Binomlar 10 Sınıf

Matematik ayt konu anlatımı, Matematik tyt konu anlatımı , Matematik yks konu anlatımı&#; Merhaba arkadaşlar sizlere bu yazımızda Binom Konu Anlatımı hakkında bilgi vereceğiz. Yazımızı okuyarak bilgi edinebilirsiniz.

Bilinen özdeşlikler vardır bunlar;

(x + y)¹ = x + y

(x + y)² = (x + y).(x + y) = x² + 2xy + y²

(x + y)³ = (x + y).(x + y).(x + y) = x³ + 3x²y + 3xy² + y³  

Kuvvet büyüdükçe özdeşliği çarpma işlemi yaparak bulmak zorlaşır. Bu durumda kombinasyon yardımıyla binom açılımını kullanarak özdeşlikleri bulabiliriz.

x ve y sıfırdan farklı ve n bir doğal sayı olmak (x + y)ⁿ ifadesinin x ve y’nin kuvvetleri cinsinden açılımına binom açılımı denir.

Binom açılımında terimleri oluştururken katsayıları kombinasyon yardımıyla hesaplarız. x’in azalan kuvvetlerine göre açılım yaparken x’in üssünü n’den başlayıp her terimde bir azaltırız, y’nin üssünü 0’dan başlayıp her terimde bir arttırırız. Böylece son terimde x’in üssü 0, y’nin üssü n olmuş olur.

Örnek

(x + y)⁴ ifadesinin özdeşini Pascal üçgeninden faydalanarak x’in artan kuvvetlerine göre yazalım.

Terimlerin katsayılarının 1 4 6 4 1 olduğunu Pascal üçgeninin 5. satırından görebiliriz. x’in kuvvetlerini 0’dan 4’e doğru, y’nin kuvvetlerini 4’ten 0’a doğru sırayla terimlere yazarız.

(x + y)⁴ = 1 x⁰ y⁴ + 4 x¹ y³ + 6 x² y² + 4 x³ y¹ + 1 x⁴ y⁰

Katsayılardaki 1’leri, x⁰ ve y⁰ ifadelerini 1’e eşit oldukları için yazmamıza gerek yoktur.

(x + y)⁴ = y⁴ + 4 x y³ + 6 x² y² + 4 x³ y + x⁴

Binom Açılımı Özellikleri

Terim sayısı

(x+y)ⁿ ifadesinin açılımındaki terim sayısı n+1‘dir.

Örnek: (2x + 3y)¹⁰ ifadesinin açılımında 10+1 = 11 terim vardır.

Terimlerdeki üsler toplamı

(x+y)ⁿ ifadesinin açılımındaki her bir terimdeki x ve y değişkenlerinin üsleri toplamı n‘dir.

Örnek: (3x − y)⁸ ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki baştan 7. terimi inceleyelim.
Bu ifadenin açılımdaki 7. terimi x²y⁶ dir. Burdaki x’in ve y’nin üslerini toplarsak 2 + 6 = 8 olduğunu görürüz.

Baştan r+1 inci terim

(x+y)ⁿ ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki baştan r + 1‘inci terim

Sondan r+1 inci terim

(x+y)ⁿ ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki sondan r + 1‘inci terim

Ortanca terim

n doğal sayı olmak üzere (x+y)²ⁿ ifadesinin açılımındaki ortadaki terim

Katsayılar toplamı

(x+y)n ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamını bulmak için değişkenler yerine 1 sayısı yazılır.

Sabit terim

(x+y)n ifadesinin açılımındaki sabit terimi bulmak için değişkenler yerine 0 sayısı yazılır.

Binom Özdeşliği

Pascal üçgenine dikkat edersek, her bir sayı üstündeki iki sayının toplamı ile oluşmuştur. Mesela 3+1=4  ü oluşturmuştur.

Bunu kombinasyon ile ifade edersek ü oluşturmuştur. Bu durumu şeklinde genelleştirebiliriz. Bu özdeşliğin adı da Binom Özdeşiliği dir.

Örnek:

işleminin sonucu kaçtır?

Binom Katsayıları ile Alt küme Sayısı Arasındaki Benzerlik

in açılımındaki katsayılar, n elemanlı bir kümenin 0, 1, 2, … , n elemanlı alt küme sayıları ile aynıdır. Örneğin,

açılımındaki kat sayılar 1, 3, 3 ,1 şeklindedir. 3 elemanlı bir kümenin 0 elemanlı alt küme sayıları  ,,  ve   şeklinde olur.

Bir kümenin tüm alt kümelerinin tane olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla;

TANIM: n doğal sayı olmak üzere; eşitliklerine binom açılımı denir.

AYRICA

 *    sayılarına binom kat sayıları denir.

*      ifadelerinin her birine terim denir.

*      ifadesinde ;      katsayı  ,   , x^n-r   ile   y^r   terimin çarpanlarıdır.

GENEL KURALLAR

                          ÇÖZÜMLÜ SORULAR

Ortadaki Terimi Bulma

Sondan  n 'inci Terimi Bulma

Hatırlatma:  (x+y)ⁿ in açılımında n+1 tane tarim vardır.  

Pascal özdeşliği veya Pascal üçgeni, üçgensel bir sayı dizisidir. Bu üçgen, Fransız matematikçi Blaise Pascal’ın soyadıyla anılsa da Pascal’dan önce Hindistan, İran, Çin, Almanya ve İtalya’da bazı matematikçiler ve Müslüman bilim adamlarından Ömer Hayyam tarafından da bulunmuştur. Pascal üçgeni incelendiğinde, üçgendeki bir sayının kendi üstündeki iki sayının toplamı olduğu görülür. Pascal üçgenindeki satırları 0 (sıfır) dan başlayarak numaralandırdığımızda 1. örnekteki katsayılar ile Pascal üçgenindeki satırların aynı olduğunu görürüz.
On birinci yüzyılda yaşamış ünlü matematikçilerden biri de Ömer Hayyam‘dır. Asıl adı Gıyasettin Ebulfeth Bin İbrahim El Hayyam'dır. Ömer Hayyam’ın matematiğe başlaması tesadüfen olmuştur. Babası çadırcı olduğundan, oğlunun baba mesleğini devam ettirmesi için biraz geometri öğrenmesi gerektiğine karar vermiştir. Oğluna hocalar tutmuştur. Fakat hocalar oğlunun çadırcılıkla yetinmeyeceğini anlamışlar ve babasından rica edip, eğitimini sürdürmesini sağlamışlar. Hayyam da hocalarının yüzünü kara çıkarmamıştır. Yaşadığı dönemde İbn-i Sina'dan sonra Doğu'nun yetiştirdiği en büyük bilgin olarak kabul edilmiştir. Tıp, astronomi, fizik, cebir, geometri ve matematik alanlarında önemli çalışmaları olan Hayyam'ın birçok yapıtı bugüne ula- şamamıştır. Daha çok rubaileri ile tanıdığımız Hayyam, Celali Takvimi’ni de bulmuştur.
Binom açılımı konusu, sınıf müfredatında olasılık konusundan önceki konudur ve Lys matematik sınavında soru gelmektedir.
n pozitif tam sayı olmak üzere, (x + y) üzeri n ifadesinin açılımına binom açılımı denir.
Bu konuda bulunan konu başlıkları;
Binom açılımının tanımı
Binom açılımının kuralı
Pascal üçgeni
Binom açılımındaki terim sayısı
Binom açılımında katsayılar toplamı
Binom açılımında sabit terim
Binom açılımında baştan ve sondan n. terimi bulma kuralı

i ôekil u de verilen ü¿gen, Pascal ü¿geni olarak
bilinir. - yŽllarŽ arasŽnda yaõayan
FransŽz matematik¿i Blaise ( Blez ) Pascal Žn
adŽyla anŽlan ve binom a¿ŽlŽmŽndaki katsayŽlarŽ
veren bu ü¿gen ile ilgili ilk ¿alŽõmalarŽ Hintliler
yapmŽõtŽr. SonrasŽnda - yŽllarŽ arasŽnda
yaõayan õair, ùlozof ve matematik¿i olan
±mer Hayyam Žn da bu konuda ¿alŽõmalarŽ
olmuõtur. Bu ü¿genle ilgili Hayyam Žn bir kitabŽnŽn
olduóu, fakat kitabŽn günümüze ulaõmadŽóŽ, ±mer Hayyam Žn bu kitaptan
baõka kitaplarŽnda bahsettiói bilinmektedir. ±mer Hayyam Žn cebir üzerine
yazdŽóŽ kitap Doóu  da matematik dünyasŽnda uzun yŽllar kullanŽlmŽõtŽr. BatŽlŽ
matematik¿ilerin bu kitapla tanŽõmasŽ  lü yŽllarda yapŽlan ¿evirisi ile olmuõtur.
±ncesinde ise yŽlŽnda Gerard Meerman ( +eôa .JmaO) adlŽ bilim
adamŽ bir eserinin ËnsËzünde islam bilginlerinin matematióe katkŽlarŽndan ve
±mer Hayyam Žn Hollanda Kütüphanesi  nde bulunan el yazmasŽ eserinden
bahsetmiõtir.

i ôekil u de verilen ü¿gen Pascal ü¿genidir. Pascal ü¿-
geninde her satŽrŽn birinci sayŽsŽ olan 1 den sonra gelen
sayŽ, bir üst satŽrŽn birinci ve ikinci sayŽlarŽnŽn toplamŽdŽr.
Her satŽrŽn ü¿üncü sayŽsŽ üst satŽrŽn ikinci ve ü¿üncü sayŽ-
larŽnŽn toplamŽdŽr. Bu õekilde oluõturulan Pascal ü¿geninde
her satŽrŽn son sayŽsŽ ise yine 1 dir.

1. Bir sŽnŽfta 15 kŽz, 16 erkek Ëórenci vardŽr. Bu sŽnŽftan se¿ilecek bir Ëórenci
ka¿ farklŽ bi¿imde belirlenebilir
2. 10 soruluk bir testte her soru i¿in 5 farklŽ se¿enek bulunmaktadŽr. Art
arda gelen sorularŽn cevaplarŽ aynŽ olmayacaóŽna gËre bu test i¿in ka¿
farklŽ cevap anahtarŽ oluõturulabilir
3. i ôekil u de A, B ve C õehirlerinin arasŽndaki yollar gËsterilmiõtir.
a. A õehrinden C õehrine gitmek isteyen bir kiõi ka¿ farklŽ yol kullanabilir

b. Gidiõ ve dËnüõte B õehrine uórayacak biri A õehrinden C õehrine
gidip dËnecektir. KullandŽóŽ yolu tekrar kullanamayacak olan bu kiõi
ka¿ farklŽ yol kullanabilir
4. A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin elemanlarŽ kullanŽlarak ü¿ basamaklŽ
a. Ka¿ doóal sayŽ oluõturulabilir
b. 3akamlarŽ farklŽ ka¿ doóal sayŽ oluõturulabilir
c. 3akamlarŽ farklŽ ka¿ ¿ift doóal sayŽ oluõturulabilir
d. ile arasŽnda ka¿ doóal sayŽ oluõturulabilir