Tüm kenarlarının uzunlukları birbirine eşit olan paralelkenarlara eşkenar dörtgen denir.
Eşkenar dörtgenler aynı zamanda birer paralelkenar oldukları için, dörtgen ve paralelkenar bölümünde bahsettiğimiz özellikler eşkenar dörtgenler için de geçerlidir.
Eşkenar dörtgenin tüm kenarlarının uzunlukları birbirine eşittir ve karşılıklı kenarları birbirine paraleldir.
\( \abs{AB} = \abs{BC} = \abs{CD} = \abs{DA} = a \)
\( \abs{AB} \parallel \abs{DC} \) ve \( \abs{AD} \parallel \abs{BC} \)
Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirini ortalar ve dik keser.
\( \abs{AK} = \abs{KC} \) ve \( \abs{DK} = \abs{KB} \)
\( \abs{AC} \perp \abs{BD} \)
Aşağıda eşkenar üçgenin açı özellikleri bölümünde ispatını yapacağımız üzere, eşkenar üçgenin köşegenleri aynı zamanda birer açıortaydır.
\( m(\hat{A}) = x \) ise,
\( m(\widehat{DAK}) = m(\widehat{KAB}) = \dfrac{x}{2} \)
\( m(\hat{D}) = y \) ise,
\( m(\widehat{CDK}) = m(\widehat{KDA}) = \dfrac{y}{2} \)
Eşkenar dörtgenin karşılıklı kenarları paralel olduğu için \( \hat{A} \) ve \( \hat{D} \) bütünler açılardır.
\( x + y = ° \)
\( \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{2} = 90° \)
Buna göre \( DAK \) üçgeninin üçüncü açısı olan \( \widehat{DKA} \) açısının ölçüsü 90° olur.
İspatta hata bildirin
Eşkenar dörtgenin köşegen uzunlukları birbirine eşit değildir.
Tüm dörtgenlerde olduğu gibi, eşkenar dörtgenin iç açıları toplamı da, dış açıları toplamı da \( ° \)'dir.
Paralelkenarlarda olduğu gibi, eşkenar dörtgende aynı kenar üzerindeki iki açı karşı durumlu açılar oldukları için toplamları \( ° \)'dir. Ayrıca, karşılıklı köşelerin açıları iç ters açılar oldukları için birbirine eşittir.
\( x + y = ° \)
\( m(\widehat{A}) = m(\widehat{C}) = x \)
\( m(\widehat{B}) = m(\widehat{D}) = y \)
Eşkenar dörtgenin köşegenleri aynı zamanda birer açıortaydır.
\( [AC] \) köşegeni eşkenar dörtgenin birbirine paralel iki kenarını kestiği için, aşağıdaki iki açı iç ters açılardır ve ölçüleri eşittir:
\( m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{DCA}) \)
Eşkenar dörtgenin kenar uzunlukları eşit olduğu için, \( ABC \) üçgeni ikizkenardır, dolayısıyla aşağıdaki iki açının ölçüsü de eşittir.
\( m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{BCA}) \)
Dolayısıyla, aşağıdaki iki açının ölçülerinin eşit olduğunu, yani köşegenin aynı zamanda açıortay olduğunu göstermiş olduk.
\( m(\widehat{DCA}) = m(\widehat{BCA}) \)
İspatta hata bildirin
Eşkenar dörtgenin çevresi bir kenarının uzunluğunun dört katıdır.
Eşkenar dörtgenin alanı bir kenarının uzunluğu ile o kenara ait yüksekliğin çarpımına eşittir.
\( A(ABCD) = a \cdot h \)
Eşkenar dörtgenin alanı aynı zamanda köşegenlerinin uzunluklarının çarpımının yarısına eşittir.
\( A(ABCD) = \dfrac{\abs{AC} \cdot \abs{BD}}{2} \)
Dörtgenlerin alan formüllerinden biri olan aşağıdaki formüle göre, dörtgenin alanı köşegenlerinin uzunlukları ve birbiriyle yaptıkları açının sinüs değerinin çarpımının yarısına eşittir (bu formülün ispati dörtgenlere giriş bölümünde verilmiştir).
\( A(ABCD) = \dfrac{1}{2} \cdot \abs{AC} \cdot \abs{BD} \cdot \sin{x} \)
Köşegenleri dik kesişen dörtgenlerde (eşkenar dörtgen, kare, deltoid) bu açı 90° olduğu için bu alan formülü aşağıdaki şekilde sadeleşir.
\( \sin{90°} = 1 \)
\( A(ABCD) = \dfrac{\abs{AC} \cdot \abs{BD}}{2} \)
İspatta hata bildirin
Paralelkenarlarda olduğu gibi, köşegenler eşkenar dörtgenin alanını dört eşit parçaya böler.
Wikimedia Commons'ta Rhombi ile ilgili ortam dosyaları bulunmaktadır. |
Adım adım açıklama: Eşkenar dörtgenin köşegenleri dik kesişirler fakat uzunlukları birbirine eşit değildir. Dikkat! Kare, eşkenar dörtgenin özel bir halidir. Kenarlarının birbirine eşit olması yanında bütün kenarlar 90 derecedir.
Kare, bütün kenarları ve açıları birbirine eşit olan düzgün dörtgendir. Matematiğin en temel geometrik şekilleri arasındadır. Aynı zamanda dikdörtgendir ve eşkenar dörtgendir.
Bir paralel kenar hem bir dikdörtgen hem de bir eşkenar dörtgen midir? Cevap; Dikdörtgen değil ama eşkenar dörtgen olur.
İki kenarı paralel olan her konveks dörtgen bir yamuktur. Dolayısıyla paralelkenar,kare,dikdörtgen,eşkenar dörtgen birer yamuktur. Yani yamuk ta geçerli olan tüm kurallar bu dörtgenlerde de doğrudur.
Doğrulanmış Cevap. Eşkenar dörtgen de aynı zamanda bir yamuktur. - Her eşkenar dörtgen bir paralelkenardır ama her paralelkenar aynı zamanda bir eşkenar dörtgen değildir. - Yamuğun tek özelliği iki kenarının birbirine paralel olmasıdır ve eşkenar dörtgende bu özellik vardır, hatta daha fazlası.
Dikdörtgen, karşılıklı kenarları birbirine eşit, dik ve paralel olan dörtgene denir. Bir dikdörtgende, karşılıklı kenarların orta noktalarını birleştiren birbirine dik iki simetri ekseni vardır.
Dikdörtgenin karşılıklı kenarları birbirine eşittir. Dikdörtgenin karşılıklı kenarları paraleldir ve karenin 2 katının görünümündedir. 5. Dikdörtgen aynı zamanda bir dörtgendir.
Adım adım açıklama: Karenin köşegenini biliyorsak bunu kök 2 ye bölerek bir kenarını bulabiliriz. Bir kenarını bildiğimiz bir karenin alanı ise o kenarının karesinin alınması ile bulunur. 3. 5 x = 50 cm2 dir.