Matematik ayt konu anlatımı, Matematik tyt konu anlatımı , Matematik yks konu anlatımı Merhaba arkadaşlar sizlere bu yazımızda Binom Konu Anlatımı hakkında bilgi vereceğiz. Yazımızı okuyarak bilgi edinebilirsiniz.
Bilinen özdeşlikler vardır bunlar;
(x + y)1 = x + y
(x + y)2 = (x + y).(x + y) = x2 + 2xy + y2
(x + y)3 = (x + y).(x + y).(x + y) = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
Kuvvet büyüdükçe özdeşliği çarpma işlemi yaparak bulmak zorlaşır. Bu durumda kombinasyon yardımıyla binom açılımını kullanarak özdeşlikleri bulabiliriz.
x ve y sıfırdan farklı ve n bir doğal sayı olmak (x + y)n ifadesinin x ve y’nin kuvvetleri cinsinden açılımına binom açılımı denir.
Binom açılımında terimleri oluştururken katsayıları kombinasyon yardımıyla hesaplarız. x’in azalan kuvvetlerine göre açılım yaparken x’in üssünü n’den başlayıp her terimde bir azaltırız, y’nin üssünü 0’dan başlayıp her terimde bir arttırırız. Böylece son terimde x’in üssü 0, y’nin üssü n olmuş olur.
Örnek
(x + y)4 ifadesinin özdeşini Pascal üçgeninden faydalanarak x’in artan kuvvetlerine göre yazalım.
Terimlerin katsayılarının 1 4 6 4 1 olduğunu Pascal üçgeninin 5. satırından görebiliriz. x’in kuvvetlerini 0’dan 4’e doğru, y’nin kuvvetlerini 4’ten 0’a doğru sırayla terimlere yazarız.
(x + y)4 = 1 x0 y4 + 4 x1 y3 + 6 x2 y2 + 4 x3 y1 + 1 x4 y0
Katsayılardaki 1’leri, x0 ve y0 ifadelerini 1’e eşit oldukları için yazmamıza gerek yoktur.
(x + y)4 = y4 + 4 x y3 + 6 x2 y2 + 4 x3 y + x4
Terim sayısı
(x+y)n ifadesinin açılımındaki terim sayısı n+1‘dir.
Örnek: (2x + 3y)10 ifadesinin açılımında 10+1 = 11 terim vardır.
Terimlerdeki üsler toplamı
(x+y)n ifadesinin açılımındaki her bir terimdeki x ve y değişkenlerinin üsleri toplamı n‘dir.
Örnek: (3x − y)8 ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki baştan 7. terimi inceleyelim.
Bu ifadenin açılımdaki 7. terimi x2y6 dir. Burdaki x’in ve y’nin üslerini toplarsak 2 + 6 = 8 olduğunu görürüz.
Baştan r+1 inci terim
(x+y)n ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki baştan r + 1‘inci terim
Sondan r+1 inci terim
(x+y)n ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki sondan r + 1‘inci terim
Ortanca terim
n doğal sayı olmak üzere (x+y)2n ifadesinin açılımındaki ortadaki terim
Katsayılar toplamı
(x+y)n ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamını bulmak için değişkenler yerine 1 sayısı yazılır.
Sabit terim
(x+y)n ifadesinin açılımındaki sabit terimi bulmak için değişkenler yerine 0 sayısı yazılır.
Pascal üçgenine dikkat edersek, her bir sayı üstündeki iki sayının toplamı ile oluşmuştur. Mesela 3+1=4 ü oluşturmuştur.
Bunu kombinasyon ile ifade edersek ü oluşturmuştur. Bu durumu şeklinde genelleştirebiliriz. Bu özdeşliğin adı da Binom Özdeşiliği dir.
Örnek:
işleminin sonucu kaçtır?
in açılımındaki katsayılar, n elemanlı bir kümenin 0, 1, 2, … , n elemanlı alt küme sayıları ile aynıdır. Örneğin,
açılımındaki kat sayılar 1, 3, 3 ,1 şeklindedir. 3 elemanlı bir kümenin 0 elemanlı alt küme sayıları ,, ve şeklinde olur.
Bir kümenin tüm alt kümelerinin tane olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla;
Binom, Binom Konu Anlatımı
TANIM: n doğal sayı olmak üzere; eşitliklerine binom açılımı denir.
AYRICA
* sayılarına binom kat sayıları denir.
* ifadelerinin her birine terim denir.
* ifadesinde ; katsayı , , xn-r ile yr terimin çarpanlarıdır.
GENEL KURALLAR
ÇÖZÜMLÜ SORULAR
Ortadaki Terimi Bulma
Sondan n 'inci Terimi Bulma
Hatırlatma: (x+y)n in açılımında n+1 tane tarim vardır.
Pascal özdeşliği veya Pascal üçgeni, üçgensel bir sayı dizisidir. Bu üçgen, Fransız matematikçi Blaise Pascal’ın soyadıyla anılsa da Pascal’dan önce Hindistan, İran, Çin, Almanya ve İtalya’da bazı matematikçiler ve Müslüman bilim adamlarından Ömer Hayyam tarafından da bulunmuştur. Pascal üçgeni incelendiğinde, üçgendeki bir sayının kendi üstündeki iki sayının toplamı olduğu görülür. Pascal üçgenindeki satırları 0 (sıfır) dan başlayarak numaralandırdığımızda 1. örnekteki katsayılar ile Pascal üçgenindeki satırların aynı olduğunu görürüz.
On birinci yüzyılda yaşamış ünlü matematikçilerden biri de Ömer Hayyam‘dır. Asıl adı Gıyasettin Ebulfeth Bin İbrahim El Hayyam'dır. Ömer Hayyam’ın matematiğe başlaması tesadüfen olmuştur. Babası çadırcı olduğundan, oğlunun baba mesleğini devam ettirmesi için biraz geometri öğrenmesi gerektiğine karar vermiştir. Oğluna hocalar tutmuştur. Fakat hocalar oğlunun çadırcılıkla yetinmeyeceğini anlamışlar ve babasından rica edip, eğitimini sürdürmesini sağlamışlar. Hayyam da hocalarının yüzünü kara çıkarmamıştır. Yaşadığı dönemde İbn-i Sina'dan sonra Doğu'nun yetiştirdiği en büyük bilgin olarak kabul edilmiştir. Tıp, astronomi, fizik, cebir, geometri ve matematik alanlarında önemli çalışmaları olan Hayyam'ın birçok yapıtı bugüne ula- şamamıştır. Daha çok rubaileri ile tanıdığımız Hayyam, Celali Takvimi’ni de bulmuştur.
Binom açılımı konusu, sınıf müfredatında olasılık konusundan önceki konudur ve Lys matematik sınavında soru gelmektedir.
n pozitif tam sayı olmak üzere, (x + y) üzeri n ifadesinin açılımına binom açılımı denir.
Bu konuda bulunan konu başlıkları;
Binom açılımının tanımı
Binom açılımının kuralı
Pascal üçgeni
Binom açılımındaki terim sayısı
Binom açılımında katsayılar toplamı
Binom açılımında sabit terim
Binom açılımında baştan ve sondan n. terimi bulma kuralı
i ôekil u de verilen ü¿gen, Pascal ü¿geni olarak
bilinir. - yllar arasnda yaõayan
Fransz matematik¿i Blaise ( Blez ) Pascal n
adyla anlan ve binom a¿lmndaki katsaylar
veren bu ü¿gen ile ilgili ilk ¿alõmalar Hintliler
yapmõtr. Sonrasnda - yllar arasnda
yaõayan õair, ùlozof ve matematik¿i olan
±mer Hayyam n da bu konuda ¿alõmalar
olmuõtur. Bu ü¿genle ilgili Hayyam n bir kitabnn
olduóu, fakat kitabn günümüze ulaõmadó, ±mer Hayyam n bu kitaptan
baõka kitaplarnda bahsettiói bilinmektedir. ±mer Hayyam n cebir üzerine
yazdó kitap Doóu da matematik dünyasnda uzun yllar kullanlmõtr. Batl
matematik¿ilerin bu kitapla tanõmas lü yllarda yaplan ¿evirisi ile olmuõtur.
±ncesinde ise ylnda Gerard Meerman ( +eôa .JmaO) adl bilim
adam bir eserinin ËnsËzünde islam bilginlerinin matematióe katklarndan ve
±mer Hayyam n Hollanda Kütüphanesi nde bulunan el yazmas eserinden
bahsetmiõtir.
i ôekil u de verilen ü¿gen Pascal ü¿genidir. Pascal ü¿-
geninde her satrn birinci says olan 1 den sonra gelen
say, bir üst satrn birinci ve ikinci saylarnn toplamdr.
Her satrn ü¿üncü says üst satrn ikinci ve ü¿üncü say-
larnn toplamdr. Bu õekilde oluõturulan Pascal ü¿geninde
her satrn son says ise yine 1 dir.
1. Bir snfta 15 kz, 16 erkek Ëórenci vardr. Bu snftan se¿ilecek bir Ëórenci
ka¿ farkl bi¿imde belirlenebilir
2. 10 soruluk bir testte her soru i¿in 5 farkl se¿enek bulunmaktadr. Art
arda gelen sorularn cevaplar ayn olmayacaóna gËre bu test i¿in ka¿
farkl cevap anahtar oluõturulabilir
3. i ôekil u de A, B ve C õehirlerinin arasndaki yollar gËsterilmiõtir.
a. A õehrinden C õehrine gitmek isteyen bir kiõi ka¿ farkl yol kullanabilir
b. Gidiõ ve dËnüõte B õehrine uórayacak biri A õehrinden C õehrine
gidip dËnecektir. Kullandó yolu tekrar kullanamayacak olan bu kiõi
ka¿ farkl yol kullanabilir
4. A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin elemanlar kullanlarak ü¿ basamakl
a. Ka¿ doóal say oluõturulabilir
b. 3akamlar farkl ka¿ doóal say oluõturulabilir
c. 3akamlar farkl ka¿ ¿ift doóal say oluõturulabilir
d. ile arasnda ka¿ doóal say oluõturulabilir