Sabit F noktasına parabolün odağı, d doğrusuna da parabolün doğrultmanı denir.
F noktasından geçip d doğrusuna dik olan doğruya parabol ekseni denir. Parabol, bu eksene göre simetrik iki koldan ibarettir. Parabol üzerindeki her noktanın odak noktasına olan uzaklığı, doğrultmana olan uzaklığına eşittir.
Parabole ait herhangi iki noktayı birleştiren doğru parçasına kiriş denir.
Odaktan geçen parabol eksenine dik olan kirişin yarısına parametre denir ve "p" ile gösterilir.
Parabolün ekseni kestiği noktaya tepe noktası adı verilir.
Denklemler[değiştir
Parabolün Denkleminin Bulunması
SORU 3:
\( f(x) = ax^2 + bx + c \) parabol grafiğinin eksenleri kestiği bölümleri aşağıda verilmiştir.
Buna göre \( a + b + c \) toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen grafiklere göre parabol \( x \) eksenini tek bir \( x = -4 \) noktasında, \( y \) eksenini de \( y = \) noktasında kesmektedir.
Buna göre parabolün tepe noktası \( x \) eksenine teğet olduğu \( T(-4, 0) \) noktasıdır.
Tepe noktası \( T(r, k) \) olan parabolün denklemi \( f(x) = a(x - r)^2 + k \)'dır.
\( f(x) = a(x + 4)^2 + 0 \)
Parabolün \( y \) eksenini kestiği \( (0, ) \) noktasının koordinatlarını denklemde yerine koyalım.
\( f(0) = a(0 + 4)^2 = \)
\( a = -2 \)
Buna göre parabolün denklemi aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = -2(x + 4)^2 \)
Parantez içindeki ifadeyi açalım.
\( f(x) = -2(x^2 + 8x + 16) \)
\( f(x) = -2x^2 - 16x - 32 \)
Buna göre \( a + b + c = -2 - 16 - 32 = \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 4:
\( y = (k + 1)x^2 + (2k - 3)x - 6 \)
parabolünün tepe noktası \( x = 1 \) doğrusu üzerinde ise \( k \) değerini bulunuz.
Çözümü Göster
Parabolün katsayılarını yazalım.
\( a = k + 1, \quad b = 2k - 3, \quad c = -6 \)
Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,
Tepe noktası \( x = 1 \) doğrusu üzerinde ise \( r = 1 \) olur.
\( r = -\dfrac{b}{2a} = 1 \)
\( -\dfrac{2k - 3}{2(k + 1)} = 1 \)
\( 3 - 2k = 2k + 2 \)
\( k = \dfrac{1}{4} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 5:
\( f(x) = 3(x - 2)^2 + 5 \)
parabolünün tepe noktasının koordinatlarının çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster
Tepe noktası bilinen parabolün denklemi \( f(x) = a(x - r)^2 + k \) şeklindedir.
Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,
Verilen denklem tepe noktası bilinen parabolün denklemi formunda olduğu için \( r = 2 \) ve \( k = 5 \) olur.
Buna göre \( r \cdot k = 2 \cdot 5 = 10 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 6:
\( f(x) = x^2 - 2mx + m + 5 \) parabolünün simetri ekseni \( x = 4 \) doğrusudur. Buna göre \( f(x) \) parabolünün \( y \) eksenini kestiği noktanın ordinatını bulunuz.
Çözümü Göster
Parabolün katsayılarını yazalım.
\( a = 1, \quad b = -2m, \quad c = m + 5 \)
Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) ise simetri ekseni tepe noktasından geçen \( x = r \) doğrusudur.
\( y = f(x) \) parabolünün simetri ekseni \( x = 2 \) doğrusudur.
\( f \) fonksiyonunun \( y \) eksenini kestiği noktanın ordinatı \( -3 \) ve aldığı en büyük değer \( -1 \)'dir.
Buna göre \( f(1) \) kaçtır?
Çözümü Göster
Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) ve denklemi \( f(x) = a(x - r)^2 + k \) olmak üzere,
Simetri ekseni \( x = 2 \) ise tepe noktasının apsis değeri \( r = 2 \) olur.
Parabolün aldığı en büyük değer varsa başkatsayı negatiftir, parabolün kolları aşağı yönlüdür ve parabol en büyük değerini tepe noktasında alır. Buna göre tepe noktasının ordinat değeri \( k = -1 \) olur.
Buna göre parabolün denklemini aşağıdaki gibi yazabiliriz.
\( f(x) = a(x - 2)^2 - 1 \)
Parabolün \( y \) eksenini kestiği noktanın ordinatı \( -3 \) ise \( f(0) = -3 \) olur.
\( f(0) = a(0 - 2)^2 - 1 = -3 \)
\( 4a - 1 = -3 \)
\( a = -\dfrac{1}{2} \)
Buna göre parabolün denklemini aşağıdaki gibi yazabiliriz.
D > 0 ise, parabol x eksenini farklı iki noktada keser.
D < 0 ise, parabol x eksenini kesmez.
D = 0 ise, parabol x eksenine teğettir.
B. PARABOLÜN TEPE NOKTASI
şekildeki parabollerin tepe noktaları T(r, k) dir.
Parabol x = r doğrusuna göre simetrik olan bir şekildir. Bunun için, parabolün x eksenini kestiği noktaların apsisleri olan x1 ile x2 nin aritmetik ortalaması r ye eşittir. Bu durumu kuralla ifade edebiliriz.
Kural
f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiğinin (parabolün) tepe noktası T(r, k) ise,
Sonuç
f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiğinin (parabolün) tepe noktası T(r, k) ise, bu parabolün simetri eksenix = r doğrusudur.
Uyarı
f(x) = ax2 + bx + c ifadesi ikinci dereceden fonksiyonunun en genel halidir.
Bu fonksiyon düzenlenerek f(x) = a(x – r)2 + k hâline dönüştürülürse, tepe noktasının T(r, k) olduğu görülür.
Kural
fonksiyonunun grafiğinde (parabolde),
a > 0 ise kollar yukarıya doğru,
a < 0 ise kollar aşağıya doğrudur.
Buna göre, f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir:
Parabolün en alt ya da en üst noktasına tepe noktası denir.
C. PARABOLÜN GRAFİĞİ
f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiğini çizmek için sırasıyla aşağıdaki işlemler yapılır: 1) Parabolün eksenleri kestiği noktalar bulunur.
2) Parabolün tepe noktası bulunur.
3) Parabolün kollarının aşağı veya yukarı olma durumuna göre, kesim noktaları ve tepe noktası koordinat düzleminde gösterilip, bu noktalardan geçecek biçimde grafik çizilir.
Kural
A) olmak üzere, parabolün tepe noktası T(r, k) olsun.
a < 0 ise, y alabileceği en büyük değer k dir.
a > 0 ise, y nin alabileceği en küçük değer k dir.
B) Parabolün tanım aralığı yani gerçel sayılar kümesi değil de [a, b] biçiminde sınırlı bir gerçel sayı aralığı ise fonksiyonun en büyük ya da en küçük elemanını bulmak için ya şekil çizerek yorum yaparız. Ya da aşağıdaki işlemler yapılır:
f(x) in tepe noktasının ordinatı, yani k bulunur.
f(a) ile f(b) hesaplanır.
a. Tepe noktasının apsisi [a, b] aralığında ise; k, f(a), f(b) sayılarının, en küçük olanı f(x) in en küçük elemanı; en büyük olanı da f(x) in en büyük elemanıdır.
b. Tepe noktasının apsisi [a, b] aralığında değil ise; f(a), f(b) sayılarının, küçük olanı f(x) in en küçük elemanı; büyük olanı da f(x) in en büyük elemanıdır.
D. PARABOLÜN DENKLEMİNİN YAZILMASI
Bir parabolün denklemini tek türlü yazabilmek için, üzerindeki farklı üç noktanın bilinmesi gerekir.
(a, b), (m, n) ve (k, t) noktaları y = f(x) parabolü üzerinde ise;
b = f(a), n = f(m), t = f(k) eşitlikleri kullanılarak parabolün denklemi bulunur.
Kural
x eksenini x1 ve x2 noktalarında kesen parabolün denklemi,
f(x) = a(x – x1)(x – x2) dir.
Kural
Tepe noktası T(r, k) olan parabolün denklemi,
y = a(x – r)2 + k dir.
E. EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİNİN GRAFİKLE ÇÖZÜMÜ
Bir eşitsizliği sağlayan tüm noktaların koordinat düzleminde taranmasıyla, verilen eşitsizliğin grafiği çizilmiş olur.
kümesinin analitik düzlemde gösterimi:
kümesinin analitik düzlemde gösterimi:
F. İKİ EĞRİNİN BİRLİKTE İNCELENMESİ
y = f(x) ile y = g(x) eğrisinin birbirine göre üç farklı durumu vardır.
f(x) = g(x) denkleminin, tek katlı köklerinde eğriler birbirini keser; çift katlı köklerinde birbirine teğettir. Eğer f(x) = g(x) denkleminin reel kökü yoksa, eğriler kesişmez.
Özel olarak,
f(x) = ax2 + bx + c parabolü ile y = mx + n doğrunun denklemlerinin ortak çözümünde elde edilen,
ax2 + bx + c = mx + n
ax2 + (b – m)x + c – n = 0
denkleminin diskriminantı D = (b – m)2 – 4a(c – n) olsun.
D > 0 ise parabol ile doğru iki farklı noktada kesişir.
D < 0 ise parabol ile doğru kesişmez.
D = 0 ise doğru parabole teğettir.
İlgili Konular
#eşitsizlik sistemlerinin grafikle çözümü#iki eğrinin birlikte incelenmesi#parabolün denkleminin yazılması#parabolün grafiği#parabolün tepe noktası
Parabol konusu öğrencilerin en çok zorlandığı konulardan bir tanesidir. Bu yüzden bol tekrar ve soru çözümü gerektirmektedir. Parabol konusundan AYT sınavında her sene 1 soru gelebilmektedir. Bu yazımızda tepe noktası formülü üzerine bir yazı hazırladık. Formülün mantığını öğrenebilir ve örneklerle konuyu pekiştirebilirsiniz.
Tepe Noktası Formülü
f(x) = a.(x-r)² + k biçimindeki ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyonun (parabolün) tepe noktası T(r,k) ise
r = −b/2a ve k = f(r) = (4ac-b²)/4a&#;dır ve bunlar biliniyorsa f(x) = a.(x−r)² + k parabol denklemi yazılabilir.
Örnek 1:f(x) = 5.(x+4)²+9 parabolünün tepe noktası nedir?
Çözüm: Formüle baktığımızda x-r = x+4 olması gerektiğinden dolayı r=-4 çıkar. k ise sabit değer olur. Yani k=9 çıkmaktadır. Buna göre parabolün tepe noktası T(-4,9) çıkmaktadır.
Örnek 2: f(x) = 3x² + 18x parabolünün tepe noktası nedir?
Çözüm: Burada r= -b/2a formülünü kullanmamız gerekmektedir. /6 dan r = -3 çıkar. k = f(-3) = 3.(-3)² + (-3) = çıkmaktadır. Buna göre parabolün tepe noktasıT(-3,) olur.
Örnek 3:x2 + 4x + 3 parabolünün tepe noktası nedir?
Çözüm: Burada a = 1 ve b = 4 olur. Öyleyse -b / 2a da -4 / 2 = -2 olur. Demek ki r = -2 şeklindedir. Şimdi de k değerini bulmak için -2&#;yi denklemde yerine yazalım. (-2)2 + 4.(-2) + 3 = -1 bulunur. Bulduğumuz şey k değeridir. Öyleyse tepe noktası T(-2, -1) şeklindedir.
Örnek 4: x2 &#; 2x &#; 3 parabolünün tepe noktası nedir?
Çözüm: Burada a = 1 ve b = -2 olur. Öyleyse -b / 2a da 2 / 2 = 1 olur. Demek ki r = 1 şeklindedir. Şimdi de k değerini bulmak için 1&#;i denklemde yerine yazalım. (1)2 &#; 2.(1) &#; 3 = -4 bulunur. Bulduğumuz şey k değeridir. Öyleyse tepe noktası T(1, -4) şeklindedir.
Sizler için hazırladığımız tepe noktası formülü ve örnekleri yazısı bu şekildedir. Eklememizi istediğiniz formüller varsa yorum kısmında belirtebilirsiniz. Sitemizde bulunan integral alma kuralları yazısını da incelemeyi unutmayınız.
olmak üzere, 
tanımlanan
y eksenini kestiği noktanın; apsisi 0 (sıfır), ordinatı f(0) = c dir.
denkleminde,
fonksiyonunun grafiğinde (parabolde),
yani gerçel sayılar kümesi değil de [a, b] biçiminde sınırlı bir gerçel sayı aralığı ise fonksiyonun en büyük ya da en küçük elemanını bulmak için ya şekil çizerek yorum yaparız. Ya da aşağıdaki işlemler yapılır:
