (anlamı: boş, şifre) sözcüğünden türemiştir.^[2] Sifr ise Sanskrit'te boş anlamına gelen sunya sözcüğünün tercümesidir.^[2]

Tarihçe[değiştir

nest...

183149 183150 183151 183152 183153