Bir kareyi tam ortasından iki eşit dikdörtgen oluşturacak şekilde ikiye bölelim.
Dikdörtgenlerin ortak kenarının, karenin tabanını kestiği noktaya pergelimizi koyalım.
Pergelimizi öyle açalım ki, çizeceğimiz daire, karenin karşı köşesine değsin, yani yarı çapı, bir dikdörtgenin köşegeni olsun.
Sonra, karenin tabanını, çizdiğimiz daireyle kesişene kadar uzatalım.
Yeni çıkan şekli bir dikdörtgene tamamladığımızda, karenin yanında yeni bir dikdörtgen elde etmiş olacağız.
Karenin taban uzunluğun (A) İşte bu yeni dikdörtgenin taban uzunluğuna (B) oranı altın oran'dır. Büyük dikdörtgenin taban uzunluğunun (C) Karenin taban uzunluğuna (A) oranı da altın oran'dır. A / B = C / A = Altın oran ≈
Elde ettiğimiz bu dikdörtgen ise, bir altın dikdörtgendir. Çünkü uzun kenarının, kısa kenarına oranı dur, yani altın orandır.
Artık bu dikdörtgenden her bir kare çıkardığımızda elimizde kalan, bir altın dikdörtgen olacaktır.
İçinden defalarca kareler çıkardığımız bu altın Dikdörtgen'in karelerinin kenar uzunluklarını yarıçap alan bir çember parçasını her karenin içine çizersek, bir altın Spiral elde ederiz.
Bu karelerin kenar uzunlukları sırasıyla Fibonacci sayılarını verir.
Pentagon[değiştir
Matematiği sevin ya da sevmeyin altın oran ismini mutlaka bir yerlerde duymuş olmalısınız. Bu sayı matematiğin pi sayısından sonra en ünlü sayısıdır desek hata yapmış olmayız.
Bu oran, Da Vinci Şifresi kitabında/filminde ve matematiğin gerçek dünyada ne kadar önemli olduğunu göstermeyi amaçlayan birçok makale, kitap ve okul projesinde yer alır. Birçok yazar tarafından doğadaki tüm güzel desenlerin temeli olarak tanımlanır. Hatta bazen ilahi oran olarak da anılmaktadır. Sanat ve mimarinin büyük bir bölümünün altın oranın verdiği oranlarda özellikler içerdiği iddia edilmektedir.
Ancak sayının ünü matematiksel özelliklerinden ziyade bazı mistik öğeler ile bağlantısı olduğu düşünüldüğü ile ilişkilidir. Altın oranın tarihi hakkında bir sürü hikaye vardır. Bu hikayeler sizlere Mısır piramitlerinin, Yunan tapınaklarının, Mona Lisa portresinin altın orana uyacak şekilde yapıldığını söyleyecektir.
Hatta altın oranın insan vücudunda, örneğin bir yetişkinin boyunun göbeğinin yüksekliğine veya önkol uzunluğunun elin boyuna oranı olarak ortaya çıktığı da iddia edilmiştir. Ama altın oran ile ilgili duyduklarımız olmayan yerlerde desenler görme ve kalıplar bulmak ile ilgili eğilimimiz ile ilgilidir. Diğer bir deyişle hayal gücümüzün ürünüdür. Peki o zaman altın oran gerçekte nedir? Anlatmaya başlayalım…
Altın Oran Nedir?
Altın oran, Antik Yunan matematikçi Öklid tarafından şu şekilde tanımlanmıştır. İki parçaya bölmek istediğiniz bir doğru parçasına sahip olduğunuzu hayal edin. Bunu, tüm parça ile iki parçanın uzunu arasındaki oran, iki parçanın uzunu ve kısası arasındaki oran ile aynı olacak şekilde bölmek istersiniz. Bu oran ne olmalıdır?
Biraz matematik yardımı ile adı geçen oranın ne olması gerektiğini hesaplamak mümkündür. Sonuç irrasyonel sayı olan Yunanca phi (φ) harfi ile gösterilmektedir. Değeri ise φ = (1 + √5) / 2 = …biçimindedir.
Gördüğünüz gibi altın oranın değeri yaklaşık olarak 1,5 dur. Her yerde karşımıza çıktığını düşünmemizin nedeni de aslında bu sayıdır. Bir şey bir buçuğa yakınsa, altın orana yakındır. Ancak altın oran pi sayısı gibidir. Gerçek dünyada mükemmel bir çemberi bulmak nasıl mümkün değilse, altın oran da gerçek dünyadaki herhangi bir nesneye uygulanamaz. Yani her zaman biraz eksik kalacaktır çünkü altın oran irrasyonel bir sayıdır.
Eniyle boyu arasındaki oran Altın Oran’a yakın olan bir dikdörtgenin (altın dikdörtgen) göze en hoş gelen dikdörtgen olduğu söylenir, çünkü ne fazla uzun, ne fazla geniştir. Oysa bir dikdörtgenin göze hoş görünmesi için en-boy oranının tam olarak φ’ye eşit olmasına gerek ve imkan yoktur. Buna yakın herhangi bir oran da pekala aynı derecede göze hoş gelecektir. Aşağıdaki dikdörtgenlerden herhangi birinin göze daha güzel gözüktüğünü söyleyebilir misiniz?
Altın Oran Efsanesi Nasıl Ortaya Çıktı?
Altın oranın Pisagor kültünden biri tarafından tanımlandığını biliyoruz. Bu kişinin Hippasus olduğu düşünülmektedir. Altın oran daha sonra Öklid ve Plato tarafından kaleme alınan eserlerde karşımıza çıkmaktadır.
Altın orana φ denmesinin nedeni de aslında onu kompozisyonlarında kullanan Yunan heykeltıraş Phidias’a (MÖ ) bir göndermedir. Phidias’ın adı Yunancada φ harfi ile başlar. Altın orana olan ilgi Yunanlıların ardından on altıncı yüzyıla kadar unutulmuştur.
Altın oranın estetikle herhangi bir ilişkisi olduğu fikri, öncelikle, biri yanlış alıntılanmış, diğeri ise icatlara başvuran iki kişiden gelmektedir. Yanlış alıntılanan yazar, ’da De Divina Proportione adlı bir kitap yazan Luca Pacioli’ydi.
Kitap, adını altın orandan almıştır, ancak altın orana dayalı bir estetik teorisini veya bunun uygulanması gerektiğini savunmamıştır. Pacioli, Leonardo da Vinci ile yakın arkadaştı. Ayrıca genellikle Leonardo’nun resimlerinde altın oranı kullandığı iddia edilir. Bunun doğrudan bir kanıtı yoktur.
Bu örneklerin belki de en ünlüsü Vitruvius Adamı’dır. Ancak bu resimdeki oranlar altın oran ile uyuşmamaktadır. Nitekim Leonardo eserlerinde sadece tam sayı oranlarından bahsetmiştir. Resimlerinde görülen altın oranın sözde örnekleri, doğada oranı bulanlarla aynı sınıftadır.
Altın Oran Efsanesi Günümüze Nasıl Ulaştı?
Ama psikolog Adolf Zeising olmasaydı muhtemel günümüze kadar bu fikir ulaşmazdı. Zeising baktığı her yerde desenler gördüğünü iddia ediyordu. Zeising’e göre altın oran insan vücuduna da uyarlanabilirdi. Altın oranla ilgili, duyduğumuz bir çok efsanenin temelinde onun tanımlamaları geçerlidir. Zeising’in teorileri, zamanla son derece popüler oldu ve hiçbir zaman ortadan kaybolmadı.
Altın Oran İnsan Vücudunda da Vardır Efsanesi
Altın oranın insan vücudundaki birçok oranın kalbinde yer aldığı varsayılmaktadır. Bu nedenle altın oran güzellik ile de bağdaştırılmıştır. Ancak bunların hiçbiri doğru değildir. Vücudumuza pek çok olası oran vardır ve bunların çoğu 1 ile 2 arasında bir yerdedir.
Bu mantıkla bakarsanız altın oranın değerine yakın sayılar elde etmeniz her zaman kaçınılmazdır. Hatta yeterince dikkatli bakarsanız, insan vücudunda 1,6, 5/3, 3/2, karekök 2, 42/26 gibi oranlar da bulacaksınız. Bunlar tamamen tesadüfidir. Güneş sisteminde de benzer sahte modelleri gözlemlemeniz mümkündür.
.Bütün bunlar, insan beyninin sahte bağlantılar bulma biçiminin bir örneğidir. Gerçekten de yeterli veri verildiğinde, hemen hemen her hipotezle uyumlu modeller bulmak mümkündür. Bunu görmenin iyi bir yolu, güneşli güzel bir günde dışarı çıkıp bulutlara bakmaktır. Er ya da geç, yeni bir modele uyan bir bulut bulacaksınız. Altın oran nedir konusunda geri dönelim…
Altın Dikdörtgen, Spiraller ve Diğerleri
A/B altın oran olacak şekilde A ve B parçalarına bölünmüş bir doğru alır ve daha sonra A+B ve A kenarları olan bir dikdörtgen oluşturursanız, bu dikdörtgene altın dikdörtgen denir. Aşağıda bir altın dikdörtgen görüyorsunuz.
Daha küçük ve daha küçük altın dikdörtgenlerin dizisini kullanarak spiral gibi görünen bir şey oluşturabiliriz. Bunu yapmak için altın dikdörtgenlerde görünen karelerin her birine çeyrek bir daire çizmeniz gerekiyor.
Bu spiral benzeri şeklin doğada ve sanatta birçok yerde bulunabileceği sıklıkla iddia edilmektedir. Örneğin, bir nautilus kabuğunun şekli, bir galaksinin şekli, bir kasırganın veya hatta bir dalganın şekli olarak var olduğu söylenmektedir.
Burada iki problem mevcut. İlk olarak, şekil öyle gözükse de bir spiral değildir. Dairesel yayların bir dizisidir. Bir yaydan diğerine geçerken spiralin eğriliği bozulur. Ancak şekil, gerçek bir spirale benzer. Bu logaritmik spiraldir. Bu tür spiraller ise doğada çok yaygındır. Ancak altın oran ile herhangi bir ilgileri yoktur.
Bu spirallerin yaygın olmasının nedeni, kendi kendine benzerlik özelliğine sahip olmalarıdır. Bu, spirali herhangi bir sabit açıyla döndürürseniz, orijinalin yeniden ölçeklendirilmesi olan bir spiral elde edeceğiniz anlamına gelir.
Sanat Ve Mimaride Altın Oran Miti Nedir?
Bazı sanatçıların sanat eserlerinde kasıtlı olarak altın oranı kullandıkları kesinlikle doğrudur. Bunun nedeni, altın dikdörtgenin oranlarının özellikle insan gözünü memnun ettiği ve estetik olarak altın dikdörtgeni diğer tüm dikdörtgenlere tercih ettiğimiz biçiminde ortaya atılan iddiadır.
Altın dikdörtgenin özellikle hoş olduğuna dair kanıtlar oldukça zayıf. İnsan gruplarına farklı dikdörtgenler gösteren psikolojik araştırmalar, ikinin karekökünün bire oranının genellikle diğerlerine göre tercih edildiğini gösteriyor.
Bu efsanenin bir başka örneği de altın oranın Atina’daki Akropolis’in bir parçası olan Parthenon’un oranlarında ortaya çıktığı iddiasıdır. Yunan biliminde buna dair hiçbir kanıt yoktur ve Parthenon’un altın oranın verdiği oranlara sahip olduğu fikri ancak ’lere kadar uzanır.
Ayrıca, dikdörtgen seçiminize dikkat etmedikçe, Parthenon’un gerçek ölçümleri, özellikle altın orana yakın oranlar vermez. Aynısı Yunan mimarisinin geri kalanı için de geçerlidir: Yunanlıların altın oranı estetik olarak hoş bulduklarına veya sanatlarında ve mimarilerinde kullandıklarına dair hiçbir kanıt yoktur.
Altın Oran Yine de Şaşırtıcıdır
Altın oran, ünlü Fibonacci dizisiyle yakından ilişkilidir. Fibonacci dizisi, hem popülasyonların büyümesiyle hem de şekillerin birbirine uydurulabilmesiyle bağlantılı olduğu için kesinlikle doğada ortaya çıkar. Ancak bunlarda elde ettiğimiz oranlar altın orana yakınsar, hatırlatalım altın oran irrasyonel bir sayıdır ve hiçbir şey ona eşit olamaz.
Örneğin, çam kozalaklarının dip kısmındaki spirallerin sağa dönük olanlarının sayısı genelde 8, sola dönük olanların sayısı ise genelde 13’tür. Bir çok çiçek cinslerinin (özellikle de papatyaların) taç yapraklarının sayısı da genellikle Fibonacci Dizisi’nin bir elemanı olmaktadır. Ancak bunun da msitik değil, bilimsel bir açıklaması vardır.
Yazının bu noktasına kadar altın oranla ile ilgili bazı mitleri çürütmeye çalıştık. Altın oran nedir sorusuna kısaca cevap verebildiğimizi düşünüyoruz. Elbette devamında inanmak ya da inanmamak artık sizin tercihiniz. Ancak bir konuyu hatırlatalım.
Konu hakkındaki bu mitlerin tehlikeli bir boyutu vardır. Özellikle öğrenciler bu konuda yanlış bilgilendirilirse matematiğin işleyiş biçimi hakkında yanlış bir fikre kapılabilirler. Bu nedenle özellikle öğretmenlerin doğru bir biçimde bilgilenmesi gerekir. Bir sonraki proje konunuz ” Altın Oran Nedir? Doğada nerede görülür? olacak ise aklınızda bulunsun. Göz atmak isterseniz: Altın Oran Fotoğraf Çekerken Ne İşimize Yarar?
Kaynak ve ileri okumalar:
The Golden Ratio: Design’s Biggest Myth; Bağlantı: seafoodplus.info
Mark Chu-Carroll; A Geek’s Guide to the Beauty of Numbers, Logic, and Computation; The Pragmatic Programmers, LLC.
Myths of maths: The golden ratio; yayınlanma tarihi: 23 Şubat ; Bağlantı: seafoodplus.info
