Faktöriyellerde Sondan Kaç Basamağı 0
Faktöriyel Uygulamaları
Bir Faktöriyelin Sonundaki Sıfır Sayısı
Arası Faktöriyel Tablosu sayfasında verilen faktöriyel değerlerini incelediğimizde ilk bakışta birkaç nokta dikkatimizi çekecektir.
- 5 ve daha büyük sayıların tümünün faktöriyelleri sıfırla bitmektedir.
- Sayılar büyüdükçe son basamaklardaki sıfır sayısı da artmaktadır.
Hemen dikkatimizi çekmeyebilecek diğer birkaç nokta ise şunlardır.
- Her 5 sayıda bir faktöriyel değerinin sonuna bir sıfır eklenmektedir (5!, 10!, 15!, 20!, ).
- Her 25 sayıda bir faktöriyel değerinin sonuna iki sıfır eklenmektedir (25!, 50!, 75!, !, ).
- Tablo o sayılara çıkmasa da her sayıda bir faktöriyel değerinin sonuna üç sıfır eklenmektedir (!, !, !, !, ).
\( A = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c \cdot 7^d \cdot \ldots \)
Bunun sebebini şu şekilde açıklayabiliriz: Bir sayının sonuna sıfır eklenmesi için o sayıyı 10 ile çarpmamız gerekir. 10 sayısı 2 ve 5 asal çarpanlarından oluştuğu için bir sayının asal çarpan listesine eklenecek her ek 2 ve 5 çarpanı ile sayının sonuna yeni bir sıfır eklenir.
Buna göre, bir faktöriyelin içinde 2 ve 5 asal çarpanlarından hangisi daha az sayıda bulunuyorsa sayı o kadar 10 çarpanı içerir, dolayısıyla sonunda o kadar sıfır bulunur. Önceki bölümde gördüğümüz asal çarpanların kuvvetleri kuralına göre, bir sayının faktöriyeli içinde 5 çarpanı 2 çarpanından daha az ya da ona eşit sayıda bulunur. Bu yüzden bir faktöriyelin sonundaki sıfır sayısı o faktöriyelin içindeki 5 çarpanı sayısına eşittir.
Bir faktöriyelin içinde bulunan 5 çarpanı sayısını bulmak için önceki Bir Faktöriyelde Bulunan Çarpan Sayısı bölümünde öğrendiğimiz yöntemi kullanabiliriz.
ÖRNEK:
\( 99! \) sayısının sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bulalım.
Öğrendiğimiz yönteme göre bir sayının faktöriyelinin içindeki 5 çarpanının sayısı kadar sonunda sıfır vardır.
Buna göre \( 99! \) sayısının içinde:
5'in her katı için \( \floor{99 / 5} = 19 \) tane
25'in her katı için \( \floor{19 / 5} = 3 \) tane daha
Toplamda \( 19 + 3 = 22 \) tane 5 çarpanı vardır.
Buna göre \( 99! \) sayısının sondan 22 basamağı sıfırdır.
Arası Faktöriyel Tablosu sayfasında 99!'in değerinin sonundaki sıfır sayısını sayarak bulduğumuz sonucun doğru olduğunu teyit edebiliriz.
SORU 1:
\( 73! + 74! \) sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?
Çözümü Göster\( 73! + 74! = 73! + 73! \cdot 74 \)
\( = 73!(1 + 74) = 73! \cdot 75 \)
\( = 73! \cdot 5^2 \cdot 3 \)
Öğrendiğimiz yönteme göre bir sayının faktöriyelinin içindeki 5 çarpanının sayısı kadar sonunda sıfır vardır.
Buna göre \( 73! \) sayısının içinde:
5'in her katı için \( \floor{73 / 5} = 14 \) tane
25'in her katı için \( \floor{14 / 5} = 2 \) tane daha
Toplamda \( 14 + 2 = 16 \) tane 5 çarpanı vardır.
75 sayısının da içinde 2 tane 5 çarpanı olduğu için \( 73! + 74! \) toplamının sondan \( 16 + 2 = 18 \) basamağı sıfırdır.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 2:
\( (10!)^{10!} \) sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?
Çözümü GösterBir sayının faktöriyelinin içindeki 5 çarpanının sayısı kadar sonunda sıfır vardır.
Buna göre \( 10! \) sayısının içinde 5'in her katı için \( \floor{10 / 5} = 2 \) tane 5 çarpanı vardır.
Dolayısıyla \( 10! \) sayısının sondan 2 basamağı sıfırdır.
Sondan iki basamağı sıfır olan bir sayının \( n \). üssünü aldığımızda sondaki sıfır sayısı \( 2n \) olur.
Örnek: \( ^4 = 10^{12} \) sayısının sonunda \( 3 \cdot 4 = 12 \) sıfır vardır.
Buna göre \( (10!)^{10!} \) sayısının sondan \( 2 \cdot 10! \) basamağı sıfırdır.
Soru sorun Soruda hata bildirin
\( A! - 1 \) Şeklindeki İfadelerin Sonundaki Dokuz Sayısı
Benzer bir soru bir faktöriyelin bir eksiğinin sondan kaç basamağının dokuz olduğu şeklinde karşımıza çıkabilir.
Aşağıdaki şekilde görebileceğimiz gibi, \( 50! \) sayısının sonundaki sıfır sayısı \( 50! - 1 \) sayısının sonundaki dokuz sayısına eşittir. Dolayısıyla bir faktöriyelin bir eksiğinin sonundaki dokuz sayısını bulmak için o faktöriyelin sonundaki sıfır sayısını bulmak için kullandığımız yöntemi kullanabiliriz.
ÖRNEK:
\( 92! - 1 \) sayısının sondan kaç basamağında 9 rakamı olduğunu bulalım.
Öğrendiğimiz yönteme göre bir sayının faktöriyelinin sonundaki sıfır sayısı kadar bir eksiğinin sonunda 9 rakamı vardır.
Buna göre \( 92! \) sayısının içinde:
5'in her katı için \( \floor{92 / 5} = 18 \) tane
25'in her katı için \( \floor{18 / 5} = 3 \) tane daha
Toplamda \( 18 + 3 = 21 \) tane 5 çarpanı vardır.
Buna göre, \( 92! \) sayısının sondan 21 basamağı sıfırdır ve \( 92! - 1 \) sayısının sondan 21 basamağında 9 rakamı vardır.
Faktöriyel
Faktöriyel konusu kpss matematik sayı çeşitleri konusu içinde yer almaktadır. Önceki konularda sayı çeşitlerinden çift ve tek tam sayı işlemlerini, asal sayılar, aralarında asal sayılar , ardışık sayılar ve aritmetik dizi toplamını işlemiştik. Kpss matematik sayı çeşitleri konusuna şimdi de faktöryel ile devam edeceğiz.
Faktöriyel
Faktöriyel, 1&#;den başlayarak n&#;ye kadar olan pozitif tam sayıların çarpımına denilmektedir. Bu çarpıma n faktöriyel denir ve n! şeklinde gösterilir. Kpss matematik dersinde yer alan bazı faktöriyel açılımları şu şekildedir:
0!=1
1!=1
2!==2
3!==6
4!==24
5!==
6!==
Kpss sorularında genelde 6! ve üstü direkt olarak sorulmaz. Sorular 6! ve daha düşük faktöryellere indirgenebilen sorulardır. Bize yüksek rakamlı faktöryel verildiği zaman emin olun ki yapılan işlemlerden sonra nihai olarak hesaplayacağımız faktöryel sonucu 6! üstünün geçmemektedir. Bu yüzden soruları hızlı çözebilmemiz açısından ufak olan faktöriyelleri ezberlememiz yerinde olacaktır.
Faktöriyel Özellikleri:
- Büyük faktöriyel kendisinden küçük olan herhangi bir faktöriyele indirgenebilir.
5!=!
11!=!
- Büyük faktöriyel, küçük faktöriyelin çarpanlarını içerisinde bulundurmaktadır. Bunun için küçük faktöriyeli tam bölen her sayı büyük faktöriyeli de kesinlikle tam böler.
6! i tam bölen herhangi bir sayı 6 faktöryelden sonra gelen herhangi bir faktöryeli de tam bölecektir. Yani 7! de 8! de ya da sonrasında gelen tüm faktöriyeller 6&#;ya tam bölünecektir. Çünkü içlerinde 6 çarpanı bulunmaktadır. 6 çarpanı varsa o sayı 6&#;ya tam bölünebilir demektir.
- 5! ve sonrasında gelen faktöriyellerin son basamağında kesinlikler 0 bulunur.
- 2! ve sonrasından gelen faktöriyellerin hepsi çift sayıdır.
Faktöriyel Soru Tipleri:
- &#;Sondan kaç basamağı sıfırdır?&#; ya da &#;Sondan kaç basamağı 9&#;dur?&#; gibi sorularda verilen faktöryel sayısı devamlı olarak 5&#;e bölünür.
80! &#; 1 sayısının sondan kaç basamağı 9&#;dur?
Burada 80&#;i devamlı olarak 5&#;e böldüğümüzde;
16+3= 19 çıkar. Dolayısıyla 80! sayısının sondan 19 basamağı 9&#;dur. Eğer bize &#;Sondan kaç basamağı 0&#;dır?&#; diye sorulsaydı cevap yine 19 olacaktı. Basit bir örnekle sayısının sondan 3 basamağı 0&#;dır. sonucu da &#;dur ve &#;un son üç basamağı 9&#;dur ki bu zaten sayının tamamıdır. Kısaca sondan kaç basamağı 0&#;dır ya da sondan kaç basamağı 9&#;dur (x!-1 olarak verildiğinde) sorularının çözüm yöntemi aynıdır.
işleminin sonucu kaçtır?
Kpss genel yenetek matematik dersinde faktöryelin bu tip sorularında büyük faktöriyel soruda bulunan en küçük faktöriyele indirgenip ortak çarpan parantezine alınır.
- (6-n)! ifadesinde n&#;in alabileceği kaç farklı değer vardır?
Faktöryel sayıları sadece doğal sayılardan oluşmaktadır. Dolayısıyla doğal sayılar kümesi dışında yer alan kavramlar faktöryel olamaz. Buradan n=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 değerlerini alabilir, yani n toplamda 7 değer alabilir.
Kpss genel yetenek matematik dersine ait Faktöriyel konusu tamamlanmıştır. Bir sonraki kpss matematik konusu sayıs sitemlerinden Basamak Değeri olacaktır.
Faktöriyel Soruları ve Çözümleri Sınıf
Soru: n bir doğal sayı olmak üzer, n!, (n + 1)!, (n + 3)!, (n! + 1), (n! + 4) sayılarından kaç tanesi daima çift sayıdır?
Çözüm: n = 1 seçilirse n! = 1! = 1 tek sayıdır. n = 0 seçilirse (n + 1)! = (0 + 1)! = 1 tek sayıdır. (n + 3)! daima çifttir. Açılımında mutlaka 2 çarpanı bulunur. n = 2 seçilirse n! + 1 = 2! + 1 = 3 tek sayıdır. n = 0 seçilirse n! + 4 = 0! + 4 = 5 tek sayıdır. O halde sadece (n + 3)! daima çift sayıdır.
Soru: 59 faktöriyel - 1 sayısının sondan kaç basamağı dokuzdur?
Çözüm: 59 faktöriyel sayısının sonundaki sıfır sayısı ile 59 faktöriyel - 1 sayısının sondan dokuz basamağı aynıdır. 59 faktöriyel sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır bulmamız yeterlidir. 59 u beşe bölünmeyene kadar bölüp bölümleri toplarsak cevap 13 çıkar.
Soru: x ve y pozitif tam sayılardır. x! = . y eşitliğinde y nin alabileceği en küçük farklı iki değerin toplamı kaçtır?
Çözüm: x faktöriyel = . y, x faktöriyel = 5! . y eşitliğinde y = 1 seçersek x = 5 olur. y = 6 seçersek x = 6 olur. y nin değerleri = 1 + 6 = 7 olur.
Soru: 1 . 2 . 3 . 4 . . 10 . 11 . 12 . . çarpımı ile oluşan faktöriyel sayısının açılımında kaç tane rakam kullanılmıştır.
Çözüm: 1 den 9 a kadar 9 tane rakam vardır. 10 dan 99 a kadar 90 tane sayı, dolayısıyla 3 . 21 = 63 tane rakam vardır. O halde toplam 9 + + 63 = tane rakam vardır.