Çarpımı Ne Olur
Kartezyen Çarpımı
\( A \) ve \( B \) kümelerinin kartezyen çarpımı, birinci bileşeni \( A \) kümesinin, ikinci bileşeni \( B \) kümesinin elemanı olmak üzere yazılabilecek tüm sıralı ikililerin kümesidir. \( A \) ve \( B \) kümelerinin kartezyen çarpımı \( A \times B \) ile gösterilir.
İki kümenin kartezyen çarpımının ortak özellik yöntemi ile tanımı aşağıdaki gibidir.
\( A \times B = \{ (a, b): a \in A \land b \in B \} \)
İki kümenin kartezyen çarpımının liste, Venn şeması ve tablo şeklinde gösterimleri aşağıdaki gibidir.
\( A = \{a, b, c \} \)
\( B = \{1, 2, 3, 4 \} \)
\( A \times B = \{(a, 1), (a, 2), \) \( (a, 3), (a, 4), \) \( (b, 1), (b, 2), \) \( (b, 3), (b, 4), \) \( (c, 1), (c, 2), \) \( (c, 3), (c, 4)\} \)
İki kümenin kartezyen çarpımı da bir kümedir ve bu kümenin elemanları birer sıralı ikilidir (sıralı ikililerin parantez içindeki bileşenleri değildir). Kartezyen çarpım kümesinin elemanı olan her bir sıralı ikili, yukarıdaki Venn şemasındaki birer oka karşılık gelir.
\( A = \{a, b \} \)
\( B = \{1, 2, 3 \} \)
\( A \times B = \{(a, 1), (a, 2), \) \( (a, 3), (b, 1), \) \( (b, 2), (b, 3) \} \)
\( (a, 2) \in (A \times B) \)
\( a \notin (A \times B) \)
\( A \) ve \( B \) kümelerinin kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı iki kümenin eleman sayılarının çarpımına eşittir.
\( s(A \times B) = s(A) \cdot s(B) \)
Yukarıdaki örnekteki 3 elemanlı \( A \) ve 4 elemanlı \( B \) kümelerinin kartezyen çarpımının 12 elemanlı olduğunu kartezyen çarpımının liste şeklinde yazılışındaki eleman sayısı ve Venn şeması gösterimindeki ok sayısı ile teyit edebiliriz.
\( s(A \times B) = 3 \cdot 4 = 12 \)
Bir kümenin kendisiyle kartezyen çarpımı üslü ifade şeklinde de gösterilebilir.
Her noktanın koordinatlarının birer sıralı ikili (sıralı üçlü) olarak ifade edildiği iki (üç) boyutlu koordinat sistemleri aşağıdaki şekilde de gösterilir.
\( \mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)
\( \mathbb{R}^3 = \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)
Kartezyen Çarpımı İşlem Özellikleri
Kartezyen çarpım kümesinin elemanları olan sıralı ikililerde bileşenlerin sırası önemli olduğu için kartezyen çarpımının değişme özelliği yoktur.
\( A \ne \emptyset, \quad B \ne \emptyset \) olmak üzere,
\( A \times B \ne B \times A \)
ÖRNEK:
\( A = \{ a, b \} \)
\( B = \{ 1, 2, 3 \} \)
\( A \times B = \{ (a, 1), (a, 2), \) \( (a, 3), (b, 1), \) \( (b, 2), (b, 3) \} \)
\( B \times A = \{ (1, a), (1, b), \) \( (2, a), (2, b), \) \( (3, a), (3, b) \} \)
Kartezyen çarpımının kesişim işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.
\( A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C) \)
ÖRNEK:
\( A = \{ a, b, c \} \)
\( B = \{ 1, 2 \} \)
\( C = \{ 1, 3 \} \)
\( A \times (B \cap C) = A \times \{ 1 \} \) \( = \{ (a, 1), (b, 1), (c, 1) \} \)
\( (A \times B) \cap (A \times C) = \{ (a, 1), (a, 2), (b, 1), \) \( (b, 2), (c, 1), (c, 2) \} \) \( \cap \{ (a, 1), (a, 3), (b, 1), \) \( (b, 3), (c, 1), (c, 3) \} \) \( = \{ (a, 1), (b, 1), (c, 1) \} \)
İSPATI GÖSTER
İlk olarak \( A \times ( B \cap C) \subseteq (A \times B) \cap (A \times C) \) olduğunu gösterelim.
\( (x, y) \in A \times (B \cap C) \) alalım.
Bu durumda \( x \in A \) ve \( y \in (B \cap C) \) olur.
\( y \in (B \cap C) \) ise \( y \) her iki kümenin de elemanıdır.
\( x \in A \land (y \in B \land y \in C) \)
"Ve" bileşik önermesinin birleşme özelliği vardır.
\( \equiv (x \in A \land y \in B) \land (x \in A \land y \in C) \)
\( \equiv (x, y) \in (A \times B) \land (x, y) \in (A \times C) \)
\( \equiv (x, y) \in (A \times B) \cap (A \times C) \) olur. \( \textcolor{red}{(1)} \)
Şimdi \( (A \times B) \cap (A \times C) \subseteq A \times (B \cap C) \) olduğunu gösterelim.
\( (x, y) \in (A \times B) \cap (A \times C) \) alalım.
Bu durumda \( (x, y) \in (A \times B) \land (x, y) \in (A \times C) \) olur.
\( (x, y) \in A \times B \Rightarrow x \in A \land y \in B \)
\( (x, y) \in A \times C \Rightarrow x \in A \land y \in C \)
\( x \in A \land (y \in B \land y \in C) \)
\( \equiv x \in A \land y \in (B \cap C) \)
\( \equiv (x, y) \in A \times (B \cap C) \) olur. \( \textcolor{red}{(2)} \)
Yukarıda kırmızı ile işaretlediğimiz \( (1) \) ve \( (2) \)'den \( A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C) \) olur.
İspatta hata bildirin
Kartezyen çarpımının birleşim işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.
\( A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C) \)
ÖRNEK:
Yukarıdaki örnekteki kümeleri kullanalım.
\( A \times (B \cup C) = A \times \{ 1, 2, 3 \} \) \( = \{ (a, 1), (a, 2), (a, 3), \) \( (b, 1), (b, 2), (b, 3), \) \( (c, 1), (c, 2), (c, 3) \} \)
\( (A \times B) \cup (A \times C) = \{ (a, 1), (a, 2), (b, 1), \) \( (b, 2), (c, 1), (c, 2) \} \) \( \cup \{ (a, 1), (a, 3), (b, 1), \) \( (b, 3), (c, 1), (c, 3) \} = \{ (a, 1), (a, 2), (a, 3), \) \( (b, 1), (b, 2), (b, 3), \) \( (c, 1), (c, 2), (c, 3) \} \)
İSPATI GÖSTER
İlk olarak \( A \times (B \cup C) \subseteq (A \times B) \cup (A \times C) \) olduğunu gösterelim.
\( (x, y) \in A \times (B \cup C) \) alalım.
Bu durumda \( x \in A \) ve \( y \in (B \cup C) \) olur.
Buradan \( x \in A \land (y \in B \lor y \in C) \) elde edilir.
\( x \in A \land (y \in B \lor y \in C) \)
"Ve" işleminin "veya" işlemi üzerinde soldan ve sağdan dağılma özelliği vardır.
\( (x \in A \land y \in B) \lor (x \in A \lor y \in C) \)
\( (x, y) \in (A \times B) \lor (x, y) \in (A \times C) \)
\( (x, y) \in (A \times B) \cup (A \times C) \) olur. \( \textcolor{red}{(1)} \)
Şimdi \( (A \times B) \cup (A \times C) \subseteq A \times (B \cup C) \) olduğunu gösterelim.
\( (x, y) \in (A \times B) \cup (A \times C) \) alalım.
Bu durumda \( (x, y) \in (A \times B) \lor (x, y) \in (A \times C) \) olur.
\( (x, y) \in (A \times B) \Rightarrow x \in A \land y \in B \)
\( (x, y) \in (A \times C) \Rightarrow x \in A \land y \in C \)
\( x \in A \land (y \in B \lor y \in C) \)
\( \equiv x \in A \land y \in (B \cup C) \)
\( \equiv (x, y) \in A \times (B \cup C) \) olur. \( \textcolor{red}{(2)} \)
Yukarıda kırmızı ile işaretlediğimiz \( (1) \) ve \( (2) \)'den \( A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C) \) olur.
İspatta hata bildirin
Kartezyen çarpımının fark işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.
\( A \times (B - C) = (A \times B) - (A \times C) \)
ÖRNEK:
Yukarıdaki örnekteki kümeleri kullanalım.
\( A \times (B - C) = A \times \{ 2 \} \) \( = \{ (a, 2), (b, 2), (c, 2) \} \)
\( (A \times B) - (A \times C) = \{ (a, 1), (a, 2), (b, 1), \) \( (b, 2), (c, 1), (c, 2) \} - \) \( \{ (a, 1), (a, 3), (b, 1), \) \( (b, 3), (c, 1), (c, 3) \} \) \( = \{ (a, 2), (b, 2), (c, 2) \} \)
İSPATI GÖSTER
İlk olarak \( A \times (B - C) \subseteq (A \times B) - (A \times C) \) olduğunu gösterelim.
\( (x, y) \in A \times (B - C) \) alalım.
Bu durumda \( x \in A \) ve \( y \in (B - C) \) olur.
\( y \in (B - C) \Rightarrow y \in B \land y \notin C \)
\( x \in A \land (y \in B \land y \notin C) \) olur.
\( \equiv (x \in A \land y \in B) \land (x \in A \land y \notin C) \)
\( \equiv (x, y) \in (A \times B) \land (x, y) \notin (A \times C) \)
\( \equiv (x, y) \in (A \times B) - (A \times C) \) olur. \( \textcolor{red}{(1)} \)
Şimdi \( (A \times B) - (A \times C) \subseteq A \times (B - C) \) olduğunu gösterelim.
\( (x, y) \in (A \times B) - (A \times C) \) alalım.
Bu durumda \( (x, y) \in (A \times B) \land (x, y) \notin (A \times C) \) olur.
\( (x, y) \in (A \times B) \Rightarrow x \in A \land y \in B \)
\( x \in A \) olduğunu yukarıda bulduğumuz için \( y \notin C \) olur.
\( (x, y) \notin (A \times C) \Rightarrow x \in A \land y \not\in C \)
\( x \in A \land (y \in B \land y \notin C) \)
\( \equiv x \in A \land y \in (B - C) \)
\( \equiv (x, y) \in A \times (B - C) \) olur. \( \textcolor{red}{(2)} \)
Yukarıda kırmızı ile işaretlediğimiz \( (1) \) ve \( (2) \)'den \( A \times (B - C) = (A \times B) - (A \times C) \) olur.
İspatta hata bildirin
Kartezyen Çarpımı İşlem Kuralları
Bir kümenin boş küme ile kartezyen çarpımı yine boş kümedir.
\( A \times \emptyset = \emptyset \times A = \emptyset \)
\( A \) ve \( B \) kümelerinin birer alt kümesi olan iki kümenin kartezyen çarpımı, \( A \) ve \( B \) kümelerinin kartezyen çarpımının alt kümesidir.
\( C \subseteq A \) ve \( D \subseteq B \) olmak üzere,
\( C \times D \subseteq A \times B \)
İSPATI GÖSTER
\( (c, d) \in C \times D \) olsun.
Bu durumda \( c \in C \) ve \( d \in D \) olur.
\( C \subseteq A \) ve \( D \subseteq B \) olduğu için \( c \) ve \( d \) sırasıyla \( A \) ve \( B \)'nin de birer elemanı olur.
\( c \in A \) ve \( d \in B \) olur.
Bunun bir sonucu olarak \( (c, d) \) sıralı ikilisi \( A \times B \) kartezyen çarpımının da bir elemanı olur.
\( (c, d) \in A \times B \)
\( C \times D \) çarpımının elemanı olan her sıralı ikilinin \( A \times B \) kartezyen çarpımının da bir elemanı olduğunu göstermiş olduk. Buna göre \( C \times D \) kartezyen çarpımı \( A \times B \) çarpımının bir alt kümesidir.
\( C \times D \subseteq A \times B\)
İspatta hata bildirin
Aşağıdaki gibi dört kümenin kesişim kümelerinin kartezyen çarpımı, kartezyen çarpımlarının kesişim kümesine eşittir.
\( (A_1 \cap A_2) \times (B_1 \cap B_2) \) \( = (A_1 \times B_1) \) \( \cap (A_2 \times B_2) \)
İSPATI GÖSTER
\( (A_1 \cap A_2) \times (B_1 \cap B_2) = (A_1 \times B_1) \cap (A_2 \times B_2) \)
\( (a, b) \) sıralı ikilisi \( A_1 \cap A_2 \) ve \( B_1 \cap B_2 \) kümelerinin kartezyen çarpım kümesinin bir elemanı olsun.
\( (a, b) \in (A_1 \cap A_2) \times (B_1 \cap B_2) \)
Bu ifadeyi sıralı ikilinin birinci bileşeni olan \( a \)'nın \( A_1 \) ve \( A_2 \) kümelerinin ortak elemanı, ikinci bileşeni olan \( b \)'nin de \( B_1 \) ve \( B_2 \) kümelerinin ortak elemanı olduğunu gösteren bir bileşik önerme şeklinde yazabiliriz.
\( (a \in A_1 \land a \in A_2) \land (b \in B_1 \land b \in B_2) \)
"Ve" bağlacının birleşme ve değişme özellikleri olduğu için önermelerin sırasını değiştirebiliriz.
\( (a \in A_1 \land b \in B_1) \land (a \in A_2 \land b \in B_2) \)
\( a \in A_1 \) ve \( b \in B_1 \) olduğuna göre, kartezyen çarpım tanımı gereği \( (a, b) \in A_1 \times B_1 \) olacaktır. Aynı şekilde, \( a \in A_2 \) ve \( b \in B_2 \) olduğuna göre, \( (a, b) \in A_2 \times B_2 \) olacaktır.
\( ((a, b) \in A_1 \times B_1) \land ((a, b) \in A_2 \times B_2) \)
\( (a, b) \) hem \( A_1 \times B_1 \) hem de \( A_2 \times B_2 \) kartezyen çarpım kümelerinin elemanı ise, bu iki kartezyen çarpım kümesinin kesişiminin de elemanıdır.
\( (a, b) \in (A_1 \times B_1) \cap (A_2 \times B_2) \)
Buna göre, takip ettiğimiz adımlar gereği ispatın en başında \( (a, b) \) sıralı ikilisinin elemanı olduğunu söylediğimiz küme, ispatın sonunda elde ettiğimiz kümeye eşittir.
\( (A_1 \cap A_2) \times (B_1 \cap B_2) = (A_1 \times B_1) \cap (A_2 \times B_2) \)
İspatta hata bildirin
Üç Kümenin Kartezyen Çarpımı
\( A \), \( B \) ve \( C \) kümelerinin kartezyen çarpımı, birinci bileşeni \( A \) kümesinden, ikinci bileşeni \( B \) kümesinden, üçüncü bileşeni \( C \) kümesinden alınmak üzere, yazılabilecek tüm \( (a, b, c) \) sıralı üçlülerinin kümesidir. \( A \), \( B \) ve \( C \) kümelerinin kartezyen çarpımı \( A \times B \times C \) ile gösterilir.
\( A = \{a, b, c\} \)
\( B = \{1, 2\} \)
\( C = \{x, y\} \)
\( A \times B \times C = \{(a, 1, x), (a, 1, y), \) \( (a, 2, x), (a, 2, y), (b, 1, x), \) \( (b, 1, y), (b, 2, x), \) \( (b, 2, y), (c, 1, x), \) \( (c, 1, y), \) \( (c, 2, x), (c, 2, y)\} \)
\( A \), \( B \) ve \( C \) kümelerinin kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı üç kümenin eleman sayılarının çarpımına eşittir.
\( s(A \times B \times C) = s(A) \cdot s(B) \cdot s(C) \)
ÖRNEK:
Yukarıdaki örnek için:
\( s(A \times B \times C) = s(A) \cdot s(B) \cdot s(C) \)
\( = 3 \cdot 2 \cdot 2 = 12 \)
SORU 1:
\( A = \{ -2, -1, 0, 1, 2, 4 \} \) olduğuna göre,
\( A \times A \) kartezyen çarpım kümesinin elemanlarından kaç tanesinin ikinci bileşeni, birinci bileşeninin karesine eşittir?
Çözümü GösterBir sayının karesi negatif olamayacağı için ikinci bileşen negatif olamaz.
İkinci bileşenin her olası değeri için koşulu sağlayan sıralı ikilileri listeleyelim.
\( (x, 0) \) için \( \{ (0, 0) \} \)
\( (x, 1) \) için \( \{ (1, 1), (-1, 1) \} \)
\( (x, 2) \) için \( \{ \} \)
\( (x, 4) \) için \( \{ (2, 4), (-2, 4) \} \)
Buna göre sorudaki koşulu sağlayan sıralı ikili sayısı 5 olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 2:
\( K \times L = \{ (a, 1), (b, 1), \) \( (c, 1), (a, 2), \) \( (b, 2), (c, 2) \} \)
\( M \times N = \{ (4, x), (5, x), \) \( (4, y), (5, y), \) \( (4, z), (5, z) \} \)
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi \( M \times L \) kümesinin elemandır?
(a) \( (1, 5) \)
(b) \( (4, 2) \)
(c) \( (a, 5) \)
(d) \( (5, c) \)
(e) \( (a, b) \)
Çözümü Göster\( K \times L \) kümesinin sıralı ikililerinin ikinci bileşenleri \( L \) kümesini oluşturur.
\( L = \{ 1, 2 \} \)
\( M \times N \) kümesinin sıralı ikililerinin birinci bileşenleri \( M \) kümesini oluşturur.
\( M = \{ 4, 5 \} \)
\( M \times L = \{ (4, 1), (4, 2), (5, 1), (5, 2 ) \} \)
\( (4, 2) \in (M \times L) \)
Buna göre doğru cevap (b) seçeneği olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 3:
\( K = \{ 1, 2, 3, 4 \}, L = \{ 2, 3, 4 \}, M = \{ 3, 4, 5 \} \) olduğuna göre,
\( (K \cap L) \times (L - M) \) kümesi nedir?
Çözümü Göster\( K \cap L = \{ 2, 3, 4 \} \)
\( L - M = \{ 2 \} \)
\( (K \cap L) \times (L - M) = \{ (2, 2), (3, 2), (4, 2) \} \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 4:
\( A = \{ x: -2 \le x \le 2, x \in \mathbb{Z} \} \)
\( s[(A \times B) \cup (A \times C)] = 45 \) olduğuna göre,
\( s(B \cup C) \) kaçtır?
Çözümü GösterKartezyen çarpımının kesişim, birleşim ve fark işlemleri üzerinde dağılma özelliği vardır.
\( (A \times B) \cup (A \times C) = A \times (B \cup C) \)
\( A = \{ -2, -1, 0, 1, 2 \} \)
\( s(A) = 5 \)
İki kümenin kartezyen çarpımının eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.
\( s[A \times (B \cup C)] = s(A) \cdot s(B \cup C) = 45 \)
Buna göre \( s(B \cup C) = 9 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 5:
\( s(A - B) = 4 \)
\( s(A \cap B) = 2 \)
\( s[(B \times A) \cup (A \times A)] = 48 \) olduğuna göre,
\( s(B - A) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( A - B \) ve \( A \cap B \) kümelerinin birleşimi \( A \) kümesine eşittir.
\( s(A) = 4 + 2 = 6 \)
Kartezyen çarpımının kesişim, birleşim ve fark işlemleri üzerinde dağılma özelliği vardır.
\( (B \times A) \cup (A \times A) = (B \cup A) \times A \)
İki kümenin kartezyen çarpımının eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.
\( s[(B \cup A) \times A] = s(B \cup A) \cdot s(A) = 48 \)
Buna göre \( s(B \cup A) = 8 \) olur.
\( s(B - A) = s(B \cup A) - s(A) = a \)
\( = 8 - 6 = 2 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 6:
\( A = \{ 1, 2, 3, 6 \} \)
\( B = \{ 6, 1 \} \) olduğuna göre,
\( A \times B \) kartezyen çarpım kümesinin alt kümelerinden kaç tanesinde \( (2, 6) \) ikilisi vardır?
Çözümü Göster\( A \times B \) kümesi \( 4 \cdot 2 = 8 \) elemanlıdır ve bu elemanlardan biri \( (2, 6) \) sıralı ikilisidir.
\( A \times B \) kümesinin \( (2, 6) \) dışındaki 7 elemanı ile \( 2^7 = \) alt küme oluşturulabilir.
Bu alt kümeye sonradan \( (2, 6) \) elemanını ekleyebileceğimizi düşünürsek \( A \times B \) kümesinin alt kümesinde \( (2, 6) \) elemanı bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 7:
\( K = \{a, b, c, d\} \)
\( L = \{\{1\}, 2, 4, 5\} \)
\( M = \{x, \{y\}, \{\{t\}\}\} \)
kümeleri için aşağıdakilerin hangileri yanlıştır?
I. \( (a, b) \) ikilisi \( K \times K \) kümesinin bir elemanıdır.
II. \( (b, 1) \) ikilisi \( K \times L \) kümesinin bir elemanıdır.
III. \( (\{1\}, \{y\}) \) ikilisi \( L \times M \) kümesinin bir elemanıdır.
IV. \( (c, x) \) ikilisi \( M \times K \) kümesinin bir elemanıdır.
V. \( (a, a) \) ikilisi \( K \times K \) kümesinin bir elemanıdır.
VI. \( (\{t\}, 4) \) ikilisi \( M \times L \) kümesinin bir elemanıdır.
Çözümü Göster\( a \in K \) ve \( b \in K \) olduğu için \( (a, b) \in K \times K \) olur. I. öncül doğrudur.
\( 1 \in L \) değil \( \{1\} \in L \) olduğu için \( (b, 1) \notin K \times L \) olur. II. öncül yanlıştır.
\( \{1\} \in L \) ve \( \{y\} \in M \) olduğu için \( (\{1\}, \{y\}) \in L \times M \) olur. III. öncül doğrudur.
\( c \in K \) ve \( x \in M \) olduğu için \( (c, x) \in M \times K \) değil \( (c, x) \in K \times M \) olur. IV. öncül yanlıştır.
\( a \in K \) olduğu için \( (a, a) \in K \times K \) olur. V. öncül doğrudur.
\( \{t\} \in M \) değil \( \{\{t\}\} \in M \) olduğu için \( (\{t\}, 4) \notin M \times L \) olur. VI. öncül yanlıştır.
Buna göre II., IV. ve VI. öncüller yanlıştır.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 8:
\( A \) ve \( B \) birer kümedir.
\( s(A \times B) = 28 \)
\( s(B \times B) = 49 \)
olduğuna göre \( s(A \times A) \) kaçtır?
Çözümü Gösterİki kümenin kartezyen çarpımının eleman sayısı, kümelerin eleman çarpımlarının sayısına eşittir.
\( s(B \times B) = s(B) \cdot s(B) = 49 \)
\( s(B) = 7 \) bulunur.
\( s(A \times B) = s(A) \cdot s(B) = 28 \)
\( s(A) \cdot 7 = 28 \)
\( s(A) = 4 \) bulunur.
Buna göre \( s(A \times A) = s(A) \cdot s(A) = 16 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 9:
\( s(K \times L) = 11, s(K \times M) = 19 \)
olduğuna göre, \( s(L \times M) \) kaçtır?
Çözümü Gösterİki kümenin kartezyen çarpımının eleman sayısı, kümelerin eleman çarpımlarının sayısına eşittir.
\( s(K \times L) = s(K) \cdot s(L) = 11 \)
11 asal sayı olduğu için pozitif tam sayı çarpanları sadece 1 ve 11 olabilir.
\( s(K \times M) = s(K) \cdot s(M) = 19 \)
19 asal sayı olduğu için pozitif tam sayı çarpanları sadece 1 ve 19 olabilir.
Yukarıdaki iki eşitlikte ortak çarpan \( s(K) \) olduğu için \( s(K) = 1 \) olmalıdır.
Buna göre \( s(L) = 11 \) ve \( s(M) = 19 \) olur.
\( s(L \times M) = s(L) \cdot s(M) = 11 \cdot 19 = \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( K \) ve \( L \) kümeleri için,
\( s(K \times K) - s(L \times L) = 31 \)
olduğuna göre, \( s(K \cup L) \) en az kaçtır?
Çözümü Göster\( s(K \times K) - s(L \times L) = 31 \)
İki kümenin kartezyen çarpımının eleman sayısı, kümelerin eleman çarpımlarının sayısına eşittir.
\( s(K) \cdot s(K) - s(L) \cdot s(L) = 31 \)
\( [s(K)]^2 - [s(L)]^2 = 31 \)
İki kare farkı özdeşliğini kullanalım.
\( (s(K) - s(L))(s(K) + s(L)) = 31 \)
31 asal sayı olduğu için pozitif tam sayı çarpanları sadece 1 ve 31 olabilir.
Buna göre iki kümenin eleman sayılarının toplamı 31, farkı 1 olur.
\( s(K) + s(L) = 31 \)
\( s(K) - s(L) = 1 \)
Buradan \( s(K) = 16 \) ve \( s(L) = 15 \) bulunur.
\( s(K \cup L) \) kümesinin en düşük değeri \( L \subset K \) olduğunda oluşur.
O halde \( L \subset K \) için \( s(K \cup L) = 16 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( A = \{a, b, c, d, e, f\} \)
\( A \) kümesinin birer alt kümesi olan \( B \) ve \( C \) kümeleri için \( \{a, b\} \subseteq B \) ve \( \{f\} \subseteq C \) veriliyor.
Buna göre, yazılabilecek farklı \( B \) ve \( C \) kümelerinin kartezyen çarpımlarının kaçında eleman sayısı bir tam kare sayı olur?
Çözümü GösterFarklı eleman sayılarında kaç farklı \( B \) ve \( C \) kümesi yazılabileceğini bulalım.
\( \{a, b\} \subseteq B \subseteq A \)
Buna göre \( B \) kümesi \( \{c, d, e, f\} \) kümesinin elemanlarını içerip içermemesine göre \( 2^4 = 16 \) farklı şekilde olabilir.
\( C(4, 0) = 1 \) farklı 2 elemanlı \( B \) kümesi yazılabilir.
\( C(4, 1) = 4 \) farklı 3 elemanlı \( B \) kümesi yazılabilir.
\( C(4, 2) = 6 \) farklı 4 elemanlı \( B \) kümesi yazılabilir.
\( C(4, 3) = 4 \) farklı 5 elemanlı \( B \) kümesi yazılabilir.
\( C(4, 4) = 1 \) farklı 6 elemanlı \( B \) kümesi yazılabilir.
\( \{f\} \subseteq C \subseteq A \)
Buna göre \( C \) kümesi \( \{a, b, c, d, e\} \) kümesinin elemanlarını içerip içermemesine göre \( 2^5 = 32 \) farklı şekilde olabilir.
\( C(5, 0) = 1 \) farklı 1 elemanlı \( C \) kümesi yazılabilir.
\( C(5, 1) = 5 \) farklı 2 elemanlı \( C \) kümesi yazılabilir.
\( C(5, 2) = 10 \) farklı 3 elemanlı \( C \) kümesi yazılabilir.
\( C(5, 3) = 10 \) farklı 4 elemanlı \( C \) kümesi yazılabilir.
\( C(5, 4) = 5 \) farklı 5 elemanlı \( C \) kümesi yazılabilir.
\( C(5, 5) = 1 \) farklı 6 elemanlı \( C \) kümesi yazılabilir.
\( B \times C \) kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı aşağıdaki durumlarda bir tam kare sayı olur.
Durum 1: \( s(B) = 2, s(C) = 2 \)
\( s(B \times C) = s(B) \cdot s(C) = 4 \)
Bu şekilde \( 1 \cdot 5 = 5 \) farklı kartezyen çarpım kümesi yazılabilir.
Durum 2: \( s(B) = 3, s(C) = 3 \)
\( s(B \times C) = s(B) \cdot s(C) = 9 \)
Bu şekilde \( 4 \cdot 10 = 40 \) farklı kartezyen çarpım kümesi yazılabilir.
Durum 3: \( s(B) = 4, s(C) = 4 \)
\( s(B \times C) = s(B) \cdot s(C) = 16 \)
Bu şekilde \( 6 \cdot 10 = 60 \) farklı kartezyen çarpım kümesi yazılabilir.
Durum 4: \( s(B) = 5, s(C) = 5 \)
\( s(B \times C) = s(B) \cdot s(C) = 25 \)
Bu şekilde \( 4 \cdot 5 = 20 \) farklı kartezyen çarpım kümesi yazılabilir.
Durum 5: \( s(B) = 6, s(C) = 6 \)
\( s(B \times C) = s(B) \cdot s(C) = 36 \)
Bu şekilde \( 1 \cdot 1 = 1 \) farklı kartezyen çarpım kümesi yazılabilir.
Durum 6: \( s(B) = 4, s(C) = 1 \)
\( s(B \times C) = s(B) \cdot s(C) = 4 \)
Bu şekilde \( 6 \cdot 1 = 6 \) farklı kartezyen çarpım kümesi yazılabilir.
Tüm durumların toplamını alalım.
\( = 5 + 40 + 60 + 20 + 1 + 6 \)
\( = \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
Okulda çarpmayı öğrenirken çarpma işleminin mantığını da öğrenmiştik. Örneğin 3 x 5 işleminin 3 tane 5 anlamına geldiği öğretilmişti (5 + 5 + 5). İlerleyen yıllarda hayatımıza negatif sayılar girdi. Fakat negatif sayı içeren çarpma işlemlerinin mantığı bize öğretilmedi. Sadece negatif sayılar ile çarpma işlemlerinin kuralları ezberletildi. pozitif x negatif = negatif, negatif x pozitif = negatif ve negatif x negatif = pozitif. Bu makalemde bu işlemlerinin mantığından ve matematiksel olarak ispatlarından bahsedeceğim.
Pozitif x Pozitif, Pozitif x Negatif
Bahsettiğim gibi 3 x 5 'in 3 tane 5 olduğunu biliyoruz. Yani pozitif iki sayının çarpımı için herhangi bir sorunumuz yok. Benzer olarak 3 x (-5) için de aynı şeyi söyleyebiliriz, 3 x (-5) = 3 tane -5 demektir. Yani pozitif ve negatif çarpımı için de bir sorunumuz yok.
Negatif x Pozitif
Peki (-3) x 5 işlemini nasıl yorumlarız? -3 tane 5 diyemeyiz. Çünkü birşeyin miktarından bahsederken asla eksi kullanmayız. Bu nedenle mantıksal olarak bu ifadenin hiçbir anlamı yoktur. Fakat işlemi çarpmanın özelliklerinden yararlanarak anlamlı hale getirebiliriz. 3 x 5 aynı zamanda 5 x 3 'tür. Yani çarpma işlemindeki rakamlar yer değiştirirse sonuç değişmez. Bu nedenle (-3) x 5 işlemi 5 x (-3) işlemine eşittir. Bu işlem için 5 tane -3 diyebiliriz. Böylece işleme mantıksal bir anlam kazandırabilir ve bu mantık doğrultusunda sonuca ulaşabiliriz.
Negatif x Negatif
(-3) x (-5) işlemini mantıksal olarak yorumlamak önceki işlemler kadar kolay değildir. Daha önce bahsettiğim gibi -3 tane -5 diyemeyiz. Rakamların yerini değiştirsek bile (-5) x (-3) işlemini elde ederiz ki sonuç değişmez fakat mantıksal olarak yine -5 tane -3 diyemeyiz. Bu nedenle ilk olarak bazı kabuller yapalım ve iki negatif sayının çarpımının pozitif bir sayı olduğunu matematiksel olarak ispatlayalım.
(-3) x (-5) işleminin yer alacağı başka bir eşitliğe bakalım.
Gördüğünüz gibi iki negatif sayı çarpımının bir pozitif sayı olduğunu basit matematiksel işlemler ile kanıtlayabildik. Peki bu işlemi nasıl anlamlandırabiliriz. Şimdiye kadar öğrendiğimiz mantık sistemi negatif iki sayının çarpımını açıklayamamaktadır. Bunun için negatif - pozitif ne olursa olsun her çarpım işlemini anlamlı hale getiren farklı bir mantık sistemine göz atmamız gerekiyor.
Bu sistem sayı doğrusudur.
Bu sistem üzerinde, sıfır noktasında durduğumuzu düşünerek 2x3 işlemini anlamlandıralım. İlk sayı pozitif olduğu için yüzümüzü + yöne çevirelim. İkinci sayı da pozitif olduğundan ileriye doğru hareket edelim. Hareket doğrultularını bulduğumuza göre (artı yöne ve ileriye) sayıların eksi veya artı olduğuna bakmadan çarpma işlemini yapalım ve kaç adım atmamız gerektiğini bulalım (Her adımda 1 birim yol katediyoruz). 2x3 = 6. Yani sonucu bulmak için artı yöne ve ileriye doğru 6 adım atmamız gerekiyor. Son bulunduğumuz yere bakarsak sonucun + 6 olduğunu görürüz.
-2x3 işlemini yapalım.
2x-3 işlemi
Son olarak -2x-3 işlemini yapalım.
Gördüğünüz gibi mantık sistemini sayı doğrusu üzerine kurarsak bütün çarpma işlemleri anlamlı hale gelmekte ve matematiksel ispatın yanında mantıksal olarak da neden negatif iki sayının çarpımı pozitiftir sorusu cevaplanabilmektedir.