Benzer belgeler
1 BÖLÜM 5 MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Gözlenen belli bir özelliği, bu özelliğe ilişkin ölçme sonuçlarını yani verileri kullanarak betimleme, istatistiksel işlemlerin bir boyutunu oluşturmaktadır. Temel sayma
DetaylıMerkezi Yığılma ve Dağılım Ölçüleri hafta Merkezi eğilim ölçüleri, belli bir özelliğe ya da değişkene ilişkin ölçme sonuçlarının, hangi değer etrafında toplandığını gösteren ve veri grubunu
Detaylıseafoodplus.info HALİFEOĞLU Örnek: Aşağıda yetişkine ilişkin kolesterol değerlerini sınıflandırılarak aritmetik ortalamasını bulunuz (sınıf aralığını 20 alınız). 2 x A fb C n 40 20 3 Örnek:.
DetaylıMühendislikte İstatistik Yöntemler İstatistik Parametreler Tarih Qma 45 48 5 3 4 34 5 37 6 45 7 45 8 48 9 5 0
Detaylıseafoodplus.info HALİFEOĞLU FREKANS DAĞILIMLARINI TANIMLAYICI ÖLÇÜLER Düzenlenmiş verilerin yorumlanması ve daha ileri düzeydeki işlemler için verilerin bütününe ait tanımlayıcı ve özetleyici ölçülere ihtiyaç
DetaylıStandart Hata İstatistikte hesaplanan her istatistik değerin mutlaka hatası da hesaplanmalıdır. Çünkü hesaplanan istatistikler, tahmini bir değer olduğu için mutlaka hataları da vardır. Standart
Detaylı1 BÖLÜM 6 MERKEZDEN DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Gözlenen belli bir özelliği, bu özelliğe ilişkin ölçme sonuçlarını yani verileri kullanarak betimleme, istatistiksel işlemlerin bir boyutunu oluşturmaktadır. Temel
DetaylıVERİ SETİNE GENEL BAKIŞ Outlier : Veri setinde normal olmayan değerler olarak tanımlanır. Ders: Kantitatif Yöntemler 1 VERİ SETİNE GENEL BAKIŞ Veri setinden değerlendirme başlamadan çıkarılabilir. Yazım
DetaylıTANIMLAYICI İSTATİSTİKLER Tanımlayıcı İstatistikler ve Grafikle Gösterim Grafik ve bir ölçüde tablolar değişkenlerin görsel bir özetini verirler. İdeal olarak burada değişkenlerin merkezi (ortalama) değerlerinin
DetaylıIİSTATIİSTIİK Mustafa Sezer PEHLI VAN İstatistik nedir? İstatistik, veri anlamına gelir, İstatistik, sayılarla uğraşan bir bilim dalıdır, İstatistik, eksik bilgiler kullanarak doğru sonuçlara ulaştıran
DetaylıBölüm 3 Tanımlayıcı İstatistikler 1 Tanımlayıcı İstatistikler Bir veri setini tanımak veya birden fazla veri setini karşılaştırmak için kullanılan ve ayrıca örnek verilerinden hareket ile frekans dağılışlarını
DetaylıDers 8: Verilerin Düzenlenmesi ve Analizi Betimsel İstatistik Merkezsel Eğilim Ölçüleri Dağılım Ölçüleri Grafiksel Gösterimler Bir kitlenin tamamını, ya da kitleden alınan bir örneklemi özetlemekle (betimlemekle)
DetaylıMerkezi Eğilim ve Dağılım Ölçüleri Soru Öğrencilerin derse katılım düzeylerini ölçmek amacıyla geliştirilen 16 soruluk bir test için öğrencilerin ilk 8 ve son 8 soruluk yarılardan aldıkları puanlar arasındaki
DetaylıMerkezi Eğilim Ölçüleri 1) Parametrik merkezi eğilim ölçüleri Serinin bütün birimlerinden etkilenen merkezi eğilim ölçüleridir. 1) Aritmetik ortalama 2) Geometrik ortalama (G) 3) Harmonik ortalama (H)
DetaylıTest İstatistikleri AHMET SALİH ŞİMŞEK İçindekiler Test İstatistikleri Merkezi Eğilim Tepe Değer (Mod) Ortanca (Medyan) Aritmetik Ortalama Merkezi Dağılım Dizi Genişliği (Ranj) Standart Sapma Varyans Çarpıklık
DetaylıÖLÇME VE DEĞERLENDĠRME (3) ÖLÇME SONUÇLARI ÜZERĠNDE ĠSTATĠSTĠKSEL ĠġLEMLER VERĠLERĠN DÜZENLENMESĠ -Herhangi bir test uygulamasından önce verilerin düzenlenmesi için önce bütün puanların büyüklüklerine
DetaylıİSTATİSTİK MHN Malzeme Mühendisliği CBÜ - Malzeme Mühendisliği Bölümü Ofis: Mühendislik Fakültesi A Blok Ofis no Tel: 0 E-posta :[email protected] YARDIMCI KAYNAKLAR Mühendiler
DetaylıÖLÇME DEĞERLENDİRME ÜNİTE BAŞLIKLARI 1. TEMEL KAVRAMLAR 2. ÖLÇMEDE HATA (GÜVENİRLİK GEÇERLİK) 3. İSTATİSTİK 1. TEMEL KAVRAMLAR Ölçme, Ölçüm, Ölçme Kuralı, Ölçüt, Değerlendirme. Ölçme Türleri: Doğrudan,
DetaylıBETİMLEYİCİ İSTATİSTİK VERİ KÜMELERİNİ BETİMLEME Bir amaç için derlenen verilerin tamamının olduğu, veri kümesindeki birimlerin sayısal değerlerinden faydalanarak açık ve net bir şekilde ilgilenilen özellik
DetaylıGruplanmış serilerde standart sapma hesabı Örnek: Verilen gruplanmış serinin standart sapmasını bulunuz? Sınıflar f i X X X m i f i. m i m i - (m i - ) f i.(m i - ) 0 den az 3 4 den az 7 4 6 dan az 4 6
DetaylıSÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI Sayı ekseni üzerindeki tüm noktalarda değer alabilen değişkenler, sürekli değişkenler olarak tanımlanmaktadır. Bu bölümde, sürekli değişkenlere uygun olasılık dağılımları üzerinde
DetaylıSÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI Sürekli verilerin göstermiş olduğu dağılışa sürekli olasılık dağılışı denir. Sürekli olasılık dağılışlarının fonksiyonlarına yoğunluk fonksiyonu denilmekte ve bu dağılışlarla
Detaylıİstatistik ve Olasılık Ders 2: Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım İnceleme sonucu elde edilen ham verilerin istatistiksel yöntemler kullanılarak özetlenmesi açıklayıcı istatistiği konusudur. Açıklayıcı istatistikte
DetaylıBS İstatistik sonılannın cevaplanmasında gerekli olabilecek tablolar ve formüller bu kitapçığın sonunda verilmiştir. 1. şağıdakilerden hangisi doğal birimdir? l TV alıcısı Bl Trafik kazası CL
DetaylıMATE BİYOİSTATİSTİK ÇALIŞMA SORULARININ ÇÖZÜM VE CEVAPLARI Yapılan bir araştırmada, erişkin kişinin kanlarındaki kolesterol düzeyleri gr/dl cinsinden aşağıda verilmiştir:
DetaylıİÇİNDEKİLER ÖN SÖZ v GİRİŞ 1 1. İSTATİSTİK İN TARİHÇESİ 1 2. İSTATİSTİK NEDİR? 3 3. SAYISAL BİLGİDEN ANLAM ÇIKARILMASI 4 4. BELİRSİZLİĞİN ELE ALINMASI 4 5. ÖRNEKLEME 5 6. İLİŞKİLERİN
DetaylıSPSS de Tanımlayıcı İstatistikler Doç. Dr. Ertuğrul ÇOLAK Eskişehir Osmangazi Üniversitesi Tıp Fakültesi Biyoistatistik Anabilim Dalı SPSS programında belirtici istatistikler 4 farklı menüden yararlanılarak
Detaylıİstatistik ve Olasılık Ders 2: Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım İnceleme sonucu elde edilen ham verilerin istatistiksel yöntemler kullanılarak özetlenmesi açıklayıcı istatistiği konusudur. Açıklayıcı istatistikte
DetaylıBÖLÜM 3 KURAMSAL ÇATI VE HİPOTEZ GELİŞ İŞTİRME Araştırma rma SüreciS 1.Gözlem Genel araştırma alanı seafoodplus.infon Belirlenmesi Sorun taslağının hazırlanması seafoodplus.infoal Çatı Değişkenlerin açıkça saptanması
DetaylıBeklenti Anketi ne İlişkin Yöntemsel Açıklama İstatistik Genel Müdürlüğü Reel Sektör Verileri Müdürlüğü İçindekiler I- Amaç 3 II- Kapsam 3 III- Yöntem 3 IV- Tanımlar ve Hesaplamalar 3 V- Yayımlama
DetaylıİSTATİSTİK EXCEL UYGULAMA EXCEL UYGULAMA Bu bölümde Excel ile ilgili temel bilgiler sunulacak ve daha sonra İstatistiksel Uygulamalar hakkında bilgi verilecektir. İşlenecek Konular: Merkezi eğilim Ölçüleri
Detaylı1. Aşağıda gruplandırılmış seri verilmiştir. (n) den az 5 den az 6 den az 9 den az 11 den az 4 den az 3 TOPLAM 38 İSTATİSTİK ÖRNEK SORULARI a) Mod değerini bulunuz? (15
DetaylıBÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii
DetaylıT.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI ACİL SAĞLIK HİZMETLERİ İSTATİSTİKSEL İŞLEMLER II I Ankara, Bu modül, mesleki ve teknik eğitim okul/kurumlarında uygulanan Çerçeve Öğretim Programlarında yer alan
DetaylıMühendislikte İstatistiksel Yöntemler BÖLÜM 2 AÇIKLAYICI (BETİMLEYİCİ) İSTATİSTİK Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU 1-Açıklayıcı (Betimleyici) İstatistik İnceleme sonucu elde edilen ham verilerin istatistiksel
DetaylıDers Tanıtım Formu Dersin Adı Öğretim Dili İSTATİSTİK Türkçe Dersin Verildiği Düzey Ön Lisans (X) Lisans ( ) Yüksek Lisans( ) Doktora( ) Eğitim Öğretim Sistemi Örgün Öğretim (X) Uzaktan Öğretim( ) Diğer
Detaylıİstatistiksel Yorumlama Amaç, popülasyon hakkında yorumlamalar yapmaktadır. Populasyon Parametre Karar Vermek Örnek İstatistik Tahmin 1 Tahmin Olaylar hakkında tahminlerde bulunmak ve karar vermek zorundayız
DetaylıMAK SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 6- İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Bütün noktalardan geçen bir denklem bulmak yerine noktaları temsil eden, yani
DetaylıÜ Ç Ü N C Ü B Ö L Ü M
M E R K E Z I E Ğ I L I M Ö L Ç Ü L E R I
(O R T A L A M A L A R)
Önceki bölümde yaptığımız frekans tabloları, istatistik verilerin dağılımının bazı özelliklerini görmek için yeterlidir: Veriler, genellikle ortalarda bir yere doğru toplanma temayülü gösteriyor, adeta ortaya doğru çekiliyorlar. Ancak bir taraftan da bu merkezden farklılık (varyasyon) gösteriyorlar. Merkeze yaklaştıkça değerlerin frekansı artıyor; uzaklaştıkça azalıyor.
Bu bölümden itibaren, 3,4 ve 5. Bölümlerde, istatistik verilerin bu ve başka özelliklerini gösteren ölçüleri göreceğiz. Bu ölçüler örnekten hesaplanan ve örneğimizi tanıtan, onun bir özelliğini ortaya koyan ölçülerdir. Bu yüzden bunlara Tanımlayıcı "descriptive" istatistikler denir.
Bu bölümde Merkezi Eğilim Ölçülerini göreceğiz. Bunlara Ortalamalar da denir. Merkezi Eğilim Ölçüleri, örneğimizdeki verilerin nereye doğru toplanma temayülünde olduklarını gösteren ve dolayısı ile bu verilerin hepsini birden temsil eden tipik değerlerdir.
III Tepe Değeri (Mode)
Bir örnekte frekansı en yüksek olan, yani en çok tekrarlanan değere Tepe Değeri denir. Frekans tablosundan tepe değeri, en yüksek frekanslı sınıfın değeri olarak bulunur. Ancak daha duyarlı bir hesaplama için bir önceki ve sonraki sınıfların frekansı dikkate alınmalıdır. Çünkü hangi tarafın frekansı daha fazla ise, tepe değerinin sınıf değerinden o tarafa doğru sapmış olması beklenir. Bunun için;
T.D.=L1 + C
Burada: L1 = en yüksek frekanslı sınfın alt gerçek sınırı,
C = sınıf genişliği
d1 = en yüksek frekansla bir önceki sınfın frekansının farkı
d2 = en yüksek frekansla bir sonraki sınfın frekansının farkı
Misal II. 1’ de veriler için tepe değerini frekans tablosundan olarak alabiliriz. Çünkü en yüksek frekans bu sınıfın frekansı olup 15’tir. Ancak bir sonraki sınıfın frekansı, bir önceki sınıfın frekansından fazla olduğundan, esasında tepe değeri’ten biraz büyüktür:
T.D. = + ()/(+)= + 4*(5/7)=
III. 2- Ortanca Değer (Median)
Küçükten büyüğe sıralanmış verilerin tam ortasındaki değere Ortanca Değer denir. Bir veri topluluğunda varyantların yarısı ortancadan küçük, yarısı ortancadan büyüktür. Küçükten büyüğe doğru sıralanmış n adet varyantın n tek ise (n+1)/seafoodplus.info ortanca değerdir. Eğer n çift ise o zaman n/seafoodplus.info ile (n/2)+seafoodplus.info varyantın ortalaması ortanca değerdir. Ancak n gibi bir sayı ise o zaman tek mi çift mi olduğuna bakılmaksızın n/seafoodplus.info varyant ortanca değer olarak kabul edilir.
Misal: II.1’deki veriler için ortancayı frekans tablosundan yaklaşık olarak bulabiliriz. Pratik maksatlar için n varyantın n/seafoodplus.info ortanca kabul edilir. 67 işçi olduğuna göre bunun yarısı ’inci varyantın bulunması gerekir. Bu veriler için yapılmış olan eklemeli frekans tablosundan bu varyantın alt gerçek sınırı ile üst gerçek sınırı arasındaki 4.sınıfta olduğu görülür. Çünkü den ya kadar 13 varyant bu sınıftadır. 4 birime 13 varyant eşit aralıkla dizilmiş kabul ederek varyant başına 4/13 birim düştüğü görülür. inci varyant varyant olan ’tan bu durumda,
()*4/13 = *4/13 = 2
kadar daha büyüktür; yani +2 = ’e eşittir. Bu anlatılanlar aşağıdaki gibi formüle edilir:
Burada
Ft: Ortanca değerin bulunduğu sınıftan önceki sınıfların frekanslarının toplamı; yani ortanca değerin bulunduğu sınıfın alt gerçek sınırından daha küçük eklemeli frekansı.
Fod: Ortanca değerin bulunduğu sınıfın frekansı
C: Sınıf Genişliği
N: Örnek Genişliği
L1 ortanca değerin bulunduğu sınıfın alt gerçek sınırı (misalde ).
III.3 – Aritmetik Ortalama (Arithmetic Mean)
En çok bilinen ve kullanılan ortalama, aritmetik ortalamadır. Ortalama dendiği zaman bu aritmetik ortalama anlaşılır. N varyantın aritmetik ortalaması toplamlarının N’e bölünmesi ile bulunur:
Aritmetik ortalama veri topluluğunun denge noktasıdır, ortalamadan sapmaların toplamı sıfırdır. Bir veri topluluğundaki varyantlara bir sabit eklemek veya bir sabitle bunları çarpmak, ortalamayı da aynı şekilde etkiler:
1. Ortalama sistemin denge noktasıdır; ortalamadan saapmaların toplamı sıfırdır:
2. k bir sabit olmak üzere y= k.x ise,
3. A bir sabit olmak üzere y= x+A ise,
ve 3 numaralı özelliklerden y ve x arasında a ve c birer sabit olmak üzere y=a.x+c şeklinde bir ilişki varsa
Bugün artık bilgisayarlar sayesinde elli altmış rakamın toplamı, sonra bunların ortalaması gibi işlemler çabucak yapılabilmektedir. Fakat çoğu zaman bizim elimizde veriler frekans tablosu halinde bulunur. Bunların ortalamasını bulmak için aşağıdaki yol takip edilir:
Misal: III 67 işçinin maaşlarına ait frekans tablosundan ortalamayı hesaplayalım.
Sınıflar xi fi fi.xi bi fi.bi
34 2 -5
38 11 -4
42 14 -3
46 13 -2
50 8 -1 -8
54 6 0 0
58 4 1 4
62 3 2 6
66 4 3 12
70 1 4 4
1 5 5
Toplam 67
b=(x-A)/c olarak hesaplanır. Burada A ortalardaki bir sınıfın değeri, örneğimizde ; c ise sınıf genişliğidir. b ile x arasındaki ilişki ortalamaları arasında da olduğundan
= + 4.(/67)= – =
Doğrudan sınıf değerlerinin ortalamasını hesaplasaydık yine,
= / 67 =
çıkacaktı.
Aritmetik ortalama en çok tercih edilen merkezi eğilim ölçüsüdür. Ancak aşırı değerlerden çok etkilenir. Bu durumlarda aritmetik ortalama yerine ortanca değer tercih edilir. Simetrik dağılımlarda bu üç ortalama birbirine eşittir. Dağılım bir tarafa doğru yatıksa o taraftaki aşırı varyantlardan en çok ortalama etkilenir. Simetriden sapmalara karşı T.D. en dayanıklıdır, fazla etkilenmez. Ortanca değer daima bu ikisi arasındadır.
III Harmonik Ortalama
Harmonik ortalama, varyantların terslerinin ortalamasının tersidir:
III Geometrik Ortalama
Geometrik ortalama, varyantların çarpımlarının seafoodplus.info köküdür:
burada Π, çarpım sembolüdür.
III Alıştırma Soruları
1- Aşağıdaki verilerin ortalaması kaçtır?
23 24 25 26 27 28 29
a) =6, b) 26, c) 262 d) hiç biri
2- Birinci sorudaki verilerin ortalamadan sapmalarının toplamı
a) 6, b) 0 , c) 12, d)-6
3- Birinci sorudaki verilerin ortanca değeri
a) 23, b) 29, c) 26, d) 6.
4- Birinci sorudaki verilerin tepe değeri
a) Yoktur, b) 23, c) 29, d) 6.
5- Birinci sorudaki verilerin her birinden 20 çıkarırsanız elde ettiğiniz değerlerin ortalaması
a) Değişmez, 26’dır, b) 6, c) 20, d) hiçbiri
6- Aşağıdaki frekans tablosundan b’lerin ortalaması aşağıdakilerden hangisidir?
Sınıfla Xi fi bi a) , b) 0, c) 16/9, c) 10
33 2 -4
36 4 -3
39 5 -2
42 7 -1
45 10 0
48 8 1
51 6 2
54 5 3
57 3 4
7- Altıncı sorudaki frekans tablosundan sınıf değerleri (Xi)’nin ortalaması aşağıdakilerden hangisidir?
a) *3+45=, b) 45, c) , d)
8- Altıncı sorudaki b değerlerini 2 ile çarparak bulacağınız y değerlerinin ortalaması
a) , b) , c) , d) 91
9- n adet varyantın geometrik ortalaması
a) En çok tekrarlanan değerdir,
b) Çarpımlarının (1/n).ci üssüdür
c) Terslerinin ortalamasının tersidir
d) Logaritmalarının aritmetik ortalamasıdır.
Bir tarafa aşırı sapan değerler
a) En fazla ortalamayı etkiler
b) En çok ortancayı etkiler
c) En çok tepe değerini etkiler
d) Harmonik ortalama bulunmasını gerektirir.
Merkezî yığılma ölçüleri, bir veri grubunun dağılımında, verilerin etrafında yığılma eğilimi gösterdikleri ve veri grubunu “özetleyen” değerlerdir. Örneğin “sınıfın Türkçe dersi ortalaması 75” dediğimizde, bu notun o sınıftaki tüm öğrencilerin Türkçe dersi notlarını temsil ettiğini düşünürüz. Aritmetik ortalama (), ortanca (ortn., Medyan), mod, geometrik ortalama (GO), harmonik ortalama (HO) ve karesel ortalama (KO) merkezî eğilim ölçüleridir.
Merkezî yığılma ölçülerinin en çok kullanılanıdır. Genel olarak “ortalama” olarak da isimlendirilir. Bir grup verinin aritmetik ortalaması, verilerin toplamının toplam veri sayısına bölümüne eşittir. Formülle gösterirsek;
ya da
En istikrarlı merkezî eğilim ölçüsü isteniyorsa ve dağılım çok çarpık değilse merkezî eğilim ölçüsü olarak aritmetik ortalama kullanılır.
Örnek
Bir anaokulu sınıfında öğrencilerin ağırlıkları 12, 13, 19, 17, 19kg olarak hesaplanmış. Ortalamasını hesaplayınız.
Örnek
6 kişilik bir voleybol takımında oyuncuların boy uzunlukları , , , , , cm.’dir. Takımın boy ortalamasını bulalım:
Ağırlık | Frekans | fx |
---|---|---|
24 | 2 | 48 |
23 | 3 | 69 |
22 | 3 | 66 |
21 | 3 | 63 |
20 | 3 | 60 |
19 | 5 | 95 |
18 | 6 | |
17 | 2 | 34 |
16 | 6 | 96 |
15 | 4 | 60 |
14 | 0 | 0 |
13 | 2 | 26 |
12 | 1 | 12 |
N=40 | Σfx= |
Puanlar | Frekans | Orta Nokta xo | fxo |
85–89 | 2 | 87 | |
80–84 | 1 | 82 | 82 |
75–79 | 4 | 77 | |
70–74 | 9 | 72 | |
65–69 | 13 | 67 | |
60–64 | 26 | 62 | |
55–59 | 19 | 57 | |
50–54 | 12 | 52 | |
45–49 | 8 | 47 | |
40–44 | 3 | 42 | |
35–39 | 2 | 37 | 74 |
30–34 | 1 | 32 | 32 |
N= | Σfxo= | Σfx=61,10 |
Bir dizideki ölçümlerin birbirleriyle çarpılıp, çarpılan ölçün sayısı derecesinde kökünün alınmasına eşittir. GO’nun hesaplanmasında değerler sıfırdan büyük olmak zorundadır.
ÖRNEK:
Bir şehirde ev kiraları ortalama olarak yılında TL.; yılında TL.; yılında TL.; olarak gerçekleşmiştir. Söz konusu şehirde ortalama artış miktarı nedir; hesaplayınız.
(2 kat) | (3 kat) |
Ölçümlerin terslerinin aritmetik ortalamasının tersidir. Oranların özellikle de zaman oranlarının ortalamalarının hesaplanmasında kullanılır.
ÖRNEK:
Bir koşucu koştuğu m’lik parkurun ilk m’sini 80 saniyede, ikinci m’lik mesafesini ise saniyede koşmuştur. Koşucunun parkurdaki ortalama hızını hesaplayınız.
İlk m’de 5m/sn hız
İkinci m’de 4m/sn hız
Kısa yol (oranlama yöntemi)
ya da
Ortanca (ortn., medyan): Veriler sıraya konulduktan sonra tam ortaya düşen (yani verileri tam ortadan iki eşit parçaya bölen) değerdir. Bir veri grubunu tam ortadan ikiye ayıran değerdir. Formülle gösterirsek:
a) veriler tek sayıda ve frekanslar “1”se
nci değer
b) veriler çift sayıda ve frekanslar “1”se
nci değer
Medyan; aritmetik ortalamayı hesaplamak için yeterli süre yoksa, dağılımın tam orta noktası isteniyorsa, uç puanların ortalamayı büyük ölçüde etkilemesi söz konusu ise ortanca hesaplanır. Hesaplamaya başlanmadan önce veriler büyüklük sırasına konulur.
Örnek
Bir grup öğrencinin kompozisyon sınavından aldıkları notların (, 98, 93, 45, 34) ortancasını bulalım.
Veriler tek sayıda (n=5) ve frekanslar “1”
. değer (Ortn=93).
Örnek
Bir grup öğrenci İngilizce sınavdan 65, 75, 72, 50, 34, 59 puanlarını almış olsunlar. Dağılımın ortancasını hesaplayalım.
(Önce veriler büyüklük sırasına konulacak)
Veriler çift sayıda (n=6) ve frekanslar “1”
. değer.
Baştan üçüncü değer 59, sonradan üçüncü değer 65 olmaktadır. Bu durumda ortanca;
olarak bulunur.
Puanlar | Frekans | tf (yf) |
---|---|---|
85–89 | 2 | |
80–84 | 1 | 98 |
75–79 | 4 | 97 |
70–74 | 9 | 93 |
65–69 | 13 | 84 |
60–64 | 26 | 71 |
55–59 | 19 | 45 |
50–54 | 12 | 26 |
45–49 | 8 | 14 |
40–44 | 3 | 6 |
35–39 | 2 | 3 |
30–34 | 1 | 1 |
N= |
L: Ortancanın içine rastladığı aralığın alt sınırı (59,5)
tfa: ortancanın rastladığı aralığın altındaki toplam frekans (yığılmalı frekans) (45)
fb: Ortancanın içine rastladığı aralığın frekansı (26)
a: aralık katsayısı (29,5 – 34,5 = 5)
(Ortanca aynı zamanda Y50 veya Q2 olarak da isimlendirilir. Bir diğer deyişle medyan yüzdeliktir. )
L: Yüzdeliğin içine rastladığı aralığın alt sınırı
tfa: Yüzdeliğin rastladığı aralığın altındaki toplam frekans (yığılmalı frekans)
fb: Yüzdeliğin içine rastladığı aralığın frekansı
a: aralık katsayısı
Gözlem sonucunda elde edilen verilerin en çok tekrar edilenine “mod” denir. Mod oldukça kaba bir merkezî eğilim ölçüsüdür. Ortalama ve ortanca gibi değerlerin hesaplanma olanağı bulunmadığı durumlarda kullanılabilir. Bir başka ifade ile mod en yüksek frekansa sahip değerdir.
Örnek: 1,1,2,2,2,3,3,3,3,4,4,5,6,6,8 Mod: 3
Bir grubun belli bir özelliği yönünden yeterince tanıyabilmek ve gruplar arasında çok yönlü karşılaştırmalar yapabilmek için merkezî eğilim ölçüleri yanında yayılma ölçülerine de ihtiyaç duyulur. Verilerin birbirlerinden ne kadar ayrıldıkları veya bir doğru üzerinde yayılmalarının nasıl olduğu da önemlidir. Örneğin iki ayrı sınıfta öğrencilerin ölçme ve değerlendirme dersi not ortalaması 40 olsun. Buna dayanarak her iki sınıfın başarı düzeyleri aynıdır diyebilir miyiz? İlk etapta bu soruya “evet” denilebilir. Ancak bir de şunları bilelim: Bir sınıfta notlar puan arasında iken, diğer sınıfta arasında olsun. Bu durumda her iki sınıfın düzeylerinin farklı olduğu; aritmetik ortalamaların da başarı düzeyini açıklamakta pek yeterli olmadığı anlaşılacaktır. Böyle durumlarda merkezî yığılma ölçülerinin yanı sıra merkezî yayılma ölçülerine de ihtiyaç duyulur. Bir merkezî yığılma (eğilim) ölçüsünün, bir grup ölçümü ne derece temsil ettiğini bir karara bağlamak ve her hangi bir ölçümün, grup ortalamasının ne kadar altında ve üstünde olduğunu (yani ölçümlerin grup içindeki yerini) göstermek için merkezî yayılma ölçüleri kullanılır.
Genişlik (ranj), standart sapma (ss), ortalama sapma ve çeyrek sapma merkezî yayılma ölçüleridir.
Yayılma ölçüleri içinde en kaba ve hesaplanışı en kolay olanıdır. Gözlenen ölçümlerin en büyüğü ile en küçüğü arasındaki fark ya da açıklık bize ranjı verir. Ranj özellikle veri sayısının çok olduğu durumlarda güvenilir değildir.
Örnek:
Matematik sınavında bir grup öğrenci 23, 34, 37, 45, 50, 56, 57, 70, 77, 86 ve 91 puan almışlardır. Dağılımın ranjını bulalım:
Ranj==68’dir.
Bir dizi ölçümün gösterdiği değişimin en güvenilir ölçüsü standart sapmadır. İstatistikte en çok kullanılan yayılma ölçüsüdür. Standart sapma bir dağılımda ölçme sonuçlarının aritmetik ortalamaya göre yayılmanın bir ölçüsünü verir. Formülle gösterirsek;
Örnek:
Aşağıda bir grup öğrencinin matematik dersinden aldıkları puanlar verilmiştir. Dağılımın standart sapmasını hesaplayınız.
30 | 70 |
60 | 30 |
70 | 65 |
55 | 70 |
40 | 50 |
20 | 50 |
80 | 60 |
30 | 35 |
70 | 30 |
65 | 40 |
55 | 50 |
60 | 40 |
40 | 20 |
30 | 10 |
55 | 20 |
n=30 | |
Σx= | |
x=46,66 | |
Σx²= |
==
=