Birebir Fonksiyon Grafik

birebir fonksiyon grafik

kaynağı değiştir]

Dış bağlantılar[değiştir kaynağı değiştir]

Birebir Fonksiyon

SORU 1:

\( A = \{ 0, 2, 4, 6, 8, 10 \} \)

\( f: A \to A \) olmak üzere,

\( f \) fonksiyonu birebir olduğuna göre, \( f(0) + f(10) \) ifadesinin en büyük değeri kaçtır?

Çözümü Göster

İfadenin en büyük değerini elde etmek için \( f(0) \) ve \( f(10) \)'u ayrı ayrı en büyük seçmeliyiz. Fonksiyon birebir olduğu için \( f(0) \) ve \( f(10) \) için 10'u seçemeyiz, \( f(0) = 10 \) seçersek birebir özelliğini sağlamak için ikinci en büyük değer olarak \( f(10) = 8 \) seçmeliyiz.

Buna göre toplamın en büyük değeri \( f(0) + f(10) = 10 + 8 = 18 \) olur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 2:

\( A = \{ -2, 0, 2 \} \)

\( f: A \to B \) birebir ve örten bir fonksiyondur.

\( f(2x + 4) = x + 3 \) olduğuna göre, \( B \) kümesinin elemanları toplamı kaçtır?

Çözümü Göster

Fonksiyonu \( f(x) \) cinsinden yazmak için \( f(2x + 4) = x + 3 \) ifadesinde \( x \) yerine \( 2x + 4 \) ifadesinin tersi olan \( \frac{x - 4}{2} \) yazalım.

\( f(2(\frac{x - 4}{2}) + 4) = \dfrac{x - 4}{2} + 3 \)

\( f(x) = \dfrac{x - 4}{2} + 3 \)

\( A \) kümesinin elemanlarının sırayla görüntülerini bulalım.

\( f(-2) = \dfrac{-2 - 4}{2} + 3 = 0 \)

\( f(0) = \dfrac{0 - 4}{2} + 3 = 1 \)

\( f(2) = \dfrac{2 - 4}{2} + 3 = 2 \)

Buna göre görüntü kümesi aşağıdaki gibi olur.

\( f(A) = \{ 0, 1, 2 \} \)

Fonksiyon örten olduğu için değer kümesi görüntü kümesine eşit olmalıdır.

\( B = f(A) = \{ 0, 1, 2 \} \)

Buna göre \( B \) kümesinin elemanları toplamı \( 0 + 1 + 2 = 3 \) olur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 3:

\( s(A) = x^2 - 5 \) ve \( s(B) = 5x + 1 \) olmak üzere,

\( f: A \to B \) şeklinde tanımlı olan fonksiyon birebir ve örtendir.

Buna göre \( A \) kümesi kaç elemanlıdır?

Çözümü Göster

Bir fonksiyonun örten olabilmesi için gerekli koşullardan biri, tanım kümesinin eleman sayısının değer kümesinin eleman sayısına eşit ya da ondan büyük olmasıdır.

\( s(A) \ge s(B) \)

Bir fonksiyonun birebir olabilmesi için gerekli koşullardan biri, tanım kümesinin eleman sayısının değer kümesinin eleman sayısına eşit ya da ondan küçük olmasıdır.

\( s(A) \le s(B) \)

Buna göre bir fonksiyonun hem birebir hem örten olabilmesi için tanım kümesinin eleman sayısı değer kümesinin eleman sayısına eşit olmalıdır.

\( s(A) = s(B) \)

\( x^2 - 5 = 5x + 1 \)

\( x^2 - 5x - 6 = 0 \)

\( (x - 6)(x + 1) = 0 \)

\( x \)'in alabileceği değerler 6 ve -1'dir, ancak -1 olduğu durumda kümelerin eleman sayıları negatif olacağı için bu geçerli bir çözüm değildir.

\( x = 6 \) için \( A \) kümesinin eleman sayısını bulalım.

\( s(A) = x^2 - 5 = 6^2 - 5 = 31 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 4:

\( s(A) = 3 \) ve \( s(B) = 6 \) olduğuna göre,

\( A \)'dan \( B \)'ye birebir olmayan kaç farklı fonksiyon tanımlanabilir?

Çözümü Göster

\( A \) kümesinden \( B \) kümesine tanımlanabilecek birebir olmayan fonksiyon sayısı, toplam fonksiyon sayısı ile birebir fonksiyon sayısının farkına eşittir.

Birebir olmayan fonksiyon sayısı = Tüm fonksiyonların sayısı - Birebir fonksiyon sayısı

\( A \)'dan \( B \)'ye toplam fonksiyon sayısı: \( 6^3 = \)

\( A \)'dan \( B \)'ye birebir fonksiyon sayısı: \( P(6, 3) = 6 \cdot 5 \cdot 4 = \)

Buna göre birebir olmayan fonksiyon sayısı \( - = 96 \) olarak bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 5:

\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f(x) = x^2 + 1 \)

\( g: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, \quad g(x) = 7x - 3 \)

\( h: \mathbb{R^+} \to \mathbb{R}, \quad h(x) = 4x^2 + 2 \)

fonksiyonlarından hangileri birebir fonksiyondur?

Çözümü Göster

\( f \) fonksiyonunda \( x^2 \) ifadesi \( x \)'in pozitif ve negatif değerleri için aynı sonucu verir, grafiği de bir parabol olduğu için çizilecek yatay doğrular grafiği iki noktada keser. Bu yüzden \( f \) fonksiyonu birebir değildir.

\( g \) fonksiyonunun grafiği eğimi pozitif olan bir doğrudur, dolayısıyla çizilecek yatay doğrular doğruyu tek bir noktada keser. Bu yüzden \( g \) fonksiyonu birebirdir.

\( h \) fonksiyonu da \( f \) fonksiyonu gibi bir paraboldür, ancak tanım kümesi pozitif reel sayılar olduğu için grafiği tepe noktasının sağındaki kısma karşılık gelir ve çizilecek yatay doğrular grafiği tek bir noktada keser. Bu yüzden \( h \) fonksiyonu birebirdir.

Buna göre \( g \) ve \( h \) fonksiyonları birebirdir.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 6:

\( f: A \to A \) fonksiyonu birebirdir.

\( A = \{ 2, 3, 4, 5, 6, 7 \} \) olduğuna göre, \( f(2) + f(3) + f(4) \) toplamının alabileceği kaç farklı değer vardır?

Çözümü Göster

\( f \) fonksiyonu birebir olduğu için tanım kümesindeki her eleman değer kümesinde farklı bir elemanla eşleşmek zorundadır.

\( f(2) \), \( f(3) \) ve \( f(4) \) sırası önemsiz şekilde en küçük 2, 3 ve 4 değerlerini alabilir ve bu durumda toplamları \( 2 + 3 + 4 = 9 \) olur.

\( f(2) \), \( f(3) \) ve \( f(4) \) sırası önemsiz şekilde en büyük 5, 6 ve 7 değerlerini alabilir ve bu durumda toplamları \( 5 + 6 + 7 = 18 \) olur.

Bu toplam en küçük ve en büyük değerleri arasındaki diğer değerleri de alabilir. Buna göre verilen toplam \( 18 - 9 + 1 = 10 \) farklı değer alabilir.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 7:

\( A = \{ a, b, c \} \)

\( B = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \) olmak üzere,

\( A \)'dan \( B \)'ye görüntü kümesinde 2 elemanı bulunan birebir kaç fonksiyon yazılabilir?

Çözümü Göster

Bu soruyu iki yöntemle çözebiliriz.

1. yöntem:

İstenen fonksiyon sayısını tüm birebir fonksiyonların sayısından görüntü kümesinde 2 bulunmayan birebir fonksiyon sayısını çıkararak bulabiliriz.

\( s(A) = 3, \quad s(B) = 5 \)

Tüm birebir fonksiyonların sayısı \( = P(5, 3) = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 \)

Görüntü kümesinde 2 bulunmayan birebir fonksiyonların sayısını bulmak için değer kümesinin 2 elemanını içermediği durum için aynı formülü kullanabiliriz.

Görüntü kümesinde 2 bulunmayan birebir fonksiyonların sayısı: \( P(5 - 1, 3) = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24 \)

Buna göre görüntü kümesinde 2 elemanı bulunan birebir fonksiyon sayısı \( 60 - 24 = 36 \) olarak bulunur.

2. yöntem:

İlk önce tanım kümesindeki elemanlardan birini 2 elemanı ile eşleyelim. Bu eşlemeyi tanım kümesindeki her eleman için olmak üzere 3 farklı şekilde yapabiliriz.

Bu eşleme sonucunda tanım kümesinde 2, değer kümesinde 4 eleman kalır. Bu durumda yazılabilecek birebir fonksiyon sayısı: \( P(4, 2) = 4 \cdot 3 = 12 \)

Buna göre görüntü kümesinde 2 elemanı bulunan birebir fonksiyon sayısı \( 3 \cdot 12 = 36 \) olarak bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 8:

\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)

\( f(x) = ax^2 + bx + c \) fonksiyonu veriliyor.

\( f \) birebir olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğru olabilir?

(a) \( a \neq 0, b = 1, c = 1 \)

(b) \( a = 0, b = 0, c = 2 \)

(d) \( a = 0, b \neq 0, c \neq 0 \)

(e) \( a \neq 0, b \neq 0, c \neq 0 \)

Çözümü Göster

\( a \ne 0 \) olduğunda fonksiyon bir parabol olur. Paraboller tüm reel sayılarda birebir olmadıkları için \( a = 0 \) olmalıdır.

Geriye kalan \( bx + c \) ifadesi bir doğrudur. \( b = 0 \) olduğunda ifade sabit fonksiyon olur. Sabit fonksiyonlar birebir olmadıkları için \( b \ne 0 \) olmalıdır.

Buna göre seçeneklerden sadece (d) doğru olabilir.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 9:

\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)

\( f(x) = \begin{cases} x - 2 & x \le 1 \\ x & x \gt 1 \end{cases} \)

olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi ya da hangileri doğrudur?

I. \( f \) içine fonksiyondur.

II. \( f \) birebir fonksiyondur.

III. \( f \)'in görüntü kümesi \( \mathbb{R} \)'dir.

Çözümü Göster

Verilen parçalı fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibidir.

I. öncül: Değer kümesindeki \( (-1, 1] \) aralığı görüntü kümesinde bulunmadığı için fonksiyondur içinedir. Bu öncül doğrudur.

II. öncül: Yatay doğru testi yaptığımızda doğruların hiçbiri grafiği birden fazla noktada kesmediği için fonksiyon birebirdir. Bu öncül doğrudur.

III. öncül: Görüntü kümesi \( \mathbb{R} - (-1, 1] \) olduğu için bu öncül yanlıştır.

Buna göre I. ve II. öncüller doğrudur.

Soru sorun Soruda hata bildirin