A 3 B 3 Açılımı

Bu yazımızda Çarpanlara Ayırma Formülleri ve Özdeşlikler Formüllerini detaylıca açıklıyoruz. Matematik dersinde önemli bir yeri olan bu konunun detaylıca öğrenilmesi siz değerli öğrencilerimize ciddi fayda sağlayacaktır.

ÖNEMLİ ÖZDEŞLİKLER

Tam Kare Özdeşliği:
İki Terim Toplamının Karesi : (a + b)² = a² + 2ab + b²

İki Terim farkının Karesi : (a − b)² = a² − 2ab + b²

Üç Terim Toplamının Karesi: (a +b + c)² = a² + b² + c² + 2.(ab + ac + bc)

İki Terim Toplamının Küpü: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

İki Terim Farkının Küpü : (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³

İki Kare Farkı Özdeşliği: a² – b² = (a + b).(a – b) 

xⁿ + yⁿ veya xⁿ − yⁿ biçimindeki polinomların Özdeşliği

İki küp Toplamı : a³ + b³ = (a + b).(a² – ab + b²)

İki küp Farkı : a³ − b³ = (a − b).(a² + ab + b²)

a⁴ – b⁴ = (a² + b²).(a + b).(a – b)

a⁵ + b⁵ = (a + b).(a⁴ – a³b + a² b² – ab³ + b⁴)

a⁵ – b⁵ = (a – b).(a⁴ + a³b + a² b² + ab³ + b⁴)

a⁶ – b⁶ = (a – b).(a² + ab + b²).(a+ b).(a² − ab + b²)

a⁷ + b⁷ = (a + b).(a⁶ – a⁵b + a⁴b² – a³b³ + a²b⁴ – ab⁵ + b⁶)

a⁷ – b⁷ = (a – b).(a⁶ + a⁵b + a⁴b² + a³b³ + a²b⁴ + ab⁵ + b⁶)

Özdeşlikleri aşağıdaki şekilleriyle düzenleyerek kullanabiliriz

x² + y² = (x + y)² – 2xy

x² + y² = (x – y)² + 2xy
(x – y)² = (x + y)² – 4xy

(x + y)² = (x – y)² + 4xy

x³ – y³ = (x – y)³ + 3xy (x – y)

x³ + y³ = (x + y)³ – 3xy (x + y)

x² + y² + z² = (x + y + z)² – 2 (xy + xz + yz)

Ortak Çarpan Parantezine Alma

* a.x+b.x= (a+b).x

* x2+2x=x.(x+2)

* x2y+y=y.(x2+1)

* xxy=x.(x-2y)

* (x+2).b+a.(x+2)=(b+a).(x+2)

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma

* ax+bx+ay+by=x.(a+b)+y.(a+b)=(x+y).(a+b)

* x3-x2+x-1=x2.(x-1)+(x-1)=(x-1).(x2+1)

* xy-4x-4y+16= x(y-4)-4(y-4) = (y-4).(x-4)

İki Küp Farkı Örnek Soruları ve Çözümleri

Örnek #1: x³ — 27 ifadesini çarpanlarına ayırınız.

Çözüm: Soruyu iki küp farkı haline getirmek için 27 sayısının 3³ şeklinde yazarız.

Bu durumda ifademiz x³ — 3³ şeklinde olacaktır.

x³ — 3³ = (x — 3).(x² + 3x + 9)

Örnek #2: 8a³ — 64b³ ifadesinin eşitini bulunuz.

Çözüm: Soruyu iki küp farkına çevirmek için 8a3 — 64b3 ifadesini (2a)3 — (4b)3 şeklinde yazarız. Bu durumda özdeşliği yazarsak

(2a)³ — (4b)³ = (2k — 5m). (4a² + 8ab + 16b²)

Örnek #3: a — b = 10 ve a.b = 30 olmak üzere a³ — b³ ifadesinin eşiti kaçtır?

Çözüm: a³ — b³ ifadesini açalım. a³ — b³ = (a — b).(a² + ab + b²) olur. Burada a — b ve a.b ifadelerini biliyoruz. İhtiyacımız olan tek şey a² + b² ifadesini bulmaktadır. Bunu bulmak için de (a — b) ifadesinin karesini alalım.

(a — b)² = a² + b² — 2ab olur. Formülde bildiklerimizi yerine yazarsak

10² = = a² + b² — olur. Buradan da a² + b² = bulunur.

Şimdi özdeşlikte hepsini yerine yazalım.

a³ — b³ = (a — b).(a² + ab + b²) = ( + 30) = = bulunur.

Aradaki farkı anlamak için bu konuyla ilgili özdeşlikleri verelim.

• a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
• a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
• (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
• (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³

Yukarıda küp farkı ve toplamı formülü de verilmiştir.

Bu formülleri birbirine karıştırmamaya dikkat etmek gerekir.

ax²+bx+c ifadesini çarpanlara ayırma
ax²+bx+c ifadesi çarpanlara ayrılırken, ax² terimi iki çarpan haline getirilecek (m ve n olsun) ve c terimi de iki çarpan haline getirilecek (p ve r olsun). Bu dört çarpan ikişer ikişer birbirleri ile çarpılıp toplandığında bx terimini verecek şekilde şeçilirler. Diyelim ki bu bx ifadesini m.p+n.r vermiş olsun.

O zaman çarpanlara ayrılmış hali ax²+bx+c=(n+p).(m+r) dir.

Örnek: x²+12x+32 ifadesini çarpanlarına ayıralım.

x²=x.x
32=

8 çarpanı ile x çarpanı çarpılıp 8x, 4 çarpanı ile x çarpılıp 4x bulunur. 8x+4x toplamı x²+12x+32 ifadesindeki ortadaki terim olan 12x vermektedir.

O zaman x²+12x+32 ifadesinin çarpanlara ayrılmış hali şöyledir.

x²+12x+32=(x+8).(x+4)

Örnek: 20x²-x ifadesini çarpanlara ayıralım.

20x²=4x.5x
=

x=x ve x=15x ve x+15x=-x olup 20x²-x ifadesinin ortasındaki terimi verdiğinden.

20x²-x=(5x-4).(4x+3)

Örnek: 6x²+11x+3 ifadesini çarpanlara ayıralım.

6x²=3x.2x
3=

x+x=11x olduğundan 6x²+11x+3 ifadesinin çarpanlara ayrılmış hali 6x²+11x+3=(3x+1).(2x+3) tür.

Çarpanlara Ayırma

A. ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA
A(x) . B(x) &#; A(x) . C(x) = A(x) . [B(x) &#; C(x)]
En az dört terimi olan ifadeler ortak çarpan parantezine alınacak biçimde gruplandırılır, sonra ortak çarpan parantezine alınır.,
B. ÖZDEŞLİKLER
1. İki Kare Farkı - Toplamı

1. a² &#; b² = (a &#; b) (a + b)
2. a² + b² = (a + b)2 &#; 2ab ya da

a² + b² = (a &#; b)^{2 + 2ab} dir.
2. İki Küp Farkı - Toplamı

1. a3 &#; b3 = (a &#; b) (a2 + ab + b2 )
2. a3 + b3 = (a + b) (a2 &#; ab + b2 )
3. a3 &#; b3 = (a &#; b)3 + 3ab (a &#; b)
4. a3 + b3 = (a + b)3 &#; 3ab (a + b)

3. n. Dereceden Farkı - Toplamı
i) n bir sayma sayısı olmak üzere,
xⁿ &#; yⁿ = (x &#; y) (x^{n &#; 1} + x^{n &#; 2} y + x^{n &#; 3} y² + + xy^{n &#; 2} + y^{n &#; 1}) dir.
ii) n bir tek sayma sayısı olmak üzere,
xⁿ + yⁿ = (x + y) (x^{n &#; 1} &#; x^{n &#; 2y} + x^{n &#; 3} y² &#; &#; 
xy^{n &#; 2} + y^{n &#; 1}) dir.
4. Tam Kare İfadeler

1. (a + b)² = a² + 2ab + b2
2. (a &#; b)² = a² &#; 2ab + b2
3. (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + ac + bc)
4. (a + b &#; c)² = a² + b² + c² + 2(ab &#; ac &#; bc)

n bir tam sayı olmak üzere,
 (a &#; b)²ⁿ = (b &#; a)²ⁿ
 (a &#; b)^{2n &#; 1} = &#; (b &#; a)^{2n &#; 1} dir.,
 (a + b)² = (a &#; b)² + 4ab
5. (a &#; b)n nin Açılımı

Pascal Üçgeni
(a + b)ⁿ açılımı yapılırken, önce a nın n . kuvvetten başlayarak azalan, b nin 0 dan başlayarak artan kuvvetlerinin çarpımları yazılıp toplanır.
Sonra n nin Paskal üçgenindeki karşılığı bulunarak katsayılar belirlenir.
(a &#; b)ⁿ yukarıdaki biçimde yapılır ancak b nin; çift kuvvetlerinde terimin önüne (+), tek kuvvetlerinde terimin önüne (&#;) işareti konulur.
 (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
 (a &#; b)³ = a³ &#; 3a²b + 3ab² &#; b³
 (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ +b⁴
 (a &#; b)⁴ = a⁴ &#; 4a³b + 6a²b² &#; 4ab³ + b⁴
C. ax² + bx + c
BİÇİMİNDEKİ ÜÇ TERİMLİNİN 
ÇARPANLARA AYRILMASI
1. a = 1 için,
b = m + n ve c = m . n olmak üzere,
x2 + bx + c = (x + m) (x + n) dir.

A. ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA

En az dört terimi olan ifadeler ortak çarpan parantezine alınacak biçimde gruplandırılır, sonra ortak çarpan parantezine alınır.

B. ÖZDEŞLİKLER

1. İki Kare Farkı &#; Toplamı

1) a² – b² = (a – b)(a + b)

2) a² + b² = (a + b)² – 2ab

3) a² + b² = (a – b)² + 2ab

2. İki Küp Farkı &#; Toplamı

1) a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b² )

2) a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b² )

3) a³ – b³ = (a – b)³ + 3ab(a – b)

4) a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab(a + b)

3. n. Dereceden Farkı &#; Toplamı

1)n bir sayma sayısı olmak üzere,

xⁿ – yⁿ = (x – y)(x^{n – 1} + x^{n – 2}y + x^{n – 3} y² + &#; + xy^{n – 2} + y^{n – 1}) dir.

2)n bir tek sayma sayısı olmak üzere,

xⁿ + yⁿ = (x + y)(x^{n – 1} – x^{n – 2}y + x^{n – 3} y² – &#; – xy^{n – 2} + y^{n – 1}) dir.

4. Tam Kare İfadeler

1) (a + b)² = a² + 2ab + b²

2) (a – b)² = a² – 2ab + b²

3) (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + ac + bc)

4) (a + b – c)² = a² + b² + c² + 2(ab – ac – bc)

n bir tam sayı ve a ¹ b olmak üzere,

• (a – b)²ⁿ = (b – a)²ⁿ

• (a – b)^{2n – 1} = –(b – a)^{2n – 1} dir.

• (a + b)² = (a – b)² + 4ab

5. (a ± b)ⁿ nin Açılımı

Pascal Üçgeni

(a + b)ⁿ açılımı yapılırken, önce a nın n . kuvvetten başlayarak azalan, b nin 0 dan başlayarak artan kuvvetlerinin çarpımları yazılıp toplanır.

Sonra n nin Paskal üçgenindeki karşılığı bulunarak kat sayılar belirlenir.

(a – b)ⁿ yukarıdaki biçimde yapılır ancak b nin; çift kuvvetlerinde terimin önüne (+), tek kuvvetlerinde terimin önüne (–) işareti konulur.

• (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

• (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

• (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ +b⁴

• (a – b)⁴ = a⁴ – 4a³b + 6a²b² – 4ab³ + b⁴

• a⁴ + a² + 1 = (a² + a + 1)(a² – a + 1)

• a⁴ + 4 = (a² + 2a + 2)(a² – 2a + 2)

• a⁴ + 4b⁴ = (a² + 2ab + 2b²)(a² – 2ab + 2b²)

a³ + b³ + c³ – 3abc =

(a + b + c)(a² + b² + c² – ab – ac – bc)

C. ax² + bx + c  BİÇİMİNDEKİ ÜÇ TERİMLİNİN ÇARPANLARA AYRILMASI

ax² + bx + c ifadesini çarpanlarına ayırırken birkaç yöntem kullanılır. Biz burada ikisini vereceğiz. En iyi öğrendiğiniz yöntemi daima kullanarak pratiklik sağlayınız.

1. YÖNTEM

1. a = 1 için,

b = m + n ve c = m × n olmak üzere,

2. a ¹ 1 iken

m × n = a, mp + qn = b ve c = q × p ise

ax² + bx + c = (mx + q) × (nx + p) dir.

2. YÖNTEM

Çarpımı a × c yi,

toplamı b yi veren iki sayı bulunur.

Bulunan sayılar p ve r olsun.

Bu durumda,

 daki ifade gruplandırılarak çarpanlarına ayrılır.

İlgili Konular