Her bir noktada fonksiyonun türevi, eğriyeteğet olan doğrunun eğimini verir. Doğru her zaman mavi eğriye teğettir ve eğimi onun türevine eşittir. Doğrunun yeşil olduğu noktalarda türev pozitif, kırmızı olduğunda negatif, siyah olduğunda ise sıfırdır.
Eğim kavramı diferansiyel kalkülüste çok kullanılmaktadır. Doğrusal olmayan fonksiyonlarda, değişim oranı eğri boyunca değişir. Bir noktada fonksiyonun türevi, o noktada eğriye teğet olan doğrunun eğimini (o noktadaki değişim oranını) verir.
Δx ve Δy eğri üzerindeki iki noktanın uzaklıklarıysa, yukarıdaki tanıma uygun olarak,
,
formülü eğriyi kesen bir doğrunun eğimini verir. Diğer eğrilerden farklı olarak, doğru üzerindeki herhangi iki noktadan geçen bir kesen doğrunun kendisidir. Örneğin, y = x2 eğrisini (0,0) ve (3,9) noktalarında kesen doğrunun eğimi 3'tür. (x = 3⁄2'daki teğetin eğimi de 3'tür-ortalama değer teoreminin bir tesadüfü.)
İki nokta Δy ve Δx küçülecek şekilde birbirine yakınlaştırıldığına, kesen, gittikçe teğet doğrusuna yaklaşır. Dolayısıyla kesenin eğimi de teğetin eğimine yaklaşır. Diferansiyel kalkülüs kullanılarak, limiti bulunabilir ya da Δy ve Δx sıfıra yaklaşırken Δy/Δx`in değeri hesaplanabilir. Eğer y, x`e bağlıysa, sadece Δxin sıfıra yaklaşırken limiti almak yeterlidir. Teğet doğrusunun eğimi, Δx sıfıra yaklaşırken Δy/Δx`in limitine eşittir. Bu limit türev olarak adlandırılır.
Ayrıca bakınız[değiştir
Doğrunun Eğimi
Eğimin Tanımı
Eğim bir doğrunun ne kadar dik olduğunu ve dikliğinin yönünü ifade eder. Bir doğrunun eğimi genellikle \( m \) ile gösterilir.
Bir doğrunun eğimi doğru üzerinde bulunan iki nokta arasındaki dikey değişimin yatay değişime oranıdır. Bir doğrunun eğim açısı doğrunun \( x \) ekseni ile pozitif yönde yaptığı açıdır. Aşağıdaki şekilde bir doğru üzerindeki iki noktanın oluşturduğu \( ABC \) dik üçgenini incelediğimizde, doğrunun eğiminin aynı zamanda eğim açısının tanjant değerine eşit olduğunu görebiliriz.
Bu değer aynı zamanda grafikte işaretli \( \alpha \) açısının tanjant değerine eşittir.
\( \tan{\alpha} = 2 \)
Eğim hesaplarken hangi noktanın koordinatlarından hangi noktanın koordinatlarını çıkardığımız önemli değildir, önemli olan noktaların koordinatlarını pay ve paydada aynı sırada birbirinden çıkarmamızdır.
Eğim değeri \( x \) değişkenindeki her birim artış için \( y \) değişkenindeki artış ya da azalış miktarını verir ve \( y \) değişkeninin hangi hızda arttığını ya da azaldığını gösterir. Yukarıdaki örnekte \( A \) ve \( B \) noktaları arasında \( x \) 4 birim artarken \( y \) 8 birim artmıştır, yani \( x \)'in her birim artışı için \( y \) 2 birim artmıştır, bu da hesapladığımız eğim değerine eşittir.
Aşağıda farklı doğruların \( x \) değerlerindeki belirli miktar artış için \( y \) değerlerindeki artış/azalış miktarları ve bu doğrultuda oluşan eğim değerleri gösterilmiştir.
Doğrunun açık denkleminde \( x \)'in katsayısı aynı zamanda doğrunun eğimini verir. Bu da \( x \) değerindeki her 1 birimlik artış için \( y \) değerinin \( m \) birim artması ya da azalması anlamına gelir.
\( y = \textcolor{red}{m}x + c \)
Doğrunun kapalı denkleminde eğimi aşağıdaki formülle bulabiliriz.
\( ax + by + c = 0 \)
\( m = -\dfrac{a}{b} \)
ÖRNEK:
\( 3x - 4y + 2 = 0 \) doğrusunun eğimi:
\( a = 3, \quad b = -4 \)
\( m = -\dfrac{3}{-4} = \dfrac{3}{4} \)
SORU 1:
\( A(-2, 4) \) ve \( B(a, 2) \) noktalarından geçen doğrunun eğimi \( \frac{2}{7} \) ise \( a \) kaçtır?
Çözümü Göster
Eğim formülü ile iki noktadan geçen doğrunun eğimini hesaplayalım.
Bir doğrunun eğim açısı doğrunun \( x \) ekseni ile pozitif yönde yaptığı açıdır ve doğrunun eğimi bu eğim açısının tanjant değerine eşittir. Aşağıdaki grafikte bazı doğruların eğim açıları verilmiştir.
Bu doğruların eğim açıları doğrultusunda eğim değerleri aşağıdaki gibi olur.
\( d_1 \) doğrusunun eğim açısı \( 45° \)'dir.
\( m_1 = \tan{45°} = 1 \)
\( d_2 \) doğrusunun eğim açısı \( ° \)'dir.
\( m_2 = \tan{°} = -1 \)
\( d_3 \) doğrusunun eğim açısı \( 0° \)'dır.
\( m_3 = \tan{0°} = 0 \)
\( d_4 \) doğrusunun eğim açısı \( 90° \)'dir.
\( m_4 = \tan{90°} \Longrightarrow \) Tanımsız
Görebileceğimiz gibi, \( y \) eksenine göre sağa yatık (eğim açısı dar açı) olan doğruların eğimi pozitif, sola yatık (eğim açısı geniş açı) olan doğruların eğimi negatiftir.
Eğim açısı \( [0°, °) \) aralığında değer alabilir. Eğimin alabileceği değerler ise tanjant fonksiyonu ile aynı şekilde tüm reel sayılardır.
\( 0° \le \alpha \lt ° \)
\( -\infty \lt m \lt +\infty \)
Farklı eğim açı aralıkları için eğim değer aralıkları aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
\( \tan{90°} \) tanımsız olduğu için \( \alpha = 90° \) için eğim tanımsızdır. Bu aynı zamanda eğim açısının \( 90° \) olduğu dikey doğrular için \( x \) değişkenindeki birim artış için \( y \) değişkenindeki değişimin tanımsız olduğuna işaret eder.
SORU 2:
\( A(3, 6) \) ve \( B(-4, -1) \) noktalarından geçen doğrunun eğim açısının ölçüsü kaç derecedir?
Çözümü Göster
Eğim formülü ile iki noktadan geçen doğrunun eğimini hesaplayalım.
\( [0°, °) \) aralığında tanjant değeri \( 1 \) olan açı \( 45° \)'dir.
\( \alpha = 45° \)
\( \sqrt{3}x + y + 2 = 0 \) doğrusunun açık denklemini yazalım.
\( y = -\sqrt{3}x - 2 \)
\( m_2 = -\sqrt{3} \)
\( [0°, °) \) aralığında tanjant değeri \( -\sqrt{3} \) olan açı \( ° \)'dir.
\( \beta = ° \)
Doğruların eğim açılarının toplamını bulalım.
\( \alpha + \beta = 45° + ° = ° \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 5:
Analitik düzlemde \( d \) doğrusu \( y \) ekseniyle şekildeki gibi \( 60° \)'lik açı yaptığına göre, \( d \) doğrusunun eğimi kaçtır?
Çözümü Göster
Bir doğrunun eğimi o doğrunun \( x \) ekseni ile yaptığı pozitif yönlü açının tanjant değerine eşittir.
Aşağıdaki şekle göre \( d \) doğrusunun \( x \) ekseni ile yaptığı pozitif yönlü açı \( ° \) olur.
\( m = \tan{°} = -\tan{30°} \)
\( = -\dfrac{\sqrt{3}}{3} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 6:
\( (2a - 12)x + (a + 5)y + 12 = 0 \) doğrusu \( x \) eksenine paralel olduğuna göre, \( y \) eksenini hangi noktada keser?
Çözümü Göster
\( x \) eksenine paralel olan bir doğrunun eğimi sıfır olur.
Denklemi verilen doğrunun eğimini bulalım.
\( m = -\dfrac{2a - 12}{a + 5} \)
Eğimi sıfır yapan \( a \) değerini bulalım.
\( 2a - 12 = 0 \)
\( a = 6 \)
Doğrunun denklemini yazalım.
\( (2(6) - 12)x + (6 + 5)y + 12 = 0 \)
\( 11y + 12 = 0 \)
\( y = -\dfrac{12}{11} \)
Bu doğru \( y \) eksenini \( (0, -\frac{12}{11}) \) noktasında keser.
Soru sorun Soruda hata bildirin
Eğim ve Değişim Oranı
Eğimin bir tanımı da iki nokta arasındaki dikey değişimin yatay değişime oranı, bir diğer ifadeyle \( y \) değişkenindeki değişim oranıdır. Aşağıdaki bunu yorumlayabileceğimiz iki örnek verilmiştir.
Aşağıdaki grafikte bir ağacın yıllara göre boy grafiği ve denklemi verilmiştir. Buna göre ağacın \( t = 0 \) anındaki boyu 1 metredir ve doğrunun eğimi \( m = 0,5 \) olduğu için ağacın boyu her yıl \( 0,5 \) metre uzamaktadır.
Ağacın yıl sonundaki boyunu hesaplamak istiyor olalım. Ağacın boyu her yıl 0,5 metre uzadığına göre 10 yıl boyunca \( 0,5 \cdot 10 = 5 \) metre uzar. Ağacın ilk boyu 1 metre olduğu için bu süre sonunda ağacın boyu 6 metre olur. Denklemde \( t = 10 \) değerini yerine koyduğumuzda da aynı sonucu elde ederiz.
Aşağıdaki grafikte ise sabit hızla giden bir aracın yol - zaman grafiği verilmiştir. Buna göre araç \( t = 0 \) anında başlangıç noktasındadır ve doğrunun eğimi \( m = \) olduğu için araç her saat \( \) km yol almaktadır.
Bu eğim değerine göre araç \( t = 3 \) anında toplam \( \cdot 3 = \) km, \( t = 5 \) anında da toplam \( \cdot 5 = \) km yol almış olur.
Özetle bir doğrunun eğimi \( x \) ekseninin temsil ettiği değişkendeki bir birimlik artış için \( y \) ekseninin temsil ettiği değişkenin kaç birim arttığını ya da azaldığını verir.
Analitik Düzlemde Doğrunun Denklemi
Doğru Denklemi Yazma
Doğru denklemi çeşitli yöntemlerle yazılabilir. Soru çözümlerinde aşağıdaki yöntemlerden birisi seçilerek doğru denklemi yazılabilir.
Eğimi ve Bir Noktası Verilen Doğrunun Denklemi
Eğimini bildiğimiz bir doğrunun şeklini tahmin edebiliriz fakat analitik düzlemin neresinde yer aldığını bilemeyiz. Bize bu doğrunun geçtiği bir nokta verilirse o noktadan ve geçen ve belli eğimde sadece bir doğru olacağından bu doğrunun tam olarak nereden ve nasıl geçtiğini bulabiliriz. Kısacası, eğimi ve üzerindeki bir noktanın koordinatı bilinen doğruyu tam olarak çizebiliriz.
Bir d doğrusu A(x1,y1) noktasından m eğimiyle geçiyor olsun. Bu d doğrusu üzerine bir B(x,y) noktası olduğunu düşünelim. Bu doğrunun eğimini A ve B noktasını kullanarak bulabiliriz.
Aslında bir doğrunun denklemini bulurken her seferinde bunu uygulamamıza gerek yoktur. Kısa yoldan doğrunun bildiğimiz noktasının değerlerini x ve y’den çıkartıp eşitliğin iki tarafına yazarız ve x’in olduğu tarafı eğimle çarparak doğrunun denklemini elde edebiliriz. Daha sonra y’nin yanındaki değeri karşıya atarak y’yi yalnız bırakabiliriz.
şeklinde bir denklem elde ederiz.
Örnek: Eğimi m=3 olan ve A(3,-4) noktasından geçen doğrunun denklemini bulalım.
A noktasının değerlerini x ve y’den çıkartalım ve x’li tarafı eğimle çarparak eşitliği yazalım.
İki Noktası Verilen Doğrunun Denklemi
İki noktası verilen doğrunun denklemini üçüncü bir (x,y) noktası düşünerek iki farklı şekilde eğim hesabı yaparak eşitlik yazarız ve bir denklem elde edebiliriz.
Bir d doğrusu A(x1,y1) ve B(x2,y2) noktalarından geçiyor olsun. Bu doğrunun denklemini yazarken C(x,y) noktasından geçtiğini düşünerek hem A ve B arasında eğim hesaplayarak hem de bu iki noktadan birinin C ile olan eğimini hesaplayarak aynı doğru üzerinde oldukları için bu iki eğimin eşit olduğunu biliriz.
İkinci bir yol olarak verilen iki noktadan eğimi hesaplayabilir ve bu eğimle iki noktadan birini kullanarak eğimi ve bir noktası verilen doğrunun denklemini yazabiliriz.
Bir doğrunun bilinen iki noktası A(a,0) ve B(0,b) gibi eksenleri kesen noktalarsa direkt x’i x eksenini kesen değere, y’yi y eksenin kesen değere bölüp topladığımızda her zaman 1’e eşit olur.
Örnek: Analitik düzlemde A(3,7) ve B(9,4) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulalım.
I. Yol
Bu doğru üzerinde bilinen iki noktanın yanında bir C(x,y) noktası düşünelim. Hem A ve B arasında hem de bu iki noktadan birinin(A’yı seçelim) C noktasıyla eğim hesabı yaparak eşitliği kuralım.
Bu noktada doğrunun eğimi ve A noktası kullanılarak bulunan denklemi elde ettik. Devamında
Denklemini elde ederiz.
II. Yol
A ve B noktalarını kullanarak doğrunun eğimini buluruz.
Şimdi A ve B noktasından birini(B’yi seçelim) ve eğimi kullanarak doğrunun denklemini bulalım.
Denklemini buluruz.
Eksenlere Paralel Doğruların Denklemi
Eksenlere paralel doğrular hep aynı x veya y değerlerine sahip oldukları için x=a ve y=b gibi denklemleri olur.
Görseldeki d doğrusu için konuşursak x değeri ne olursa olsun y değeri her zaman b olacaktır. Bu nedenle y=b şeklinde denklem yazılır ve x ile ilgili bir şey yazmaz. Yani y değerinin b olduğunu kabul ettikten sonra x değerlerinin herhangi bir değer alabileceğini söylüyor.
Aynı şekilde k doğrusu için de tek bir x değeri olduğu ve yanına herhangi bir y değeri gelebileceğini biliriz. Bu nedenle k doğrusunun denklemi x=a olur.
Bir doğru x eksenine paralelse y eksenini bir noktada keser ve hep aynı y değerine sahip olacağı için y=b gibi bir denkleme sahip olur. y eksenine paralel bir doğru için de x=a denklemini yazarız. Yani doğrunun paralel olduğu eksenle denklemini yazdığımız eksen arasında bir ters ilişki vardır.
Örnek: Analitik düzlemde y eksenine paralel bir d doğrusu A(3k+7,8) ve B(k,) noktalarından geçtiğine göre k değerini bulalım.
d doğrusu y eksenine paralel olduğuna göre geçtiği noktalarda x değeri hep aynı olacaktır. Bu nedenle A ve B noktalarının x değerleri birbirine eşittir.
Orijinden Geçen Doğruların Denklemi
Orijinden geçen doğrular için eğimini ve bir noktasını bildiğimiz doğrular gibi denklemini buluruz. Eğimi m olarak verilen bir doğrunun orijinden geçtiğini biliyorsak, bu doğru üzerinde bir A(x,y) noktası olduğunu düşünerek eğim hesabı yapabiliriz.
Sonuç olarak eğimi ve orijinden geçtiği bilinen bir doğrunun denklemini yazarken eğimi x ile çarpıp y’ye eşitlememiz yeterlidir.
Örnek: Analitik düzlemde orijinden geçen ve x ekseniyle pozitif yönde yaptığı açı ° olan doğrunun denklemini yazalım.
Doğrunun ilk olarak eğimini bulmak için yaptığı açının tanjantını alırız.
Artık eğimini ve orijinden geçtiğini bildiğimiz doğrunun denklemini yazabiliriz.
Denklemi Bilinen Doğruların Eğimi
Doğruların denklemlerini istediğimiz şekilde yazabiliriz fakat belli yazım kalıpları mevcuttur. Örnek olarak şeklinde yazdığımız denkleme doğrunun kapalı denklemi denir. Diğer bir şekli ise y’yi denklemin bir tarafında yalnız ve kat sayısı 1 olacak şekilde bıraktığımız denklemlerdir. şeklinde yazdığımız denklemlere doğrunun açık denklemi denir.
Doğrunun açık denkleminde her zaman x’in kat sayısı bize doğrunun eğimini verir. Burada dikkat edilmesi gereken unsur y denklemin bir tarafında yalnız ve kat sayısı 1 olacak. y’nin 1’den başka kat sayısı olduğu an eğim değişir.
Örnek: 3y-8x+16=0 denklemine sahip doğrunun eğimini bulalım.
Bu kapalı denklemi düzenleyip açık denklem haline getirdiğimizde x’in katsayısı bize eğimi verecektir. Bu denklemi açık denklem haline getirmek için y’yi yalnız bırakırız.
Doğrunun açık denkleminde y yalnız ve x’in kat sayısı olduğuna göre doğrunun eğimi de olacaktır.
İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları
İki doğrunun birine göre 3 farklı durumda bulunabilir. Bunlar çakışık, paralel ve bir noktada kesişendir. Şimdi bu durumları aşağıdaki iki doğru denklemine göre tek tek inceleyelim.
Çakışık Denklemler
Doğru denklemlerinin bütün katsayıları arasındaki orantı eşit olan denklemler çakışık denklemlerdir.
Katsayıları arasında belli orantıya sahip denklemler aynı eğime sahip olur ve aynı noktalardan geçer. Böylece üst üste denk gelme durumu olur ve bu duruma denklemlerin çakışık olması denir. Bu doğruların denklemlerinden oluşan denklem sisteminin çözüm kümesi boş kümedir.
Paralel Doğrular
Doğru denklemlerinde x ve y’lerin kat sayıları arasındaki orantı eşit fakat sabit değerler arasında aynı orantı yoksa bu doğrular sadece paraleldir.
Denklemlerindeki x ve y’nin kat sayıları orantılı olan doğruların eğimleri eşit olur. Denklemin sabit ifadesi ise doğrunun tam konumunu bize verdiği için doğrular farklı konumlarda olur fakat paralel doğrular olurlar. Bu doğruların denklemlerinden oluşan denklem sisteminin çözüm kümesi boş kümedir.
Bir Noktada Kesişen Doğrular
Doğru denklemlerinde x ve y’lerin kat sayıları arasında belli bir orantı olmayan doğrulara bir noktada kesişen doğrular denir.
Denklemlerindeki x ve y’nin kat sayıları arasında orantı olmayan doğruların eğimleri farklıdır ve mutlaka bir noktada kesişirler. Bu doğruların denklemlerinden oluşan denklem sisteminin çözüm kümesi bize bir nokta verir. Bu nokta iki doğrunun kesiştiği noktadır.
Bu çözümlemeyi genellikle denklemleri alt alta yazıp x veya y’den birinin kat sayısını eşitleyecek şekilde denklemleri genişleterek birbirini götürüp diğer eksen değerini bulabiliriz. Bulduğumuz bu değeri de bir denklemde yerine yazarak diğer eksen değerini buluruz.
İlk olarak denklemlerden x veya y’den hangisinin katlarını eşitleyip birbirini götürmesini sağlayacağız ona karar verelim. Biz bu çözümde x’i seçersek d1 doğrusunun denklemini 3 ile, d2 doğrusunun denklemini 5 ile çarparak genişletelim ve alt alta yazalım.
x’in kat sayıları eşit ve farklı işaretli oldukları için bu iki denklemi alt alta toplarız. x’ler birbirini götürür ve y’yi yalnız bırakarak kesişim noktasının y değerini buluruz.
Doğruların kesişim noktasının y değerini bulduğumuza göre bu iki doğru da bu doğrudan geçtiği için iki denklemde de y değerini koyduğumuzda bize x değerini verecektir. Biz d1 doğrusunun denklemine koyalım.
Böylece d1 ve d2 doğrularının kesişim noktası A(19,12)‘dir.
kaynağı değiştir]
Gradyan, birden fazla değişken alan fonksiyonlar için eğim kavramının genelleştirilmesidir.
,
