55 Ile Bölünebilme Kuralı
Genel Bölünebilme Kuralı
SORU 1:
\( n \) bir tam sayı olmak üzere, \( n^3 - n \) sayısının 6'ya kalansız bölündüğünü gösterin.
Çözümü GösterVerilen ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( n^3 - n = n \cdot (n^2 - 1) \) \( = (n - 1) \cdot n \cdot (n + 1) \)
Buna göre verilen ifade ardışık 3 tam sayının çarpımını ifade eder.
Ardışık 3 sayıdan biri mutlaka 3'ün katı olacağı için 3 çarpanı içerir. Benzer şekilde ardışık 3 sayıdan biri ya da ikisi çift sayı olacağı için 2 çarpanı içerir.
Buna göre verilen ifade her \( n \) tam sayısı için 2 ve 3 çarpanlarını birlikte içerdiği için 6'ya kalansız bölünür.
0'ın 6'ya bölümünden kalan 0 olduğu için bu durum \( n \in \{-1, 0, 1\} \) için de geçerli olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 2:
\( n \) bir tek sayı olmak üzere, \( n^2 - 1 \) sayısının 8'e kalansız bölündüğünü gösterin.
Çözümü GösterVerilen ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( n^2 - 1 = (n - 1) \cdot (n + 1) \)
\( n \) bir tek sayı olduğu için \( n - 1 \) ve \( n + 1 \) çift sayılardır.
Bu iki sayı ardışık çift sayılar oldukları için biri 2'ye diğeri 4'e kalansız bölünürler, dolayısıyla ikisi birlikte en az üç tane 2 çarpanı içerirler.
Buna göre verilen ifade her tek \( n \) tam sayısı için en az üç tane 2 çarpanı içerdiği için 8'e kalansız bölünür.
0'ın 8'e bölümünden kalan 0 olduğu için bu durum \( n \in \{-1, 1\} \) için de geçerli olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 3:
\( A \) ve \( B \) pozitif tam sayılardır.
\( 84 \lt A \le 400 \)
\( B = \dfrac{A}{4} + \dfrac{A}{5} + \dfrac{A}{6} \) olduğuna göre,
\( A \)'nın alabileceği kaç tam sayı değeri vardır?
Çözümü GösterVerilen ifadede paydaları eşitleyelim.
\( B = \dfrac{15A}{60} + \dfrac{12A}{60} + \dfrac{10A}{60} \)
\( B = \dfrac{37A}{60} \)
\( A \)'yı \( B \) cinsinden yazalım.
\( A = \dfrac{60B}{37} \)
Paydadaki 37 asal sayı olduğu için \( A \)'nın tam sayı olması için \( B \)'nin 37'nin bir tam sayı katı olması gerekir, dolayısıyla \( B \) 37 ile sadeleştiğinde geriye bir pozitif tam sayı kalacaktır. Bu da \( A \)'nın 60'ın bir tam sayı katı olması anlamına gelir.
\( k \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( A = \dfrac{60B}{37} = 60k \)
\( 84 \lt A \le 400 \) olmak üzere \( A \)'nın alabileceği değerler aşağıdaki gibi olur.
\( k = \{ 2, 3, 4, 5, 6 \} \) için,
\( A = \{ 120, 180, 240, 300, 360 \} \) olur.
Buna göre \( A \)'nın alabileceği 5 değer vardır.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 4:
\( (xx) \) ve \( (yy) \) iki basamaklı doğal sayılar ve \( x^2 + y^2 = 100 \) olduğuna göre, \( (xx)^2 + (yy)^2 \) toplamı aşağıdakilerden hangisine tam bölünmez?
(a) 15
(b) 25
(c) 50
(d) 55
(e) 121
Çözümü GösterVerilen eşitliği sağlayan iki basamaklı sayılar 36 ve 64 olduğu için \( x \) ve \( y \) rakamları 6 ve 8 olmalıdır.
Buna göre verilen ifadeyi yazalım.
\( 66^2 + 88^2 = 11^2 \cdot 6^2 + 11^2 \cdot 8^2 \)
\( = 11^2 \cdot (6^2 + 8^2) = 11^2 \cdot 100 \)
\( = 2^2 \cdot 5^2 \cdot 11^2 \)
Bu ifade \( 25 = 5^2 \), \( 50 = 2 \cdot 5^2 \), \( 55 = 5 \cdot 11 \), \( 121 = 11^2 \) sayılarının çarpanlarını içerdiği için bu sayılara tam bölünür.
Ancak ifade \( 15 = 3 \cdot 5 \) sayısının çarpanlarından 3'ü içermediği için bu sayıya bölünmez.
Doğru cevap (a) seçeneğidir.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 5:
\( a \) tek ve \( b \) çift birer rakam olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle 55'e tam bölünür?
(a) \( baab \)
(b) \( baa0 \)
(c) \( baa5 \)
(d) \( bbbaa5 \)
(e) \( bbaa0 \)
Çözümü GösterGenel bölünebilme kuralına göre, bir sayının 55'e bölünmesi için sayı hem 5'e hem de 11'e tam bölünmelidir.
Bir sayının 5'e bölünmesi için birler basamağındaki rakam 0 ya da 5 olmalıdır.
(a) seçeneğindeki sayının birler basamağında başka rakamlar da olabileceği için 5'e kesinlikle bölünür diyemeyiz. Diğer seçeneklerdeki sayılar 5'e bölünür.
Sayıların 11'e bölünebilirliğini bulmak için, sayının rakamlarının altına birler basamağından başlayarak sırayla \( +, -, +, - ... \) yazılır. Her rakam altındaki işaretle birlikte toplanır ve sonucun 11'e bölünebilirliğine bakılır.
(b) seçeneği:
\( baa0 \)
\( -+-+ \)
\( 0 - a + a - b = -b \)
Bu sayı 11'e kesinlikle bölünür diyemeyiz.
(c) seçeneği:
\( baa5 \)
\( -+-+ \)
\( 5 - a + a - b = 5 - b \)
Bu sayı 11'e kesinlikle bölünür diyemeyiz.
(d) seçeneği:
\( bbbaa5 \)
\( -+-+-+ \)
\( 5 - a + a - b + b - b = 5 - b \)
Bu sayı 11'e kesinlikle bölünür diyemeyiz.
(e) seçeneği:
\( bbaa0 \)
\( +-+-+ \)
\( 0 - a + a - b + b = 0 \)
Bu sayı 11'e tam bölünür.
Buna göre (e) seçeneğindeki sayı 5 ve 11'e bölündüğü için 55'e de bölünür.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 6:
\( 23^2 - 8 \cdot 23 - 9 \) ifadesi aşağıdakilerden hangisine tam bölünmez?
(a) 7
(b) 14
(c) 24
(d) 28
(e) 36
Çözümü Gösterİfadeyi 3 terimli bir ifade gibi düşünerek çarpanlarına ayıralım.
\( 23^2 - 8 \cdot 23 - 9 = (23 - 9)(23 + 1) \)
\( = 14 \cdot 24 = 2^4 \cdot 3 \cdot 7 \)
Bu sayı ilk 4 seçenekteki sayıların tüm çarpanlarını içerdiği için bu sayılara tam bölünür.
Sayı 2 tane 3 çarpanı içermediği için \( 36 = 2^2 \cdot 3^2 \) sayısına tam bölünmez.
Doğru cevap (e) seçeneğidir.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 7:
\( x = 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11 \) olduğuna göre \( x - 45 \) sayısı aşağıdakilerden hangisine tam bölünmez?
(a) 3
(b) 4
(c) 5
(d) 13
(e) 19
Çözümü Göster\( x - 45 \) sayısını asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazalım.
\( x - 45 = 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11 - 5 \cdot 9 \)
\( = 5 \cdot 9 \cdot (7 \cdot 11 - 1) \)
\( = 5 \cdot 9 \cdot 76 \)
\( = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 19 \)
\( x - 45 \) sayısı 3, 4, 5, ve 19 çarpanlarını içerdiği için bu sayılara tam bölünür, ancak 13 sayısına bölünmez.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 8:
\( (2a4) + 326 \) toplamının sonucu 6'ya tam bölündüğüne göre, \( a \)'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözümü GösterBir sayının 6'ya bölünme kuralı o sayının hem 2'ye hem de 3'e bölünmesidir.
Hem \( (2a4) \) hem de \( 326 \) sayıları 2'ye bölündüğü için toplamları da 2'ye bölünür.
Verilen ifadenin sonucunun 3'e tam bölünüp bölünmediğini görmek için sayıların rakamlar toplamını alalım.
\( (2 + a + 4) + (3 + 2 + 6) = 17 + a \)
Buna göre ifadenin 3'e tam bölünmesi için \( a \in \{1, 4, 7\} \) olmalıdır.
\( a \)'nın alabileceği değerler toplamı \( 1 + 4 + 7 = 12 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 9:
3 basamaklı bir doğal sayının soluna aynı sayının yazılmasıyla elde edilen 6 basamaklı sayı aşağıdakilerden hangisine kesinlikle bölünür?
(a) 11
(b) 14
(c) 22
(d) 25
(e) 26
Çözümü Göster3 basamaklı sayıya \( (abc) \) diyelim. Bu sayının soluna aynı sayıyı yazdığımızda \( (abcabc) \) sayısını elde ederiz.
Bu sayıyı basamak değerleri cinsinden yazalım.
\( (abcabc) = 100000a + 10000b + 1000c + 100a + 10b + c \)
\( = 100100a + 10010b + 1001c \)
\( = 11 \cdot 9100a + 11 \cdot 910b + 11 \cdot 91c \)
\( = 11 \cdot 91 \cdot 100a + 11 \cdot 91 \cdot 10b + 11 \cdot 91c \)
\( = 11 \cdot 91 \cdot (100a + 10b + c) \)
Buna göre \( (abcabc) \) sayısı verilen seçenekler içinde 11'e kesinlikle bölünür.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 10:
3 basamaklı \( (xyz) \) sayısı 12'ye ve 45'e bölünmektedir.
Buna göre \( (xyz) \) sayısı ile ilgili aşağıdakilerden hangileri her zaman doğrudur?
I. 36'ya tam bölünür.
II. 15'e tam bölünür.
III. 24'e tam bölünür.
Çözümü Göster\( (xyz) \) 12'ye ve 45'e bölünüyorsa bu iki sayının EKOK'unun bir katıdır ve EKOK'un çarpanlarını içerir.
\( 12 = 2^2 \cdot 3 \)
\( 45 = 3^2 \cdot 5 \)
\( EKOK(12, 45) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \)
\( 36 = 2^2 \cdot 3^2 \)
Sayıların EKOK'u 36'nın tüm çarpanlarını içerdiği için \( (xyz) \) 36'ya kesinlikle bölünür. I. öncül doğrudur.
\( 15 = 3 \cdot 5 \)
Sayıların EKOK'u 15'in tüm çarpanlarını içerdiği için \( (xyz) \) 15'e kesinlikle bölünür. II. öncül doğrudur.
\( 24 = 2^3 \cdot 3 \)
Sayıların EKOK'u 24'ün çarpanlarının tümünü içermediği için \( (xyz) \) 24'e bölünmeyebilir. III. öncül her zaman doğru değildir.
Buna göre I. ve II. öncüller her zaman doğrudur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 11:
Aşağıdaki sayılardan hangisi \( (xyxyxy00) \) biçimindeki sekiz basamaklı bir sayıyı her zaman tam böler?
a. 2100
b. 21000
c. 1200
d. 12000
Çözümü Göster\( (xyxyxy00) \) sayısının çözümlemesini yapalım.
\( 10000000x + 1000000y + 100000x + 10000y + 1000x + 100y \)
\( = 10101000x + 1010100y \)
\( x \) ve \( y \) katsayıları 100 ortak çarpanı içerir.
\( = 100(101010x + 10101y) \)
\( x \) ve \( y \) katsayıları 3 ortak çarpanı içerir.
\( = 100 \cdot 3(33670x + 3367y) \)
\( x \) ve \( y \) katsayıları 7 ortak çarpanı içerir.
\( = 100 \cdot 3 \cdot 7(4810x + 481y) \)
Ayırdığımız çarpanları incelediğimizde \( 100 \cdot 3 \cdot 7 = 2100 \) olduğunu görürüz, dolayısıyla çözümlemesini yaptığımız sayı her zaman 2100'e tam bölünür.
Cevap (c) seçeneğidir.
Soru sorun Soruda hata bildirin
9 İle Bölünebilme Kuralı Nedir? 9 İle Kalansız Bölme İşlemi Konu Anlatımı Ve Örnek Soruları
9 İle Kalansız Bölme İşlemi Konu Anlatımı
9 ile bölünebilme kuralları bilinmeden önce üç ile kalansız bölünebilme kuralları öğrenilmelidir. Dokuz ile bölünebilme kuralı kısaca verilen sayının tüm rakamları toplanmasıdır. Bu rakamların dokuzun katı olup olmamasına bakılması ile sonuca ulaşılması demektir. Eğer sayı dokuzun katı değil ise muhtemelen yanlışlık vardır.
Eğer sayı üçün katı olmasına rağmen dokuzun katı değil ise üçe tam bölünür dokuza tam bölünemez demektir. Sayıların toplanması ile sonuca ulaşılması sayesinde birçok karışık işlem kolaylaştırılır. Örneğin 50 basamaklı bir sayı olsa bile sayı başmakları tek tek toplanılarak 9 a bölünüp bölünmediğine bakılır. Hatta bölünmüyor ise kalanının ne olacağı bile bilinebilir.
9 ile Kalansız Bölünebilme Örnek Soruları ve Cevapları Nedir?
9 ile kalansız bölünebilme kanunun son derece kolay ve anlaşılırdır. Fakat sorularda biraz karışık gelmesi nedeni ile öğrenciler tarafından bazı durumlarda anlaşılmamaktadır. Öncelikle öğrencilerin 9 ile bölünebilme konusunu tam olarak öğrenmesi için yapması gereken birkaç şey vardır. İlk olarak öğrenciler ayrıntılı şekilde örnek soruları çözmelidir. Devamında sınavlarda başarılı olmaları için en az üç kitabı çözmeleri gerekir.
Böylece 9 ile bölünebilme işlemleri hem kalıcı olur hem de hayatın birçok yerinde kullanılabilir. 9 ile bölünmenin kalıcı olması için bir örnek vermek gerekirse şudur. 65879 sayının 9 ile bölümünden kalan nedir? Sorusu olmaktadır. İlk olarak yapılması gereken işlem tüm rakamların toplanması olmaktadır. 6 +5 +8 +7 +9 sayılarının toplanması ile 35 sayısı elde edilir. 35 sayısının 9 ile bölümünden kalan 8’dir. Yani bu sayı dokuz ile tam olarak bölünmeyeceği saptanmış olur.
Ayrıca bu sayının 9 ile bölme işlemi yapılırsa kalanında 8 olacağı bilinmektedir. Eğer daha uzun bir sayı seçilirse işlem değişmeyecektir. Örneğin 56.849.721.319 sayısının 9 sayısı ile bölümünden kalan nedir? Bu gibi sorular tekrar tüm sayıların toplanması ile çözülür. 5+6+8+4+9+7+2+1+3+1+9 sayılarının toplanması ile elde edilen sayı 55 sayısı çıkmaktadır. 55 sayısının 9 işle bölümünden kalan 1 olmaktadır. Yani bu 11 basamaklı sayının 9 ile bölümünden kalan 1 olarak saptanmıştır. Ve bu sayı 9 ile tam olarak bölünmemektedir.
