Bütünler Açı Trigonometri

bütünler açı trigonometri

kaynağı değiştir]

Bütünler açıların sinüsleri eşittir. Kosinüs ve tanjantları, tanımlı olmadığı haller dışında, eşit büyüklükte ama ters işaretlidir.

Örnek olarak, $\sin(0)$ ile $\sin()$ eşittir ve değerleri sıfırdır.

$\sin(30)=\sin()=1\div 2$

Ayrıca bakınız[değiştir
Yönlü Açılar
Geometride kullanılan açılarda açının yönü gözardı edilerek sadece ölçüsü dikkate alınır. Trigonometride kullanılan açılarda ise açının büyüklüğüne ek olarak yönü de önemlidir. Yönüne göre ölçüsü pozitif ya da negatif olabilen bu tip açılar yönlü açı olarak adlandırılır.
Bir yönlü açı saat yönünün tersi yönde ise ölçüsü pozitif, saat yönünde ise ölçüsü negatiftir.
Açı Ölçü Birimleri
Belirli bir uzunluğu ölçmek için kilometre ve mil gibi farklı birimler kullanıldığı gibi, açıların ölçüleri için de farklı birimler kullanılır. Trigonometride en sık kullanılan iki açı ölçü birimi derece ve radyandır (bir diğer birim olan graddan burada bahsetmeyeceğiz).
Derece
Bir tam çember yayının eş parçaya bölünmesiyle elde edilen yaylardan her birini gören merkez açının ölçüsüne 1 derece denir ve $ 1° $ ile gösterilir. Dörtte bir, yarım ve tam çember yaylarını gören merkez açılar sırasıyla $ 90° $, $ ° $ ve $ ° $ olur.
Bir dereceden daha küçük açıları ifade etmek için dakika ve saniye birimleri kullanılır. Bir derecenin 60'ta birine dakika denir ve (') sembolü ile gösterilir. Bir dakikanın 60'ta birine saniye denir ve ('') sembolü ile gösterilir. Bir açının ölçüsü a derece b dakika ve c saniye ise bu açı a° b' c'' biçiminde gösterilir.
$ 1 \text{ derece} = 60 \text{ dakika} = \text{ saniye} $
$ 1° = 60' = '' $
$ 1 \text{ tam çember yayı} = ° $ $ = ( \cdot 60)' $ $ = ( \cdot 60 \cdot 60)'' $
ÖRNEK:
$ 45, $ derecenin dakika ve saniye cinsinden yazılışı:
$ 45,° = 45° + 0,° $
$ = 45° + 0,(60') $
$ = 45° + 37,5' $
$ = 45° + 37' + 0,5' $
$ = 45° + 37' + 0,5(60'') $
$ = 45° + 37' + 30'' $
$ 45,° = 45°\ 37'\ 30'' $
$ 32°\ 18'\ 45'' $ derecenin ondalık gösterimi:
$ = 32 + \dfrac{18}{60} + \dfrac{45}{} $
$ = 32 + 0,3 + 0, $
$ = 32,° $
BİLGİ:
Bir tam çemberin 'a bölündüğü derece sisteminin en yaygın kullanılan açı ölçü birimi olmasının bir sebebi 'ın çok bölenli bir sayı olmasıdır. 'ın 24 pozitif böleni vardır ve arası sayılardan 7 hariç tümü 'ın bir bölenidir, bu da kesirli sayılara girmeden bir tam çemberin farklı şekillerde bölünebilmesine imkan sağlar.
dışında akla gelebilecek bir diğer seçenek olan 'ün ise sadece 9 pozitif böleni vardır.
İki pozitif açının ölçüleri toplamı 90° ise bu açılara tümler açılar denir. İki pozitif açının ölçüleri toplamı ° ise bu açılara bütünler açılar denir.
Radyan
Bir çemberde yarıçap ($ r $) uzunluğundaki bir yayı gören merkez açının ölçüsüne 1 radyan denir. Dörtte bir çemberin yay uzunluğu $ \frac{\pi r}{2} $, yarım çemberin yay uzunluğu $ \pi r $, tam çemberin yay uzunluğu $ 2\pi r $ olduğu için, bu yayları gören merkez açılar sırasıyla $ \frac{\pi}{2} $, $ \pi $ ve $ 2\pi $ radyandır.
Yarıçap uzunluğunda yayı gören merkez açı $ = 1 \text{ radyan} $
Dörtte bir çemberi gören merkez açı $ = \frac{\pi}{2} \text{ radyan} = 90° $
Yarım çemberi gören merkez açı $ = \pi \text{ radyan} = ° $
Tam çemberi gören merkez açı $ = 2\pi \text{ radyan} = ° $
ÖRNEK:
1 radyanın yaklaşık derece karşılığı:
$ 2\pi\ \text{radyan} = ° $
$ 1\ \text{radyan} = x° $
$ x = \dfrac{°}{2\pi} $
$ \pi \approx 3,14 $
$ x \approx 57,29° $
Derece-Radyan Arası Dönüşümler
Bir tam çember yayını gören merkez açı derece cinsinden $ ° $ ve radyan cinsinden $ 2\pi $ olduğu için, iki birim arasındaki ilişki aşağıdaki şekilde kurulabilir.
$ ° = 2\pi $ radyan
$ 1° = \dfrac{\pi}{} $ radyan
$ 1 \text{ radyan} = \dfrac{°}{\pi} $
Buna göre derece cinsinden verilen bir açı ölçüsünü radyana çevirmek için açı $ \frac{\pi}{°} $ ile çarpılır.
$ R = D \cdot \dfrac{\pi}{°} $ radyan
ÖRNEK:
$ 60° = 60° \cdot \dfrac{\pi}{°} = \dfrac{\pi}{3} $ radyan
$ ° = ° \cdot \dfrac{\pi}{°} = \dfrac{3\pi}{4} $ radyan
$ ° = ° \cdot \dfrac{\pi}{°} = \dfrac{11\pi}{6} $ radyan
Radyan cinsinden verilen bir açı ölçüsünü dereceye çevirmek için açı $ \frac{°}{\pi} $ ile çarpılır. Alternatif olarak, açı ölçüsü $ \pi $ içeriyorsa $ \pi $ yerine $ ° $ yazılarak da açı ölçüsü radyandan dereceye çevrilebilir.
$ D = R \cdot \dfrac{°}{\pi} $
ÖRNEK:
$ \dfrac{5\pi}{6} \text{ radyan} = \dfrac{5 \cdot °}{6} = ° $
$ \dfrac{3\pi}{2} \text{ radyan} = \dfrac{3 \cdot °}{2} = ° $
$ \dfrac{5\pi}{4} \text{ radyan} = \dfrac{5 \cdot °}{4} = ° $
Esas Ölçü
Geometride açı ölçüleri 0° ile ° aralığı ile sınırlanmıştır, ancak yönlü açılar için böyle bir sınırlama yoktur. Örneğin bir tekerleğin ya da CD'nin pek çok tur dönüşü sırasında katettiği toplam açı ölçüsü °'den büyük olmaktadır. Açı ölçüleri reel sayılar kümesinde herhangi bir değer alabiliyor olsa da, her açının bir tam çember üzerinde karşılık geldiği tek bir açı vardır ve işlemler çoğu zaman bu açı üzerinden yapılır.
Aşağıdaki şekildeki dereceleri 40°, ° ve ° olan üç açının gerçek ölçüleri farklı olsa da, ° aralığında karşılık geldikleri açının ölçüsü aynıdır ve 40°'dir.
Bir açının içerdiği tam çember dönüşleri çıkarıldıktan sonra geriye kalan derece cinsinden $ [0°, °) $ ve radyan cinsinden $ [0, 2\pi) $ aralığındaki değere o açının esas ölçüsü denir. Bir açının gerçek ölçüsü negatif ise esas ölçü bu açıyı $ [0°, °) $ ya da $ [0, 2\pi) $ aralığına getirecek kadar tam çember dönüşü eklenerek elde edilir.
Derece Cinsinden Esas Ölçünün Bulunması
Bir açının derece birimindeki gerçek ve esas ölçüleri arasındaki ilişki aşağıda verilmiştir.
$ 0° \le \alpha \lt ° $ ve $ k\in\mathbb{Z} $ olmak üzere,
$ \beta = \alpha + ° \cdot k $ ise,
$ \alpha $ değeri $ \beta $ gerçek açı ölçüsünün derece cinsinden esas ölçüsüdür.
ÖRNEK:
Aşağıda gerçek ölçüleri verilen açıların tümünün esas ölçüsü $ ° $'dir.
$ \ldots = ° = ° = \textcolor{red}{°} $ $ = ° = \ldots $
$ ° = ° + ° \cdot 1 $
$ ° = ° + ° \cdot (-1) $
$ ° = ° + ° \cdot (-2) $
Ölçüsü derece biriminde verilmiş bir açının esas ölçüsünü bulmak için aşağıdaki yöntemler kullanılabilir.
Gerçek açı ölçüsü pozitif ise bu değer °'ye bölünür. Bölme işleminin kalanı açının esas ölçüsüdür.
ÖRNEK:
$ ° $'yi $ ° $'ye böldüğümüzde kalan $ ° $ olur.
Buna göre gerçek ölçüsü $ ° $ olan açının esas ölçüsü $ ° $ olur.
Gerçek açı ölçüsü negatif ise bu değeri pozitif yapan °'nin en küçük tam sayı katı açı ölçüsüne eklenir (°, °, °, ). Bu işlemin sonucu açının esas ölçüsüdür.
ÖRNEK:
$ ° $'yi pozitif yapacak 'ın en küçük katı $ 3 \cdot ° = ° $'dir.
Buna göre gerçek ölçüsü $ ° $ olan açının esas ölçüsü $ ° + ° = 80° $ olur.
Gerçek açı ölçüsünün negatif olduğu durumda kullanılabilecek bir diğer yöntemde, bu değerin mutlak değeri °'ye bölünür. Bölme işleminin kalanı °'den çıkarıldığında elde edilen değer açının esas ölçüsüdür.
ÖRNEK:
$ ° $'nin mutlak değeri olan $ ° $'yi $ ° $'ye böldüğümüzde kalan $ ° $ olur.
Buna göre gerçek ölçüsü $ ° $ olan açının esas ölçüsü $ ° - ° = 80° $ olur.
Radyan Cinsinden Esas Ölçünün Bulunması
Bir açının radyan birimindeki gerçek ve esas ölçüleri arasındaki ilişki aşağıda verilmiştir.
$ 0 \le \alpha \lt 2\pi $ ve $ k\in\mathbb{Z} $ olmak üzere,
$ \beta = \alpha + 2\pi \cdot k $ ise,
$ \alpha $ değeri $ \beta $ gerçek açı ölçüsünün radyan cinsinden esas ölçüsüdür.
ÖRNEK:
Aşağıda gerçek ölçüleri verilen açıların tümünün esas ölçüsü $ \frac{4\pi}{3} $ radyandır.
$ \ldots = -\dfrac{2\pi}{3} = \textcolor{red}{\dfrac{4\pi}{3}} = \dfrac{10\pi}{3} $ $ = \dfrac{16\pi}{3} = \ldots $
$ \dfrac{16\pi}{3} = \dfrac{4\pi}{3} + 2\pi \cdot 2 $
$ \dfrac{10\pi}{3} = \dfrac{4\pi}{3} + 2\pi \cdot 1 $
$ -\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{4\pi}{3} + 2\pi \cdot (-1) $
Ölçüsü radyan biriminde verilmiş bir açının esas ölçüsünü bulmak için aşağıdaki yöntemler kullanılabilir.
Gerçek açı ölçüsü pozitif ise bu değer içindeki $ 2\pi $'nin katı olan en büyük sayı çıkarılır ($ 2\pi, 4\pi, 6\pi, \ldots $). Bu işlemin kalanı açının esas ölçüsüdür. Eğer açı ölçüsü kesirli ise paydaki $ \pi $'nin katsayısı paydanın 2 katına bölünerek kalan bulunur ve bu kalan paydaki katsayının yerine yazılır.
ÖRNEK:
$ 23\pi $ içinde $ 2\pi $'nin en büyük katı $ 22\pi $'dir.
Buna göre gerçek ölçüsü $ 23\pi $ olan açının esas ölçüsü $ 23\pi - 22\pi = \pi $ olur.
$ \frac{23\pi}{3} $ ifadesinde paydaki $ \pi $'nin katsayısı olan $ 23 $'ü paydadaki $ 3 $'ün iki katı olan $ 6 $'ya böldüğümüzde kalan $ 5 $ olur.
Buna göre gerçek ölçüsü $ \frac{23\pi}{3} $ olan açının esas ölçüsü $ \frac{5\pi}{3} $ olur.
Gerçek açı ölçüsü negatif ise bu değeri pozitif yapan $ 2\pi $'nin en küçük tam sayı katı açı ölçüsüne eklenir ($ 2\pi, 4\pi, 6\pi, \ldots $). Bu işlemin sonucu açının esas ölçüsüdür.
ÖRNEK:
$ -\frac{7\pi}{2} $'yi pozitif yapacak $ 2\pi $'nin en küçük katı $ 2 \cdot 2\pi = 4\pi $'dir.
Buna göre gerçek ölçüsü $ -\frac{7\pi}{2} $ olan açının esas ölçüsü $ -\frac{7\pi}{2} + 4\pi = \frac{\pi}{2} $ olur.
SORU 1:
Ölçüleri derece cinsinden verilmiş aşağıdaki açıların esas ölçülerini bulunuz.
$ °, °, °, -1° $
Çözümü Göster
$ ° $: $ ° $'nin $ ° $'ye bölümünden kalan $ ° $'dir, dolayısıyla esas ölçü $ ° $ olur.
$ ° = 5 \cdot ° + ° $
$ ° $: $ ° $'nin mutlak değerinin $ ° $'ye bölümünden kalan $ ° $'dir. Bu açıyı $ ° $'den çıkarırsak esas ölçü olarak $ ° $ buluruz.
$ ° = -6 \cdot ° + ° $
$ ° $: Esas ölçü $ [0°, °) $ aralığındadır. $ ° $'nin $ ° $'ye bölümünden kalan $ 0° $'dir, dolayısıyla esas ölçü $ 0° $ olur.
$ ° = 1 \cdot ° + 0° $
$ -1° $: $ -1° $'nin mutlak değerinin $ ° $'ye bölümünden kalan $ 1° $'dir. Bu açıyı $ ° $'den çıkarırsak esas ölçü olarak $ ° $ buluruz.
$ -1° = -1 \cdot ° + ° $
Soru sorun   Soruda hata bildirin
SORU 2:
Ölçüleri radyan cinsinden verilmiş aşağıdaki açıların esas ölçülerini bulunuz.
$ \dfrac{21\pi}{4}, -\dfrac{15\pi}{2}, \dfrac{44 \pi}{3} $
Çözümü Göster
$ \frac{21\pi}{4} $: Paydaki katsayı olan 21'in paydanın iki katı olan 8'e bölümünden kalan 5 olduğu için esas ölçü $ \frac{5\pi}{4} $ olur.
$ \dfrac{21\pi}{4} = 2 \cdot 2\pi + \dfrac{5\pi}{4} $
$ -\frac{15\pi}{2} $: $ -\frac{15\pi}{2} $'yi pozitif yapacak şekilde ekleyebileceğimiz $ 2\pi $'nin katı en küçük sayı $ 8\pi $'dir, dolayısıyla bu açının esas ölçüsü $ \frac{\pi}{2} $ olur.
$ -\dfrac{15\pi}{2} = -4 \cdot 2\pi + \dfrac{\pi}{2} $
$ \frac{44\pi}{3} $: Paydaki katsayı olan 44'ün paydanın iki katı olan 6'ya bölümünden kalan 2 olduğu için esas ölçü $ \frac{2\pi}{3} $ olur.
$ \dfrac{44\pi}{3} = 7 \cdot 2\pi + \dfrac{2\pi}{3} $
Soru sorun   Soruda hata bildirin
SORU 3:
Ölçüsü $ °\ 18'\ 40'' $ olan açı, ölçüsü $ 57°\ 43'\ 45'' $ olan açıdan ne kadar büyüktür?
Çözümü Göster
Çıkarma işlemini saniyeden dakika ve derece değerlerine doğru yapalım.
$ °\ 18'\ 40'' $
$ 57°\ 43'\ 45'' $
40 saniyeden 45 saniye çıkmayacağı için 18 dakikadan 1 dakika yani 60 saniye alalım.
$ °\ 17'\ '' $
$ 57°\ 43'\ 45'' $
17 dakikadan 43 dakika çıkmayacağı için dereceden bir derece yani 60 dakika alalım.
$ 99°\ 77'\ '' $
$ 57°\ 43'\ 45'' $
Bu ifadeleri alt alta çıkardığımızda aşağıdaki sonuç bulunur.
$ 42°\ 34'\ 55'' $
Soru sorun   Soruda hata bildirin
SORU 4:
$ n $ kenarlı bir konveks çokgenin iki dış açı ölçüsü $ 25°\ 09'\ 39'' $ ve $ 14°\ 50'\ 21'' $ olarak veriliyor.
Geri kalan tüm dış açılar birbirine eşit ve 20° olduğuna göre, $ n $ kaçtır?
Çözümü Göster
$ 25°\ 09'\ 39'' $
$ 14°\ 50'\ 21'' $
Verilen bu iki dış açının ölçülerini toplayalım.
$ 40°\ 0'\ 0''$
Konveks bir çokgenin dış açılarının ölçüleri toplamı °'dir.
Buna göre çokgenin iki dış açısının toplamı 40°, diğer $ n - 2 $ dış açısının her biri 20°'dir.
$ 40 + (n - 2) \cdot 20 = $
$ 40 + 20n - 40 = $
$ n = 18 $ bulunur.
Soru sorun   Soruda hata bildirin
SORU 5:
Ali dairesel bir pistin bir turunu 10 dakikada koşmaktadır. Koşmaya başladıktan 61 dakika sonra mola veren Ali'nin koştuğu toplam açının esas ölçüsü kaç derecedir?
Çözümü Göster
Ali 10 dakikada ° koşuyor.
Ali'nin 61 dakikada koştuğu açıya $ x° $ diyelim.
$ x = \dfrac{ \cdot 61}{10} = 36 \cdot 61 $ derece
Ali'nin koştuğu bu açının esas ölçüsü, toplam açı ölçüsünün 'a bölümünden kalandır.
$ 36 \cdot 61 = 36 \cdot 60 + 36 $
Buna göre $ x = 36 \cdot 61 $ derecenin 'a bölümünden kalan 36'dır, dolayısıyla açının esas ölçüsü 36° olur.
Bir diğer ifadeyle, Ali dairesel pist etrafında 6 tam tur tamamladıktan sonra 36° daha koşmuştur.
Soru sorun   Soruda hata bildirin

Bütünler açı nedir, kaç derecedir? Bütünler açı konu anlatımı özeti
Geometri sınavlarında öğrencilerin karşısına bir soru çeşidi olarak sıklıkla çıkan bu konuyu, araştırmalar yapan öğrencilerin kolaylıkla yararlanmaları adına bütünler açı konu anlatımı formatına uygun hazırladığımız içeriğimizi sizler için hazırladık. İşte, bütünler açı hakkında tüm detaylar…
Bütünler Açı Nedir?
Açıları toplamı derece olan açılana geometride bütünler açı adı verilmektedir. Tümler açıdan farklı olarak yere paralel uzanan doğru üzerinde bulunan iki açının toplamının derece olması anlamına gelen bütünler açıya aşağıdaki örnekler verilebilir.
derece bir açı ile 40 derece bir açı bütünler açıdır.
derece bir açı ile 55 derece bir açı bütünler açıdır.
90 derece bir açı ile 90 derece bir açı bütünler açıdır.
Bu noktada komşu bütünler açının ne olduğundan bahsetmek de yerinde olacaktır. İki bütünler açı aynı zamanda birbirine komşu açılar ise, bir diğer ifade ile aynı noktadan çıkan bir doğrudan oluşuyor ise bu açılara komşu bütünler açı adı verilmektedir.
Aşağıda vermiş olduğumuz görselde bütünler açı örneğini görebilirsiniz:

Bölgeler Arası Dönüşümler
SORU 1:
$ \cos{20°} = x $ ise,
$ \sin{°} $'nin $ x $ cinsinden değeri nedir?
Çözümü Göster
$ ° $ II. bölgededir ve sinüs bu bölgede pozitiftir.
$ \sin{°} = \sin(° - 70°) $
$ = \sin{70°} $
Tümler açıların sinüs ve kosinüs değerleri birbirine eşittir.
$ = \cos{20°} $
$ = x $ bulunur.
Soru sorun   Soruda hata bildirin
SORU 2:
$ \cos{70°} = x $ ise,
$ \sin(°) $'nin $ x $ cinsinden değeri nedir?
Çözümü Göster
$ ° $'nin esas ölçüsü $ + = ° $ olur.
$ \sin(°) = \sin{°} $
$ ° $ III. bölgededir ve sinüs bu bölgede negatiftir.
$ = \sin( + 20°) = -\sin{20°} $
Tümler açıların sinüs ve kosinüs değerleri birbirine eşittir.
$ = -\cos{70°} $
$ = -x $ bulunur.
Soru sorun   Soruda hata bildirin
SORU 3:
$ \cos{°} = x $ ise,
$ \cos{°} + \sin{°} $ ifadesinin $ x $ cinsinden değeri nedir?
Çözümü Göster
$ ° $ II. bölgededir ve kosinüs bu bölgede negatiftir.
$ x = \cos{°} = \cos(° - 25°) $
$ = -\cos{25°} $
Buna göre $ \cos{25°} = -x $ olur.
$ ° $ III. bölgededir ve kosinüs bu bölgede negatiftir.
$ \cos{°} = \cos(° + 25°) $
$ = -\cos{25°} = -(-x) = x $
$ ° $'nin esas ölçüsü $ - = ° $ olur.
$ \sin{°} = \sin{°} $
$ ° $ IV. bölgededir ve sinüs bu bölgede negatiftir.
$ \sin{°} = \sin(° + 25°) $
$ = -\cos{25°} = -(-x) = x $
Soruda istenen ifadeyi $ x $ cinsinden yazalım.
$ \cos{°} + \sin{°} = x + x $
$ = 2x $ bulunur.
Soru sorun   Soruda hata bildirin
SORU 4:
$ x + y = \dfrac{\pi}{2} $ olduğuna göre,
$ \tan(3x + 4y) $ ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü Göster
$ \tan(3x + 4y) = \tan(3(x + y) + y) $
$ = \tan(\frac{3\pi}{2} + y) $
Tanjant IV. bölgede negatiftir.
$ = -\cot{y} $
Soru sorun   Soruda hata bildirin
SORU 5:
Bir $ \overset{\triangle}{ABC} $ üçgeninin köşelerine ait açıların ölçüleri $ a $, $ b $ ve $ c $'dir.
$ \cos(a + c) + \cos{b} $ ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü Göster
Üçgenin iç açıları toplamı °'dir.
$ a + b + c = ° $
$ a + c = ° - b $
Ölçüleri eşit açıların kosinüsleri de eşittir.
$ \cos(a + c) = \cos(° - b) $
Kosinüs II. bölgede negatiftir.
$ \cos(a + c) = -\cos{b} $
Sorudaki ifadenin değerini bulalım.
$ \cos(a + c) + \cos{b} = -\cos{b} + \cos{b} = 0 $ bulunur.
Soru sorun   Soruda hata bildirin
SORU 6:
$ 0 \lt x \lt 2 \pi $ olmak üzere,
$ \dfrac{\cos(\frac{3\pi}{2} + x)}{\cot(x - \frac{\pi}{2})} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} $ olduğuna göre,
$ x $'in alabileceği değerler nelerdir?
Çözümü Göster
$ \cot(x - \frac{\pi}{2}) = \cot(x - \frac{\pi}{2} + 2\pi) $
$ = \cot(\frac{3\pi}{2} + x) $
$ \dfrac{\cos(\frac{3\pi}{2} + x)}{\cot(\frac{3\pi}{2} + x)} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} $
Kosinüs IV. bölgede pozitif, kotanjant IV. bölgede negatiftir.
$ \dfrac{\sin{x}}{-\tan{x}} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} $
$ \dfrac{\sin{x}}{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $
$ \cos{x} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $
Kosinüs I. ve IV. bölgelerde pozitiftir.
$ x \in \{\frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}\} $
Soru sorun   Soruda hata bildirin
SORU 7:
$ 2x - 3y = \pi $ olmak üzere,
$ \dfrac{\sin(2x - 4y)}{\cos(4x - 5y)} $
ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü Göster
Sinüs ve kosinüs ifadelerinin içine $ y $ ekleyip çıkararak parantez içinde $ 2x - 3y $ elde etmeye çalışalım.
$ \dfrac{\sin(2x - 4y + y - y)}{\cos(4x - 5y + y - y)} $
$ = \dfrac{\sin(2x - 3y - y)}{\cos(4x - 6y + y)} $
$ = \dfrac{\sin(2x - 3y - y)}{\cos[2(2x - 3y) + y]} $
$ 2x - 3y = \pi $ yazalım.
$ = \dfrac{\sin(\pi - y)}{\cos(2\pi + y)} $
Sinüs II. bölgede pozitiftir.
$ = \dfrac{\sin{y}}{\cos{y}} = \tan{y} $ bulunur.
Soru sorun   Soruda hata bildirin
SORU 8:
$ \dfrac{\sin(9\pi + x)}{\cos(\frac{43\pi}{2} + x)} + \dfrac{\tan(20\pi - x)}{\cot(x - \frac{39\pi}{2})} $
işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Trigonometrik ifadelerin içindeki değerlerin esas ölçülerini yazalım.
$ \dfrac{\sin(\pi + x)}{\cos(\frac{3\pi}{2} + x)} + \dfrac{\tan(2\pi - x)}{\cot(x + \frac{\pi}{2})} $
Bölgeler arası dönüşüm formüllerini kullanalım.
$ = \dfrac{-\sin{x}}{\sin{x}} + \dfrac{-\tan{x}}{-\tan{x}} $
$ = -1 + 1 = 0 $ bulunur.
Soru sorun   Soruda hata bildirin
SORU 9:
$ 0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{2} $ olmak üzere,
$ \tan(\frac{3\pi}{2} - x) = \dfrac{3}{4} $ eşitliği verildiğine göre,
$ \csc(\frac{\pi}{2} + x) \cdot \cot(\pi - x) $ ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü Göster
Tanjant III. bölgede pozitiftir.
$ \tan(\frac{3 \pi}{2} - x) = \cot{x} = \dfrac{3}{4} $
$ x $ açısının kotanjantı $ \frac{3}{4} $ ise komşu kenara $ 3k $, karşı kenara $ 4k $ diyebiliriz, bu durumda hipotenüs Pisagor teoreminden $ 5k $ olur.
$ \sin{x} = \dfrac{4}{5} $
$ \cos{x} = \dfrac{3}{5} $
Sorulan ifadenin değerini bulalım.
$ \csc(\frac{\pi}{2} + x) \cdot \cot(\pi - x) $
Kotanjant II. bölgede negatiftir.
$ = \dfrac{1}{\sin(\frac{\pi}{2} + x)} \cdot (-\cot{x}) $
Sinüs II. bölgede pozitiftir.
$ = \dfrac{1}{\cos{x}} \cdot (-\cot{x}) $
$ = \dfrac{1}{\frac{3}{5}} \cdot (-\dfrac{3}{4}) = -\dfrac{5}{4} $ bulunur.
Soru sorun   Soruda hata bildirin
SORU
$ a $, $ b $, $ c $ bir üçgenin iç açılarının ölçüleri olmak üzere,
$ \sin^2(90° + \frac{a}{2}) + \cos^2(\frac{b + c}{2}) $
ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözümü Göster
Üçgenin iç açıları toplamı °'dir.
$ a + b + c = ° $
$ \dfrac{a}{2} + \dfrac{b}{2} + \dfrac{c}{2} = 90° $
$ \dfrac{b + c}{2} = 90° - \dfrac{a}{2} $
Sorudaki ifadedeki terimleri sadeleştirelim.
Sinüs II. bölgede pozitiftir.
$ \sin(90° + \frac{a}{2}) = \cos{\frac{a}{2}} $
Tümler açıların sinüs ve kosinüs değerleri birbirine eşittir.
$ \cos(\frac{b + c}{2}) = \cos(90° - \frac{a}{2}) = \sin{\frac{a}{2}} $
Bulduğumuz değerleri soruda verilen ifadede yerine koyalım.
$ \sin^2(90° + \frac{a}{2}) + \cos^2(\frac{b + c}{2}) $
$ = \cos^2{\frac{a}{2}} + \sin^2{\frac{a}{2}} $
Sinüs ve kosinüs kare toplamı özdeşliğinden sonuç 1 olur.
$ = 1 $
Soru sorun   Soruda hata bildirin
SORU
$ \dfrac{\pi}{2} \lt x \lt \pi $ olmak üzere,
$ \sqrt{5} + 2\sec{x} = 0 $ olduğuna göre,
$ \dfrac{\sin{x} - \cos{x}}{\cot{x}} $ ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
$ \sqrt{5} + 2\sec{x} = 0 $
$ \sec{x} = -\dfrac{\sqrt{5}}{2} $
$ \cos{x} = \dfrac{1}{\sec{x}} = -\dfrac{2}{\sqrt{5}} $
$ x $ açısının sinüs değerini bulalım.
$ \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 $
$ \sin^2{x} + (-\dfrac{2}{\sqrt{5}})^2 = 1 $
$ \sin^2{x} = \dfrac{1}{5} $
$ x $ açısı II. bölgede bulunduğu için sinüs değeri pozitiftir.
$ \sin{x} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} $
$ x $ açısının kotanjant değerini bulalım.
$ \cot{x} = \dfrac{\cos{x}}{\sin{x}} $
$ = \dfrac{-\frac{2}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{\sqrt{5}}} = -2 $
Sorudaki ifadenin değerini bulalım.
$ \dfrac{\sin{x} - \cos{x}}{\cot{x}} $ $ = \dfrac{\frac{1}{\sqrt{5}} - (-\frac{2}{\sqrt{5}})}{-2} $
$ = \dfrac{\frac{3}{\sqrt{5}}}{-2} = -\dfrac{3}{2\sqrt{5}} $
Paydayı rasyonel hale getirelim.
$ = -\dfrac{3\sqrt{5}}{10} $ bulunur.
Soru sorun   Soruda hata bildirin
SORU
$ \cos{\alpha} - \sin{\alpha} = 2\sqrt{3}\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) $
olduğuna göre, $ \tan{\alpha} $ kaçtır?
Çözümü Göster
Sinüs III. bölgede negatiftir.
$ \cos{\alpha} - \sin{\alpha} = -2\sqrt{3}\cos{\alpha} $
Tüm terimleri $ \cos{\alpha} $'ya bölelim.
$ 1 - \dfrac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} = -2\sqrt{3} $
$ 1 - \tan{\alpha} = -2\sqrt{3} $
$ \tan{\alpha} = 1 + 2\sqrt{3} $ olarak bulunur.
Soru sorun   Soruda hata bildirin
SORU
$ \pi \lt \alpha \lt 2\pi $ olmak üzere,
$ 1 - \sqrt{5}\cos{\alpha} = 0 $ olduğuna göre,
$ (\sqrt{5}\csc{\alpha})^{-\tan{\alpha}} - \cot{\alpha} $ ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
$ 1 - \sqrt{5}\cos{\alpha} = 0 $
$ \cos{\alpha} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} $
Kosinüs I. ve IV. bölgelerde pozitiftir. $ \pi \lt \alpha \lt 2\pi $ olduğuna göre $ \alpha $ açısı IV. bölgededir.
İstenen trigonometrik değerleri bulmak için bir dik üçgen çizelim.
$ \alpha $ açısının komşu kenarına $ k $, hipotenüse $ \sqrt{5}k $ dersek Pisagor teoremi ile karşı kenar $ 2k $ olarak bulunur.
Sinüs, kosekant, tanjant ve kotanjant IV. bölgede negatiftir.
$ \csc{\alpha} = -\dfrac{\sqrt{5}}{2} $
$ \tan{\alpha} = -2 $
$ \cot{\alpha} = -\dfrac{1}{2} $
Bu değerleri ifadede yerine koyalım.
$ (\sqrt{5}\csc{\alpha})^{-\tan{\alpha}} - \cot{\alpha} $
$ = (\sqrt{5} \cdot (-\dfrac{\sqrt{5}}{2}))^{-(-2)} - (-\dfrac{1}{2}) $
$ = \dfrac{25}{4} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{27}{4} $ olarak bulunur.
Soru sorun   Soruda hata bildirin
SORU
$ x $ bir dar açıdır.
$ 5\sin^2{x} + 2\cos^2{x} = \dfrac{11}{3} $ olduğuna göre,
$ \cot{x} + \tan{x} $ toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
İfadede tek bir trigonometrik fonksiyon bırakmak için $ 5\sin^2{x} $ yerine $ 3\sin^2{x} + 2\sin^2{x} $ yazalım.
$ 3\sin^2{x} + 2\sin^2{x} + 2\cos^2{x} = \dfrac{11}{3} $
$ 3\sin^2{x} + 2(\sin^2{x} + \cos^2{x}) = \dfrac{11}{3} $
$ 3\sin^2{x} + 2 = \dfrac{11}{3} $
$ 3\sin^2{x} = \dfrac{5}{3} $
$ \sin^2{x} = \dfrac{5}{9} $
$ \sin{x} \in \{-\frac{\sqrt{5}}{3}, \frac{\sqrt{5}}{3}\} $
$ x $ dar açı olduğu için sinüs değeri pozitiftir.
$ \sin{x} = \dfrac{\sqrt{5}}{3} $
$ x $ açısının tanjant ve kotanjant değerlerini bulmak için bir dik üçgen çizelim.
$ x $ açısının komşu kenarı Pisagor teoremi ile $ 2k $ olarak bulunur.
$ (\sqrt{5}k)^2 + (2k)^2 = (3k)^2 $
$ \tan{x} = \dfrac{\sqrt{5}}{2} $
$ \cot{x} = \dfrac{2}{\sqrt{5}} $
Bulduğumuz değerleri istenen ifadede yerlerine koyalım.
$ \cot{x} + \tan{x} = \dfrac{2}{\sqrt{5}} + \dfrac{\sqrt{5}}{2} $
$ = \dfrac{4 + 5}{2\sqrt{5}} = \dfrac{9}{2\sqrt{5}} $
$ = \dfrac{9\sqrt{5}}{10} $ bulunur.
Soru sorun   Soruda hata bildirin
SORU
$ ABCD $ bir karedir.
$ \abs{AE} = 3\abs{EB} $
$ m(\widehat{BED}) = x $
olduğuna göre, $ \sin{x} $ kaçtır?
Çözümü Göster
$ \abs{EB} = a $ diyelim
$ \abs{AE} = 3\abs{EB} = 3a $ olur.
$ \abs{AD} = \abs{AB} = a + 3a = 4a $
Pisagor teoremi ile $ \abs{DE} $ uzunluğunu bulalım.
$ \abs{DE} = \sqrt{(4a)^2 + (3a)^2} $
$ = 5a $
$ m(\widehat{AED}) = y $
II. bölgede sinüs pozitif olduğu için bütünler açılar olan $ x $ ve $ y $'nin sinüs değerleri eşittir.
$ \sin{x} = \sin(° - y) = \sin{y} $
$ = \dfrac{4a}{5a} = \dfrac{4}{5} $
Soru sorun   Soruda hata bildirin
SORU
$ ABCD $ bir kare ve $ [BD] $ karenin bir köşegenidir.
$ \abs{DE} = 20, \abs{EB} = 4 $
$ m(\widehat{BEC}) = x $ olduğuna göre, $ \cot{x} $ kaçtır?
Çözümü Göster
$ C $ noktasından $ [BD] $ köşegenine bir dik indirelim. Bir karede köşegenler birbirini dik kestiği için bu dik doğrunun uzantısı aynı zamanda karenin $ [AC] $ köşegenidir.
Bir karede köşegenler birbirini ortalar.
$ \abs{DF} = \dfrac{20 + 4}{2} = 12 $
$ \abs{FE} = 20 - 12 = 8 $
$ m(\widehat{BDC}) = 45° $ olduğu için oluşan dik üçgen ikizkenar üçgendir.
$ \abs{FC} = 12 $
$ m(\widehat{FEC}) = a $ diyelim.
$ a = ° - x $
Kotanjant dönüşüm formülünü kullanalım.
$ \cot{x} = \cot(° - a) = -\cot{a} $
$ = -\dfrac{8}{12} = -\dfrac{2}{3} $ bulunur.
Soru sorun   Soruda hata bildirin
nest...
273352 273353 273354 273355 273356