Bir Fonksiyonun Tersinin Grafiği
kadarıyla trigonometrik fonksiyonlar periyodik ise, onlara ters olan fonksiyonlar tek değerli değildir. Yani, denklem y = günah x, verilen için sonsuz sayıda köke sahiptir. Gerçekten de sinüsün periyodikliğinden dolayı, eğer x böyle bir kökse, o zaman x + 2n(burada n bir tam sayıdır) denklemin kökü de olacaktır. Böylece, ters trigonometrik fonksiyonlar çok değerlidir. Onlarla çalışmayı kolaylaştırmak için ana değerleri kavramı tanıtıldı. Örneğin sinüsü ele alalım: y = günah x. x argümanını aralıkla sınırlarsak, o zaman üzerinde y = işlevi günah x monoton olarak artar. Bu nedenle, ark sinüs adı verilen tek değerli bir ters fonksiyona sahiptir: x = arksin y.
Aksi belirtilmedikçe, ters trigonometrik fonksiyonlar, aşağıdaki tanımlarla tanımlanan temel değerleri anlamına gelir.
arksinüs ( y= arksin x) sinüsün ters fonksiyonudur ( x= günah
ark kosinüs ( y= arccos x) kosinüsün ters fonksiyonudur ( x= Rahat) bir tanım alanına ve bir dizi değere sahip olan.
arktanjant ( y= arktg x) tanjantın ters fonksiyonudur ( x= tg y) bir tanım alanına ve bir dizi değere sahip olan.
ark tanjantı ( y= arkctg x) kotanjantın ters fonksiyonudur ( x= ctg y) bir tanım alanına ve bir dizi değere sahip olan.
Ters trigonometrik fonksiyonların grafikleri
Ters trigonometrik fonksiyonların grafikleri, y = x doğrusuna göre ayna yansıması ile trigonometrik fonksiyonların grafiklerinden elde edilir. Sinüs, kosinüs, Tanjant, kotanjant bölümlerine bakın.
y= arksin x
y= arccos x
y= arktg x
y= arkctg x
Temel Formüller
Burada formüllerin geçerli olduğu aralıklara özellikle dikkat edilmelidir.
arksin(sin x) = x de
günah(yay x) = x
arkcos(cos x) = x de
çünkü(yay x) = x
yaytg(tg x) = x de
tg(yay x) = x
yayctg(ctg x) = x de
ctg(yay x) = x
Ters trigonometrik fonksiyonlarla ilgili formüller
Toplam ve fark formülleri
veya
ve
ve
veya
ve
ve
de
de
de
de
de
de
de
de
de
de
Referanslar:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Yüksek Öğretim Kurumlarının Mühendisleri ve Öğrencileri için Matematik El Kitabı, Lan,
Sorunla zaten karşılaştığımızda verilen fonksiyon f ve argümanının verilen değeri, o noktada fonksiyonun değerini hesaplamak gerekiyordu. Ancak bazen ters bir problemle yüzleşmek gerekir: Bilinen f fonksiyonu ve onun belirli değeri verilen y, fonksiyonun verilen y değerini aldığı argümanın değerini bulmak için.
Değerlerinin her birini tanım alanında tek bir noktada alan fonksiyona ters çevrilebilir fonksiyon denir. Örneğin, doğrusal bir fonksiyon tersinir fonksiyon. FAKAT ikinci dereceden fonksiyon veya sinüs fonksiyonu tersinir fonksiyonlar olmayacaktır. Çünkü fonksiyon farklı argümanlarla aynı değeri alabilir.
Ters fonksiyon
f'nin keyfi bir ters çevrilebilir fonksiyon olduğunu varsayalım. y0 aralığındaki her sayı, x0 alanından yalnızca bir sayıya karşılık gelir, öyle ki f(x0) = y0 olur.
Şimdi x0'ın her değerine bir y0 değeri atarsak, yeni bir fonksiyon elde ederiz. Örneğin, f(x) = k * x + b doğrusal bir fonksiyon için, g(x) = (x - b)/k fonksiyonu ters olacaktır.
eğer bazı işlevler G her noktada x ters çevrilebilir f fonksiyonunun aralığı f(y) = x olacak şekilde y değerini alır, o zaman fonksiyonun G- f'nin ters bir fonksiyonu vardır.
Bize tersine çevrilebilir bir f fonksiyonunun grafiği verilirse, o zaman bir grafik oluşturmak için ters fonksiyon, aşağıdaki ifadeyi kullanabiliriz: f fonksiyonunun ve g fonksiyonunun tersinin grafiği, y = x denklemi tarafından verilen düz çizgiye göre simetrik olacaktır.
Eğer g fonksiyonu f fonksiyonunun tersi ise, g fonksiyonu ters çevrilebilir bir fonksiyon olacaktır. Ve f fonksiyonu g fonksiyonunun tersi olacaktır. Genellikle iki f ve g fonksiyonunun karşılıklı olarak birbirinin tersi olduğu söylenir.
Aşağıdaki şekil, birbirine ters olan f ve g fonksiyonlarının grafiklerini göstermektedir.
Aşağıdaki teoremi türetelim: eğer bir f fonksiyonu A aralığında artıyorsa (ya da azalıyorsa), o zaman tersinirdir. f fonksiyonunun aralığında tanımlanan a'nın tersi g fonksiyonu da artan (veya sırasıyla azalan) bir fonksiyondur. bu teorem isminde ters fonksiyon teoremi.
Birbirine dönüşen karşılık gelen ifadeler. Bunun ne anlama geldiğini anlamak için belirli bir örnek düşünmeye değer. Diyelim ki elimizde y = cos(x) var. Argümandan kosinüsü alırsak, y'nin değerini bulabiliriz. Açıkçası, bunun için x'e sahip olmanız gerekir. Ama ya oyun başlangıçta verilirse? İşte meselenin özüne inen yer burasıdır. Problemi çözmek için ters fonksiyonun kullanılması gerekir. Bizim durumumuzda, bu arkozindir.
Tüm dönüşümlerden sonra şunu elde ederiz: x = arccos(y).
Yani, verilen bir fonksiyonun tersini bulmak için, ondan bir argümanı basitçe ifade etmek yeterlidir. Ancak bu, yalnızca sonucun tek bir değeri olacaksa işe yarar (daha fazlası için).
İÇİNDE Genel görünüm bu gerçeği şöyle yazabiliriz: f(x) = y, g(y) = x.
Tanım
f, alanı X ve alanı Y olan bir fonksiyon olsun. O zaman, tanımları zıt görevleri yerine getiren g varsa, o zaman f tersinirdir.
Ek olarak, bu durumda g benzersizdir, bu, bu özelliği karşılayan tam olarak bir fonksiyon olduğu anlamına gelir (ne daha fazla, ne daha az). Daha sonra ters fonksiyon olarak adlandırılır ve yazılı olarak şu şekilde gösterilir: g (x) \ud f -1 (x).
Başka bir deyişle, ikili bir ilişki olarak görülebilirler. Tersine çevrilebilirlik, yalnızca kümenin bir öğesi diğerinden bir değere karşılık geldiğinde gerçekleşir.
Her zaman ters bir fonksiyon yoktur. Bunu yapmak için, her y є Y elemanı en fazla bir x є X'e karşılık gelmelidir. O zaman f'ye birebir veya enjeksiyon denir. Eğer f -1 Y'ye aitse, bu kümenin her elemanı bir miktar x ∈ X'e karşılık gelmelidir. Bu özelliğe sahip fonksiyonlara surjections denir. Y'nin bir f görüntüsü olup olmadığı tanım gereği geçerlidir, ancak bu her zaman böyle değildir. Ters olması için, bir fonksiyonun hem enjeksiyon hem de tahmin olması gerekir. Bu tür ifadelere bijeksiyon denir.
Örnek: kare ve kök fonksiyonları
Fonksiyon üzerinde tanımlanmıştır)
Ters Fonksiyon
SORU 1:
\( A = \{a, b, c, d, e\} \) kümesinde tanımlı \( f = \{(a, c), (b, d), (c, e), (d, a), (e, b)\} \) fonksiyonu veriliyor.
Buna göre, \( f^{-1} \) fonksiyonunu bulunuz.
Çözümü GösterFonksiyon tanım kümesindeki tüm elemanların görüntüsü farklı olduğu için birebir, değer kümesinde hiçbir eleman açıkta kalmadığı için örtendir. Dolayısıyla fonksiyonun ters fonksiyonu tanımlıdır ve sıralı ikililerin bileşenlerinin aralarında yer değiştirmesi ile elde edilir.
\( f(a) = c \Longrightarrow f^{-1}(c) = a \)
Buna göre ters fonksiyon aşağıdaki gibi olur.
\( f^{-1} = \{(c, a), (d, b), (e, c), (a, d), (b, e)\} \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 2:
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)
\( f(x + 2) = 3x - 2 + a \)
\( f^{-1}(4) = 3 \) olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f^{-1}(4) = 3 \) ise \( f(3) = 4 \) olur.
\( f(x + 2) \) ifadesinde \( x = 1 \) yazalım.
\( f(1 + 2) = 3(1) - 2 + a \)
\( f(3) = 1 + a = 4 \)
\( a = 3 \) olarak bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 3:
\( f(x) = 8x^3 - 36x^2 + 54x - 20 \)
\( f^{-1}(a^3 + 7) = 5 \)
olduğuna göre, \( a \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( f^{-1}(a^3 + 7) = 5 \) ise,
\( f(5) = a^3 + 7 \)
\( f(5) \) değerini bulmak için fonksiyonda \( x = 5 \) yazalım.
\( f(5) = 8(5)^3 - 36(5)^2 + 54(5) - 20 \)
\( - + - 20 = a^3 + 7 \)
\( a^3 + 7 = \)
\( a^3 = \)
\( a = 7 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 4:
\( f: A \to B \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{x^2 - k}{x + 3} \) fonksiyonu veriliyor.
\( (2, 3) \in f^{-1} \) ise \( k \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f^{-1} \) fonksiyonunda 2'nin görüntüsü 3 ise \( f \) fonksiyonunda 3'ün görüntüsü 2'dir.
\( (3, 2) \in f \)
\( f(3) = 2 \)
Bu değerleri fonksiyonda yerine koyalım.
\( f(3) = \dfrac{3^2 - k}{3 + 3} = 2 \)
\( 9 - k = 12 \)
\( k = -3 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 5:
\( f(x) = 3^{x - 1} - 11 \) olduğuna göre, \( f^{-1}(70) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f^{-1}(70) = a \) diyelim.
\( f(a) = 70 \)
\( f \) fonksiyonunun sonucunu 70 yapan \( a \) değerini bulalım.
\( f(a) = 3^{a - 1} - 11 = 70 \)
\( 3^{a - 1} = 81 \)
\( a = 5 \)
\( f^{-1}(70) = a = 5 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 6:
\( f(2x - 1) = 3x + 5 \) ve \( f^{-1}(2a - 5) = 11 \)
olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü GösterVerilen ters fonksiyonu tersine çevirerek aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( f(11) = 2a - 5 \)
Birinci eşitlikte fonksiyonun içindeki ifadeyi 11'e eşitleyelim.
\( 2x - 1 = 11 \Longrightarrow x = 6 \)
\( f(11) \) değeri için \( x = 6 \) yazalım.
\( f(2(6) - 1) = 3(6) + 5 \)
\( f(11) = 23 = 2a - 5 \)
\( a = 14 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 7:
\( f(x) = 2x + 1 \) ve \( g(x) = x^3 + 2 \)
olduğuna göre, \( (f^{-1} \circ g)(1) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( (f^{-1} \circ g)(1) = f^{-1}(g(1)) = a \) diyelim.
\( g(1) = 1^3 + 2 = 3 \)
\( f^{-1}(g(1)) = f^{-1}(3) = a \)
Ters fonksiyonu aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( f(a) = 3 \)
\( 2a + 1 = 3 \)
\( a = 1 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 8:
\( g^{-1}(5 + 2x) = g(x) + 2x \) olduğuna göre, \( (g \circ g)(0) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( (g \circ g)(0) = g(g(0)) \)
Ters fonksiyonun girdi ve çıktı değerlerini yer değiştirerek normal fonksiyon şeklinde yazalım.
\( g(g(x) + 2x) = 5 + 2x \)
\( x = 0 \) yazalım.
\( g(g(0) + 0) = 5 + 2 \cdot 0 \)
\( g(g(0)) = 5 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 9:
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)
\( f(x) = x^4 + 2x^2 + mx + 5 \)
\( f^{-1}(x) \) fonksiyonunun grafiği \( (-2, 1) \) noktasından geçtiğine göre, \( m \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f^{-1}(x) \) fonksiyonunun grafiği \( (-2, 1) \) noktasından geçtiğine göre, \( f^{-1}(-2) = 1 \) olur.
\( f^{-1}(-2) = 1 \) ise \( f(1) = -2 \) olur.
\( f \) fonksiyonunda \( x = 1 \) yazalım.
\( f(1) = 1^4 + 2(1)^2 + m(1) + 5 = -2 \)
\( 1 + 2 + m + 5 = -2 \)
\( m = \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( f: \mathbb{R} - \{ -\frac{1}{3} \} \to \mathbb{R} - \{ \frac{4}{3} \} \)
\( f(x) = \dfrac{4x - 2}{3x + 1} \) olduğuna göre, \( f^{-1}(-1) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d} \) formundaki bir fonksiyonun kısa yoldan tersini elde etmek için paydaki \( a \) ile paydadaki \( d \) işaret ve yer değiştirir.
\( f(x) = \dfrac{4x - 2}{3x + 1} \)
\( f^{-1}(x) = \dfrac{-x - 2}{3x - 4} \)
\( f^{-1}(-1) \) değerini bulmak için \( x = -1 \) yazalım.
\( f^{-1}(-1) = \dfrac{-(-1) - 2}{3(-1) - 4} \)
\( = \dfrac{1}{7} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( (f \circ g)(x) = x + 2 \)
\( f(x) = \dfrac{3x - 2}{3} \)
olduğuna göre, \( g^{-1}(2) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \)
\( f(x) \) fonksiyonunda \( x \) yerine \( g(x) \) yazalım.
\( x + 2 = \dfrac{3g(x) - 2}{3} \)
\( 3x + 6 = 3g(x) - 2 \)
\( g(x) = \dfrac{3x + 8}{3} \)
\( g(x) \) fonksiyonunun tersini alalım.
\( g^{-1}(x) = \dfrac{3x - 8}{3} \)
\( g^{-1}(2) \) değerini bulmak için \( x = 2 \) yazalım.
\( g^{-1}(2) = \dfrac{3(2) - 8}{3} = -\dfrac{2}{3} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( f(x) = \dfrac{3f(x) + 6}{2x - 1} \)
\( f^{-1}(3) = m - 3 \)
olduğuna göre, \( m \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x) \)'i yalnız bırakalım.
\( 2xf(x) - f(x) = 3f(x) + 6 \)
\( 2xf(x) - 4f(x) = 6 \)
\( f(x)(2x - 4) = 6 \)
\( f(x) = \dfrac{6}{2x - 4} \)
\( f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d} \) formundaki bir fonksiyonun kısa yoldan tersini elde etmek için paydaki \( a \) ile paydadaki \( d \) işaret ve yer değiştirir.
\( f^{-1}(x) = \dfrac{4x + 6}{2x} \)
\( f^{-1}(3) \) değerini bulmak için \( x = 3 \) yazalım.
\( f^{-1}(3) = \dfrac{4(3) + 6}{2(3)} \)
\( = \dfrac{18}{6} = 3 = m - 3 \)
\( m = 6 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( f: \mathbb{R} - \{ a \} \to \mathbb{R} - \{ b \} \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{3x - a}{2x - 1} \) fonksiyonu birebir ve örten ise \( f(b) \) kaçtır?
Çözümü GösterFonksiyon tanımında paydayı 0 yapan değer fonksiyonu tanımsız yapar. Tanım kümesindeki tüm elemanlar için fonksiyonun tanımlı olması gerektiği için paydayı sıfır yapan \( x \) değeri tanım kümesinin dışında bırakılan \( a \) değeri olmalıdır.
\( 2a - 1 = 0 \Longrightarrow a = \dfrac{1}{2} \)
\( f(x) = \dfrac{3x - \frac{1}{2}}{2x - 1} \)
Fonksiyon birebir ve örten olduğu için tersini alabiliriz.
\( f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d} \) formundaki bir fonksiyonun kısa yoldan tersini elde etmek için paydaki \( a \) ile paydadaki \( d \) işaret ve yer değiştirir.
\( f^{-1}(x) = \dfrac{x - \frac{1}{2}}{2x - 3} \)
\( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( f^{-1} \) fonksiyonunun tanım kümesi, \( f \) fonksiyonunun tanım kümesi \( f^{-1} \) fonksiyonunun görüntü kümesidir.
\( f^{-1}: \mathbb{R} - \{ b \} \to \mathbb{R} - \{ \frac{1}{2} \} \)
Ters fonksiyon tanımında paydayı 0 yapan değer fonksiyonu tanımsız yapar. Tanım kümesindeki tüm elemanlar için fonksiyonun tanımlı olması gerektiği için paydayı sıfır yapan \( x \) değeri ters fonksiyonun tanım kümesinin dışında bırakılan \( b \) değeri olmalıdır.
\( 2b - 3 = 0 \Longrightarrow b = \dfrac{3}{2} \)
\( f(b) \) değerini bulmak için \( x = \frac{3}{2} \) yazalım.
\( f(b) = f(\frac{3}{2}) \)
\( = \dfrac{3(\frac{3}{2}) - \frac{1}{2}}{2(\frac{3}{2}) - 1} = 2 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( \dfrac{f(x) + 3}{f(x)} = 2x + 3 \) olduğuna göre,
\( f^{-1}(x) \) fonksiyonunu bulunuz.
Çözümü GösterBir fonksiyonun tersini bulmak için \( x \) yalnız bırakılır. Verilen ifadede \( x \) bu forma çok yakındır.
\( 2x + 3 = \dfrac{f(x) + 3}{f(x)} \)
\( 2x = \dfrac{f(x) + 3}{f(x)} - 3 \)
\( 2x = \dfrac{3 - 2f(x)}{f(x)} \)
\( x = \dfrac{3 - 2f(x)}{2f(x)} \)
\( x \) ve \( f(x) \) ifadelerini aralarında yer değiştirdiğimizde \( f^{-1} \) fonksiyonunu elde ederiz.
\( f^{-1}(x) = \dfrac{3 - 2x}{2x} \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( y = f(x) \) fonksiyonu için \( xy + 4y = 3x - 2 \) eşitliği veriliyor.
Buna göre \( f^{-1}(x) \) nedir?
Çözümü GösterDenklemi düzenleyelim.
\( y(x + 4) = 3x - 2 \)
\( y = f(x) = \dfrac{3x - 2}{x + 4}\)
\( f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d} \) formundaki bir fonksiyonun kısa yoldan tersini elde etmek için paydaki \( a \) ile paydadaki \( d \) işaret ve yer değiştirir.
\( f^{-1}(x) = \dfrac{-4x - 2}{x - 3} \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( f: [4, +\infty) \to A \) fonksiyonu örtendir.
\( f(x) = x^2 - 8x + 12 \) olduğuna göre, \( f^{-1}(x) \) fonksiyonunu bulunuz.
Çözümü GösterVerilen fonksiyon başkatsayısı pozitif ve kolları yukarı yönlü olan bir paraboldür.
Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,
\( r = -\dfrac{-8}{2} = 4 \)
\( k = f(4) = 4^2 - 8(4) + 12 = -4 \)
\( T(4, -4) \) olduğuna göre parabolün görüntü kümesi \( [-4, \infty) \) olur.
\( f: [4, +\infty) \to [-4, \infty) \)
Fonksiyonun tanım kümesi parabolün tepe noktası ve daha büyük apsis değerli noktaları kapsadığı için fonksiyon yatay doğru testini geçer ve birebirdir, dolayısıyla tersi tanımlıdır.
Fonksiyonun tersini bulmak için \( x \)'i yalnız bırakalım.
Eşitliğin sağ tarafını tam kareye tamamlayalım.
\( y = x^2 - 8x + 16 - 4 \)
\( y = (x - 4)^2 - 4 \)
\( (x - 4)^2 = y + 4 \)
\( \sqrt{(x - 4)^2} = \sqrt{y + 4} \)
\( \abs{x - 4} = \sqrt{y + 4} \)
\( f \) fonksiyonunun tanım kümesi 4'ten büyük reel sayıları kapsadığı için \( x - 4 \) ifadesi mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.
\( x - 4 = \sqrt{y + 4} \)
\( x = \sqrt{y + 4} + 4 \)
\( x \) ve \( y \) değişkenleri aralarında yer değiştirdiğinde \( y = f^{-1} \) fonksiyonunu elde ederiz.
\( f^{-1}(x) = \sqrt{x + 4} + 4 \)
\( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( f^{-1} \) fonksiyonunun tanım kümesi, \( f \) fonksiyonunun tanım kümesi \( f^{-1} \) fonksiyonunun görüntü kümesidir.
\( f^{-1}: [-4, \infty) \to [4, +\infty) \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( f, g, h \) uygun aralıklarda tanımlı birer fonksiyondur.
\( f(x) = 2 - \ln(x + 1) \)
\( g(x) = \sqrt{e^x - 2} \)
\( h(x) = 1 + 2e^{-x} \)
Verilen fonksiyonların tersini bulunuz.
Çözümü GösterBir fonksiyonun tersini bulmak için fonksiyon tanımında \( x \) yalnız bırakılır, elde edilen ifadede \( y \) yerine \( x \) yazılır.
\( f(x) \) fonksiyonu:
\( y = 2 - \ln(x + 1) \)
\( x \)'i yalnız bırakalım.
\( \ln(x + 1) = 2 - y \)
Her iki tarafta \( e \)'nin kuvvetini alalım.
\( e^{\ln(x + 1)} = e^{2 - y} \)
\( x + 1 = e^{2 - y} \)
\( x = e^{2 - y} - 1 \)
\( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerlerini değiştirdiğimizde ters fonksiyonu elde ederiz.
\( y = f^{-1}(x) = e^{2 - x} - 1 \)
\( g(x) \) fonksiyonu:
\( y = \sqrt{e^x - 2} \)
Eşitliğin her iki tarafının karesini alıp köklü ifadeden kurtulalım.
\( y^2 = e^x - 2 \)
\( e^x = y^2 + 2 \)
Her iki tarafın doğal logaritmasını alarak \( e \) ifadesinden kurtulalım.
\( \ln{e^x} = \ln(y^2 + 2) \)
\( x = \ln(y^2 + 2) \)
\( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerlerini değiştirdiğimizde ters fonksiyonu elde ederiz.
\( y = g^{-1}(x) = \ln(x^2 + 2) \)
\( h(x) \) fonksiyonu:
\( y = 1 + 2e^{-x} \)
\( x \)'i yalnız bırakalım.
\( 2e^{-x} = y - 1 \)
\( e^{-x} = \dfrac{y - 1}{2} \)
Her iki tarafın doğal logaritmasını alarak \( e \) ifadesinden kurtulalım.
\( \ln{e^{-x}} = \ln{\dfrac{y - 1}{2}} \)
\( -x = \ln{\dfrac{y - 1}{2}} \)
\( x = -\ln{\dfrac{y - 1}{2}} \)
\( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerlerini değiştirdiğimizde ters fonksiyonu elde ederiz.
\( y = h^{-1}(x) = -\ln{\dfrac{x - 1}{2}} \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( f(\frac{x - 1}{x + 1}) = x + 2 \)
olduğuna göre, \( f(x) \) fonksiyonu nedir?
Çözümü Göster\( f(x) \) fonksiyonunu elde etmek için \( x \) yerine parantez içindeki \( \frac{x - 1}{x + 1} \) fonksiyonunun tersini yazalım.
\( f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d} \) formundaki bir fonksiyonun kısa yoldan tersini elde etmek için paydaki \( a \) ile paydadaki \( d \) işaret ve yer değiştirir.
\( y = \dfrac{-x - 1}{x - 1} \)
Fonksiyonda \( x \) yerine \( \frac{-x - 1}{x - 1} \) yazalım.
\( f(\frac{\frac{-x - 1}{x - 1} - 1}{\frac{-x - 1}{x - 1} + 1}) = \dfrac{-x - 1}{x - 1} + 2 \)
\( f(x) = \dfrac{x - 3}{x - 1} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( f(x) = \dfrac{(a + 2)x - 4}{x - 3} \) fonksiyonunun tersi kendine eşit olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d} \) formundaki bir fonksiyonun kısa yoldan tersini elde etmek için paydaki \( a \) ile paydadaki \( d \) işaret ve yer değiştirir.
\( f^{-1}(x) = \dfrac{3x - 4}{x - (a + 2)} \)
Buna göre fonksiyonun tersine eşit olabilmesi için \( a + 2 = 3 \) olmalıdır.
\( a + 2 = 3 \)
\( a = 1 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( f(x) = \dfrac{2x + 3}{4x - 2} \) olduğuna göre,
\( \underbrace{(f \circ f \circ \ldots \circ f \circ f)}_\text{ adet}(x) \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d} \) formundaki bir fonksiyonun kısa yoldan tersini elde etmek için paydaki \( a \) ile paydadaki \( d \) işaret ve yer değiştirir.
Buna göre verilen fonksiyon tersine eşittir.
\( f(x) = f^{-1}(x) = \dfrac{2x + 3}{4x - 2} \)
Bir fonksiyonun tersi ile bileşkesi birim fonksiyonu verir.
\( (f \circ f^{-1})(x) = I = x \)
Buna göre verilen ifadeyi aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( (f \circ f \circ \ldots \circ f \circ f \circ f)(x) \)
\( = (f \circ f^{-1} \circ \ldots \circ f \circ f^{-1} \circ f)(x) \)
Son fonksiyon dışındaki fonksiyonların ikişerli bileşkesi birim fonksiyonu verir.
\( = (I \circ \ldots \circ I \circ f)(x) \)
\( = f(x) = \dfrac{2x + 3}{4x - 2} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)
\( (g \circ f^{-1})(x) = 3x - 4 \)
\( (f \circ g)(x) = x + 1 \)
olduğuna göre, \( (g \circ g)(6) \) kaçtır?
Çözümü GösterBirinci eşitlikteki bileşke fonksiyon ile ikinci eşitlikteki bileşke fonksiyonun bileşkesini alalım.
\( ((g \circ f^{-1}) \circ (f \circ g))(x) = (g \circ f^{-1})((f \circ g)(x)) \)
Bileşke işleminin birleşme özelliği vardır.
\( (g \circ f^{-1} \circ f \circ g)(x) = 3(x + 1) - 4 \)
Bir fonksiyonun tersi ile bileşkesi birim fonksiyona eşittir.
\( f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = I \)
\( (g \circ I \circ g)(x) = 3x - 1 \)
Bir fonksiyonun birim fonksiyon ile bileşkesi kendisine eşittir.
\( (g \circ I)(x) = (I \circ g)(x) = g(x) \)
\( (g \circ g)(x) = 3x - 1 \)
\( (g \circ g)(6) \) değerini bulmak için \( x = 6 \) yazalım.
\( (g \circ g)(6) = 3(6) - 1 = 17 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( (f^{-1} \circ g)^{-1}(x) = 3x - 2 \)
\( (f \circ g)(x) = 2x + 4 \) olduğuna göre,
\( (f \circ f)(x) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( (f^{-1} \circ g)^{-1}(x) = (g^{-1} \circ f)(x) = 3x - 2 \)
İki ifadenin bileşkesini alalım.
\( (f \circ g)(x) \circ (g^{-1} \circ f)(x) = (f \circ g \circ g^{-1} \circ f)(x) \)
\( g \circ g^{-1} \) bileşke fonksiyonu birim fonksiyonu verir.
\( = (f \circ I \circ f)(x) = (f \circ f)(x) \)
Buna göre, \( (f \circ g)(x) \) ve \( (g^{-1} \circ f)(x) \) bileşke fonksiyonlarının bileşkesini alarak \( (f \circ f)(x) \) bileşke fonksiyonunu bulalım.
\( (f \circ f)(x) = 2(3x - 2) + 4 \)
\( (f \circ f)(x) = 6x \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( f \) ve \( g \) birebir ve örten fonksiyonlardır.
\( (g \circ f^{-1})(2x + 5) = g(3x - 2) \) olduğuna göre, \( f(4) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( g^{-1} \) fonksiyonunun eşitliğin iki tarafı ile bileşkesini alalım.
\( g^{-1}[(g \circ f^{-1})(2x + 5)] = g^{-1}[g(3x - 2)] \)
\( (g^{-1} \circ g \circ f^{-1})(2x + 5) = (g^{-1} \circ g)(3x - 2) \)
Bir fonksiyonun ters fonksiyonu ile bileşkesi birim fonksiyonu verir.
\( g^{-1} \circ g = I = x \)
Buna göre ifade aşağıdaki gibi sadeleşir.
\( (I \circ f^{-1})(2x + 5) = I(3x - 2) \)
\( f^{-1}(2x + 5) = 3x - 2 \)
Ters fonksiyonun girdi ve çıktı değerlerini yer değiştirerek normal fonksiyon şeklinde yazalım.
\( f(3x - 2) = 2x + 5 \)
\( f(4) \) elde etmek için \( x = 2 \) yazalım.
\( f(3(2) - 2) = 2(2) + 5 \)
\( f(4) = 9 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( f(x) = \dfrac{x + 4}{6} \)
\( (g \circ f)^{-1}(x) = 3x - 13 \)
olduğuna göre, \( g(x) \) fonksiyonunu bulunuz.
Çözümü Göster\( f \) fonksiyonunun tersini bulalım.
\( f^{-1}(x) = 6x - 4 \)
Bileşke fonksiyonun ters işlemini parantez içine dağıtalım.
\( (g \circ f)^{-1}(x) = (f^{-1} \circ g^{-1})(x) \)
\( = f^{-1}(g^{-1}(x)) \)
\( f^{-1} \) fonksiyonunda \( x \) yerine \( g^{-1}(x) \) yazalım.
\( = 6g^{-1}(x) - 4 \)
Soruda verilen eşitliği kullanarak \( g^{-1}(x) \) fonksiyonunu bulalım.
\( 6g^{-1}(x) - 4 = 3x - 13 \)
\( g^{-1}(x) = \dfrac{3x - 9}{6} \)
\( = \dfrac{x - 3}{2} \)
Bir fonksiyonun tersinin tersi kendisine eşittir.
\( (g^{-1})^{-1}(x) = g(x) \)
\( g(x) = 2x + 3 \) olarak bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( f, g, h, t \) fonksiyonları tanımlı oldukları aralıklarda birebir ve örtendir.
\( (f \circ g^{-1} \circ h)(x) = 3x + 4 \)
\( (h^{-1} \circ g)(x) = 2x - 1 \) olduğuna göre,
\( f(x) \) fonksiyonu nedir?
Çözümü Gösterİki eşitlikteki ifadelerin bileşkesini alalım.
\( (f \circ g^{-1} \circ h \circ h^{-1} \circ g)(x) = 3(2x - 1) + 4 \)
Bir fonksiyonun tersi ile bileşkesi birim fonksiyonu verir.
\( k \circ k^{-1} = k^{-1} \circ k = I \)
\( (f \circ g^{-1} \circ I \circ g)(x) = 6x + 1 \)
Bir fonksiyonun birim fonksiyon ile bileşkesi kendisini verir.
\( k \circ I = I \circ k = k \)
\( (f \circ g^{-1} \circ g)(x) = 6x + 1 \)
\( (f \circ I)(x) = 6x + 1 \)
\( f(x) = 6x + 1 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
Yukarıda \( f(x) \) ve \( g(x) = x^5 \) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.
Buna göre \( (f \circ g^{-1} \circ f)(0) \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( b = g(2) = 2^5 = 32 \)
\( (f \circ g^{-1} \circ f)(0) = f(g^{-1}(f(0))) \)
Fonksiyon değerlerini içten dışa doğru bulalım.
\( f(0) = b = 32 \)
\( g^{-1}(32) = 2 \)
\( f(2) = 0 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = x + 1 \) ve \( (f \circ g^{-1})(x) = (f \circ f)(x) \)
olduğuna göre, \( g(3) \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( f^{-1} \) fonksiyonunun verilen eşitliğin iki tarafı ile bileşkesini alalım.
\( f^{-1}((f \circ g^{-1})(x)) = f^{-1}((f \circ f)(x)) \)
\( (f^{-1} \circ f \circ g^{-1})(x) = (f^{-1} \circ f \circ f)(x) \)
Bir fonksiyonun tersi ile bileşkesi birim fonksiyonu verir.
\( f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = I \)
\( (I \circ g^{-1})(x) = (I \circ f)(x) \)
Bir fonksiyonun birim fonksiyon ile bileşkesi kendisini verir.
\( f \circ I = I \circ f = f \)
\( g^{-1}(x) = f(x) \)
Ters fonksiyonun girdi ve çıktı değerlerini yer değiştirerek normal fonksiyon şeklinde yazalım.
\( g(f(x)) = x \)
\( g(x + 1) = x \)
\( g(3) \) değerini bulmak için \( x = 2 \) yazalım.
\( g(2 + 1) = 2 \)
\( g(3) = 2 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( f \) tanımlı olduğu aralıkta bir fonksiyondur.
\( f(x) = \dfrac{12^x + 20^x}{3^x + 5^x} \) olduğuna göre,
\( \dfrac{f(3) + f(4)}{f^{-1}(2)} \) ifadesi kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x) = \dfrac{12^x + 20^x}{3^x + 5^x} \) \( = \dfrac{3^x \cdot 4^x + 4^x \cdot 5^x}{3^x + 5^x} \)
Eşitliği \( 4^x \) parentezine alalım.
\( = \dfrac{4^x(3^x + 5^x)}{3^x + 5^x} = 4^x \)
Üstel fonksiyonun ters fonksiyonu logaritma fonksiyonudur.
\( f^{-1}(x) = \log_4{x} \)
İfadedeki terimleri bulalım.
\( f(3) = 4^3 = 64 \)
\( f(4) = 4^4 = \)
\( f^{-1}(2) = \log_4{2} = \dfrac{1}{2} \)
Bulduğumuz değerleri yerlerine koyalım.
\( \dfrac{f(3) + f(4)}{f^{-1}(2)} = \dfrac{64 + }{\frac{1}{2}} \)
\( = \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( f: [0, 5) \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \sqrt{x + 4} \)
fonksiyonunun ters fonksiyonunu bularak tanım ve görüntü kümelerini belirtin.
Çözümü GösterBir fonksiyonun tersini bulmak için fonksiyon tanımında \( x \) yalnız bırakılır, elde edilen ifadede \( y \) yerine \( x \) yazılır.
\( y = \sqrt{x + 4} \)
Her iki tarafın karesini alarak köklü ifadeden kurtaralım.
\( y^2 = x + 4 \)
\( x \)'i yalnız bırakalım.
\( x = y^2 - 4 \)
\( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerlerini değiştirelim.
\( y = f^{-1}(x) = x^2 - 4 \)
\( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( f^{-1} \) fonksiyonunun tanım kümesi, \( f \) fonksiyonunun tanım kümesi \( f^{-1} \) fonksiyonunun görüntü kümesidir.
\( f \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulalım.
Karekök fonksiyonu kesin artan bir fonksiyon olduğu için görüntü kümesi tanım kümesinin sınır değerlerindeki fonksiyon değerleri arasındaki aralıktır.
\( f(0) = \sqrt{0 + 4} = 2 \)
\( f(5) = \sqrt{5 + 4} = 3 \)
\( f \) görüntü kümesi: \( 2 \le f(x) \lt 3 \)
O halde \( f^{-1} \) fonksiyonunun tanım kümesi de aynı aralıktır.
\( f^{-1} \) tanım kümesi: \( 2 \le x \lt 3 \)
\( f^{-1} \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( f \) fonksiyonunun tanım kümesi ile aynıdır.
\( f^{-1} \) görüntü kümesi: \( 0 \le f^{-1}(x) \lt 5 \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( f: [0, \infty) \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = 2x^2 + 5 \)
fonksiyonunun ters fonksiyonunu bularak tanım ve görüntü kümelerini belirtin.
Çözümü GösterBir fonksiyonun tersini bulmak için fonksiyon tanımında \( x \) yalnız bırakılır, elde edilen ifadede \( y \) yerine \( x \) yazılır.
\( y = 2x^2 + 5 \)
\( x \)'i yalnız bırakalım.
\( 2x^2 = y - 5 \)
\( x^2 = \dfrac{y - 5}{2} \)
Her iki tarafın karekökünü alalım.
\( x = \sqrt{\dfrac{y - 5}{2}} \)
\( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerlerini değiştirelim.
\( y = f^{-1}(x) = \sqrt{\dfrac{x - 5}{2}} \)
\( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( f^{-1} \) fonksiyonunun tanım kümesi, \( f \) fonksiyonunun tanım kümesi \( f^{-1} \) fonksiyonunun görüntü kümesidir.
\( f \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulalım.
\( f(x) = 2x^2 + 5 \) fonksiyonu \( [0, \infty) \) aralığında kesin artan bir fonksiyon olduğu için görüntü kümesi tanım kümesinin sınır değerlerindeki fonksiyon değerleri arasındaki aralıktır.
\( f(0) = 2(0)^2 + 5 = 5 \)
\( x \) pozitif sonsuza giderken \( f(x) \) değeri de pozitif sonsuza gider.
\( f \) görüntü kümesi: \( f(x) \ge 5 \)
O halde \( f^{-1} \) fonksiyonunun tanım kümesi de aynı aralıktır.
\( f^{-1} \) tanım kümesi: \( x \ge 5 \)
\( f^{-1} \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( f \) fonksiyonunun tanım kümesi ile aynıdır.
\( f^{-1} \) görüntü kümesi: \( f^{-1}(x) \ge 0 \)
Soru sorun Soruda hata bildirin