Fonksiyonlar Tepe Noktası

Verilen grafiklere göre parabol \( x \) eksenini tek bir \( x = -4 \) noktasında, \( y \) eksenini de \( y = \) noktasında kesmektedir.

Buna göre parabolün tepe noktası \( x \) eksenine teğet olduğu \( T(-4, 0) \) noktasıdır.

Tepe noktası \( T(r, k) \) olan parabolün denklemi \( f(x) = a(x - r)^2 + k \)'dır.

\( f(x) = a(x + 4)^2 + 0 \)

Parabolün \( y \) eksenini kestiği \( (0, ) \) noktasının koordinatlarını denklemde yerine koyalım.

\( f(0) = a(0 + 4)^2 = \)

\( a = -2 \)

Buna göre parabolün denklemi aşağıdaki gibi olur.

\( f(x) = -2(x + 4)^2 \)

Parantez içindeki ifadeyi açalım.

\( f(x) = -2(x^2 + 8x + 16) \)

\( f(x) = -2x^2 - 16x - 32 \)

Buna göre \( a + b + c = -2 - 16 - 32 = \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = k + 1, \quad b = 2k - 3, \quad c = -6 \)

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,

Tepe noktası \( x = 1 \) doğrusu üzerinde ise \( r = 1 \) olur.

\( r = -\dfrac{b}{2a} = 1 \)

\( -\dfrac{2k - 3}{2(k + 1)} = 1 \)

\( 3 - 2k = 2k + 2 \)

\( k = \dfrac{1}{4} \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Tepe noktası bilinen parabolün denklemi \( f(x) = a(x - r)^2 + k \) şeklindedir.

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,

Verilen denklem tepe noktası bilinen parabolün denklemi formunda olduğu için \( r = 2 \) ve \( k = 5 \) olur.

Buna göre \( r \cdot k = 2 \cdot 5 = 10 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = 1, \quad b = -2m, \quad c = m + 5 \)

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) ise simetri ekseni tepe noktasından geçen \( x = r \) doğrusudur.

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-2m}{2 \cdot 1} = 4 \)

\( m = 4 \)

Buna göre parabolün denklemi aşağıdaki gibi olur.

\( f(x) = x^2 - 2(4)x + 4 + 5 = x^2 - 8x + 9 \)

Parabolün \( y \) eksenini kestiği nokta \( f(0) \) değeri yani parabol denkleminin sabit terimidir.

\( f(0) = 9 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Parabol \( x \) eksenini -3 ve 1 noktalarında kestiği için denklemini aşağıdaki gibi yazabiliriz.

\( f(x) = a(x + 3)(x - 1) \)

Parabolün başkatsayısını bulmak için \( y \) eksenini kestiği noktanın koordinatlarını denklemde yerine koyalım.

\( f(0) = a(0 + 3)(0 - 1) = -3 \)

\( a = 1 \)

Buna göre parabolün denklemi aşağıdaki gibi olur.

\( f(x) = (x + 3)(x - 1) = x^2 + 2x - 3 \)

Parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = 1, \quad b = 2, \quad c = -3 \)

Kolları yukarı yönlü olan bir parabol en küçük değerini tepe noktasında alır.

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{2}{2 \cdot 1} = -1 \)

\( k = f(r) = f(-1) \)

\( = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = -4 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = 1, \quad b = -m, \quad c = n - 5 \)

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,

\( r = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-m}{2 \cdot 1} = 3 \)

\( m = 6 \)

Tepe noktasının koordinatlarını fonksiyonda yerine koyalım.

\( f(3) = -5 \)

\( 3^2 - 6(3) + n - 5 = -5 \)

\( n = 9 \)

\( m + n = 6 + 9 = 15 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Parabol \( x \) eksenini \( x = 0 \) ve \( x = 2 \) noktalarında kesmektedir.

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,

Tepe noktasının apsis değeri köklerin apsis değerlerinin ortalamasıdır.

\( r = \dfrac{0 + 2}{2} = 1 \)

\( r = -\dfrac{b}{2a} = 1 \)

\( b = -2a \)

Buna göre parabolün denklemi aşağıdaki gibi olur.

\( y = ax^2 - 2ax \)

Tepe noktasının koordinatlarını denklemde yerine koyarak \( a \) değerini bulalım.

\( f(1) = a(1)^2 - 2a(1) = -1 \)

\( a - 2a = -1 \)

\( a = 1 \)

\( b = -2a = -2 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Denklemi \( f(x) = a(x - r)^2 + k \) şeklinde verilen bir parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olur.

Verilen parabol denklemini düzenleyelim.

\( f(x) = a(x - (3 - b))^2 + b - 2 \)

Buna göre tepe noktasının koordinatları \( r = 3 - b \) ve \( k = b - 2 \) olur.

Tepe noktasının koordinatlar toplamı \( r + k = 3 - b + b - 2 = 1 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Parabolün tepe noktasının koordinatlarına \( T(r, k) \) diyelim.

Tepe noktası bilinen parabolün denklemi aşağıdaki gibidir.

\( f(x) = 8(x - r)^2 - k \)

Tepe noktasının apsisi köklerin apsis değerlerinin ortalamasına eşittir.

Buna göre \( A \) noktasının koordinatları \( A(2r, 0) \) olur.

\( \abs{OA} = \abs{OB} \) olduğu için \( B \) noktasının koordinatları \( B(0, 2r) \) olur.

Dolayısıyla tepe noktasının koordinatları \( T(r, 2r) \) olur.

Tepe noktasının koordinatlarını denklemde yerine koyalım.

\( f(x) = 8(x - r)^2 - 2r \)

\( A \) noktasının koordinatlarını denklemde yerine koyalım.

\( f(2r) = 8(2r - r)^2 - 2r = 0 \)

\( 8r^2 - 2r = 0 \)

\( 2r(4r - 1) = 0 \)

\( r \gt 0 \) olduğu için \( r = \frac{1}{4} \) bulunur.

Buna göre parabolün denklemi aşağıdaki gibi olur.

\( f(x) = 8(x - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{2} \)

\( f(\frac{3}{2}) = 8(\frac{3}{2} - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{2} \)

\( = 12 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) ve denklemi \( f(x) = a(x - r)^2 + k \) olmak üzere,

Simetri ekseni \( x = 2 \) ise tepe noktasının apsis değeri \( r = 2 \) olur.

Parabolün aldığı en büyük değer varsa başkatsayı negatiftir, parabolün kolları aşağı yönlüdür ve parabol en büyük değerini tepe noktasında alır. Buna göre tepe noktasının ordinat değeri \( k = -1 \) olur.

Buna göre parabolün denklemini aşağıdaki gibi yazabiliriz.

\( f(x) = a(x - 2)^2 - 1 \)

Parabolün \( y \) eksenini kestiği noktanın ordinatı \( -3 \) ise \( f(0) = -3 \) olur.

\( f(0) = a(0 - 2)^2 - 1 = -3 \)

\( 4a - 1 = -3 \)

\( a = -\dfrac{1}{2} \)

Buna göre parabolün denklemini aşağıdaki gibi yazabiliriz.

\( f(x) = -\frac{1}{2}(x - 2)^2 - 1 \)

\( f(1) \) değerini bulalım.

\( f(1) = -\frac{1}{2}(1 - 2)^2 - 1 = -\dfrac{3}{2} \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin