98 In Bölenleri

'ın asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazılışı:

\( = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \)

Asal bölenler: 2, 3, 5

Asal bölenlerin sayısı \( = 3 \)

Pozitif bölenlerin sayısı \( = (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24 \)

Pozitif bölenler: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, , ,

Tüm (pozitif ve negatif) bölenlerin sayısı \( = 2 \cdot 24 = 48 \)

Tüm bölenler: Yukarıdaki pozitif bölenler ve negatif işaretlileri

Asal olmayan pozitif bölenlerin sayısı \( = 24 - 3 = 21 \)

Asal olmayan pozitif bölenler: 2, 3 ve 5 hariç pozitif bölenler

Asal olmayan bölenlerin sayısı \( = 48 - 3 = 45 \)

Asal olmayan bölenler: 2, 3 ve 5 hariç tüm bölenler

Tek sayı pozitif bölenlerin sayısı \( = (2 + 1)(1 + 1) = 6 \)

Tek sayı pozitif bölenler: 1, 3, 5, 9, 15, 45

Çift sayı pozitif bölenlerin sayısı \( = 24 - 6 = 18 \)

Çift sayı pozitif bölenler: Yukarıdaki tek sayı pozitif bölenler hariç tüm pozitif bölenler

Asal bölenlerin toplamı \( = 2 + 3 + 5 = 10 \)

Pozitif bölenlerin toplamı \( = (2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3) \cdot \) \( (3^0 + 3^1 + 3^2) \cdot \) \( (5^0 + 5^1) \)

\( = 15 \cdot 13 \cdot 6 = \)

Pozitif bölenlerin çarpımı \( = \sqrt{^{24}} = ^{12} \)

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( 70^{n - 4} = (2 \cdot 5 \cdot 7)^{n - 4} \)

\( = 2^{n - 4} \cdot 5^{n - 4} \cdot 7^{n - 4} \)

Bu sayının pozitif bölen sayısını bulalım.

PBS \( = (n - 3)(n - 3)(n - 3) \)

\( (n - 3)^3 = 27 \)

\( n = 6 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( 16! = 16 \cdot 15 \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 \)

Sayıyı asal çarpanlarına ayırmadan \( 16! \) içindeki asal çarpanları yazalım.

\( \{ 2, 3, 5, 7, 11, 13 \} \)

Asal bölenlerin toplamı \( 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 = 41 \) olarak bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Verilen kümenin elemanlarını asal çarpanları cinsinden yazalım.

\( \{1, 2, a, 2 \cdot 3, 3^2, b\} \)

Elemanlar içinde 3 asal çarpanı içeren eleman bulunduğu için 3 de bu sayının bir pozitif böleni olmalıdır.

Elemanlar içinde 3'ün ikinci kuvvetini içeren eleman bulunduğu için 2 ve 3'ün ikinci kuvvetinin çarpımı da bu sayının bir pozitif böleni olmalıdır.

Buna göre \( a = 3 \) ve \( b = 2 \cdot 3^2 = 18 \) olur.

\( a + b = 3 + 18 = 21 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( A = ^2 + ^2 + ^2 \)

\( = ^2 + 3^2 \cdot ^2 + 5^2 \cdot ^2 \)

\( = ^2(1 + 3^2 + 5^2) \)

\( = ^2 \cdot 35 \)

\( = 3^2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 37^2 \)

Pozitif bölen sayısını bulmak için asal çarpanların üsleri birer artılır ve çarpılır.

PBS \( = (2 + 1) \cdot (1 + 1) \cdot (1 + 1) \cdot (2 + 1) \)

\( = 36 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( \dfrac{2x + }{x} = \dfrac{2x}{x} + \dfrac{}{x} \)

İlk terim bir tam sayı olduğu için ikinci terimi tam sayı yapan \( x \) değerleri tüm ifadeyi de tam sayı yapar.

'in her bir pozitif böleni için bu kesirli ifadenin sonucu tam sayı olur.

\( = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \)

'in pozitif bölen sayısını bulalım.

PBS \( = (2 + 1) \cdot (2 + 1) \cdot (1 + 1) = 18 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

'ü asal çarpanlarına ayıralım.

\( = 2^2 \cdot 5^4 \)

İfadeyi tam kare çarpanlar cinsinden yazalım.

\( = (2^2)^1 \cdot (5^2)^2 \)

Tam kare bölenlerin içinde tüm çarpanların tam kare şeklinde bulunmaları gerektiği için parantez içindeki çarpanları asal çarpan gibi düşünerek pozitif bölen sayısını bulalım.

Tam kare bölen sayısı \( = (1 + 1)(2 + 1) = 6 \)

Buna göre 'ün 6 tam kare böleni vardır ve bu bölenler \( \{1, 4, 25, , , \} \) sayılarıdır.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

15 ve 'ü asal çarpanlarına ayıralım.

\( 15 = 3 \cdot 5 \)

\( = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 \)

Buna göre, \( x \) en az \( 3 \cdot 5 \), en fazla \( 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2 \) çarpanlarını içermelidir.

içinde olup 15 içinde olmayan çarpanlar \( 2^2 \cdot 5 \) olur ve bu çarpanlar için yazılabilecek bölen sayısı kadar farklı \( x \) sayısı yazılabilir.

\( 2^2 \cdot 5 \) çarpanları ile \( (2 + 1)(1 + 1) = 6 \) farklı bölen yazılabilir. Bu bölenlerin her birini \( 15 = 3 \cdot 5 \) ile çarparsak istenen koşulu sağlayan \( x \) değerlerini buluruz.

Buna göre \( x \)'in alabileceği 6 değer aşağıdaki gibidir.

\( 15 \cdot 2^0 \cdot 5^0 = 15 \)

\( 15 \cdot 2^1 \cdot 5^0 = 30 \)

\( 15 \cdot 2^2 \cdot 5^0 = 60 \)

\( 15 \cdot 2^0 \cdot 5^1 = 75 \)

\( 15 \cdot 2^1 \cdot 5^1 = \)

\( 15 \cdot 2^2 \cdot 5^1 = \)

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( 4^4 \cdot 3^{x + 1} = 2^8 \cdot 3^{x + 1} \)

Bu sayının pozitif bölen sayısı formülünü yazalım.

PBS \( = (8 + 1)(x + 2) = 36 \)

\( = 9(x + 2) = 36 \)

\( x = 2 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

sayısını asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazalım.

\( = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \)

Buna göre 'un \( 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16 \) pozitif tam sayı böleni vardır ve normal koşullar altında \( x \) bu 16 değerden herhangi birini alabilir.

Ancak \( y + 8 \) çarpanının 8'den büyük olması gerektiği için \( y \notin \{ 2, 3, 5, 2 \cdot 3, 7 \} \) olmalıdır, dolayısıyla \( x \)'in alabileceği değerlerin sayısı 5 eksik olur.

\( 16 - 5 = 11 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( - 98 = \)

İstenen sayı 'yı tam bölmelidir.

'yı çarpanlarına ayıralım.

\( = 2^4 \cdot \)

'nın asal çarpanlarının (2, 2, 2, 2, ) herhangi bir alt kümesindeki elemanların çarpımı 'yı tam böler.

Bu sayılar içinde üç basamaklı en büyük sayı \( 2 \cdot 2 \cdot = \) olur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Tam sayı bölen sayısını bulmak için \( A \)'yı asal çarpanlarına ayıralım.

İfadeyi \( 9^{24} \) parantezine alalım.

\( A = 9^{24}(1 + 9 + 9^2 + 9^3) \)

\( = 3^{48}(1 + 9 + 81 + ) \)

\( = 3^{48} \cdot \)

\( = 2^2 \cdot 3^{48} \cdot 5 \cdot 41 \)

Bir sayının pozitif bölenlerinin sayısı asal çarpanlarının kuvvetlerinin birer fazlasının çarpımına eşittir.

\( A \) sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı:

\( (2 + 1)(48 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = \) olarak bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Soru: