Matematik denilince akla hemen formüller gelir. Özellikle üniversiteye giriş sınavları, KPSS ve ALES gibi sınavlardaki sorularda bize kolaylık sağlayacak formüllere ihtiyaç duyarız. Bu formüllerden biri de küp açılımı ile ilgili olan formüllerdir. Küp açılımı formülü, özellikle çarpanlara ayırmada kullanılır ve son derece önemlidir. Küp açılımı nasıl yapılır hep birlikte bakalım…
Küp açılımı nedir?
Küp açılımı dendiğinde ilk akla gelen şey çarpanlara ayırmadır. (x³ + y³) şeklinde ifade ettiğimiz açılımlara küp açılımı denir. Sınavlarda en fazla çıkan soru kalıpları, iki ifadenin toplamı-farkının küpü ya da iki ifadenin küpünün toplamı-farkı şeklindedir. Bu açılımları formüle dökecek olursak eğer:
Yukarıda görmüş olduğunnuz formüller tam küp açılımı formülleridir. Bu formülleri ezberledikten sonra karşınıza çıkacak tüm soruları rahatlıkla yapabilirsiniz. Çarpanlara ayırma küp açılımına birkaç örnekle konuyu iyice anlamanıza yardımcı olalım.
ÖRNEK SORU 1: x3 – 27 ifadesini çarpanlarına ayırınız:
27, 3ün küpü olduğundan ifadeyi şöyle yazabiliriz: x3 – 33
x3 – 33 = (x-3).(x2 + 3x + 9) şeklinde çarpanlarına ayırmış oluruz.
ÖRNEK SORU 2: x3 + ifadesini çarpanlarına ayırınız:
, 5'in küpü olduğundan ifadeyi şöyle yazabiliriz: x3 + 53
x3 + 53 = (x+5).(x2 – 5x + 25) şeklinde çarpanlarına ayırmış oluruz.
ÖRNEK SORU 3: İki reel sayının toplamı 7 ve çarpımları 10 ise küplerinin toplamı nedir?
Önceki soruda yaptığımız gibi, ifade küpünü çıkan değerlere göre açıyoruz. İfademiz iki değer arasındaki farkın küpü olduğundan, kullanmamız gereken formül (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³ şeklindedir. Bu formülü öğrendikten sonra, sayıları yerlerine yazarak istenen sonuca ulaşabiliriz.
Toplamları 7 dediği için (x + y) yerine direkt 7 yazıp küpünü alabiliriz. Yani; 7³ = x³ + 3xy.(x + y) + y³ bu formülde x ve y'nin çarpımının da 10 olduğunu biliyoruz. Yerine yazalım; = x³ + + y³ olur. Denklemde (x³ + y³)'ü yalnız bırakırsak sonuç - = olur.
Artık formülleri bildiğinize göre sınavlarda karşılaştığımız bu ve buna benzer küp açılımı sorularını siz de öncesinde evde örneklerle pratik bir şekilde çözüp kendinizi geliştirebilirsiniz.
Küp nedir?
Tüm yüzleri kare olan dikdörtgen prizmasına küp denir. Bir küpün tüm yüzleri karelerden oluşur ve tüm ayrıt uzunlukları eşittir. Aşağıda görmüş olduğunuz resimde 11 farklı küp prizma açılımı vardır. Bu 11 farklı şeklin kenarlarını katladığınızda küp oluşturulmaktadır.
Adaçayı Faydaları – Adaçayının Faydaları Nelerdir, Ne İşe Yarar ve Hangi Hastalıklara İyi Gelir? Balkabağının Faydaları Nelerdir? Balkabağı Neye İyi Gelir, Hangi Hastalıklara Faydası Vardır?İki küp toplamı şu şekildedir: x³ + y³ = (x + y).(x² - xy + y²)
İki küp fark şu şekildedir: x³ - y³ = (x - y).(x² + xy + y²)
İki ifadenin toplamının küpü şu şekildedir: (x + y)³ = x³ + 3x² y + 3xy² + y³
İki ifadenin farkının küpü ise şu şekildedir: (x - y)³ = x³ - 3x² y + 3xy² - y³
Bunlar bilindiği takdirde soruların yapılması daha kolay bir hale gelmektedir. Aksi durumda ise zaman kaybı ya da soruyu yapamama kaçınılmaz olmaktadır. Bu formüllerin yanında aşağıdaki formüllerin de bilinmesi ya da öğrenilmesi soruların çözümüne katkı sunmaktadır.
Tam kare toplamı: (a + b)2 = a2 + b2 + 2.a.b
Tam kare farkı: (a – b)2 = a2 + b2 – 2.a.b
İki kare farkı: a2 – b2 = (a – b).(a + b)
İki kare toplamı: a2 + b2 = (a – b)2 + 2.a.b = (a + b)2 – 2.a.b
Böylelikle hangi sınav, test ya da soru olursa olsun iki küp toplamı ve farkı soruları rahatlıkla yapılabilmektedir. Gelen sorular içinde olduğu gibi formüllerden biri ya da birkaçı kullanılacağı gibi, sorudaki ifadede de formül için uygun denklem yaratılabilmektedir. Soruların geliş tarzı da hemen her zaman bu şekillerde olmaktadır.
Örnek Sorular
Soru1: x 3 - 8 ifadesinin çarpanlara ayrılmış hali nasıl bulunmaktadır?
Çözüm: öncelikle ifadenin iki tarafı a iki küp farkı şekline getirilmektedir. Buna göre 8 sayısı 2’nin küpü şeklinde yazılmaktadır. Buradan ifadenin x küp-2 küp olduğu ortaya çıkmaktadır. Sonrasında formülün uygulanması yapılmaktadır:
(x-2).(x² + 2x + 4) şeklinde bir açılım ortaya çıkacaktır.
Soru2: 8a3 - 64b3 ifadesinin eşiti nasıl bulunmaktadır?
Çözüm: öncelikle soruyu iki küp farkına çevirmek için 8a3 — 64b3 ifadesi (2a)3 — (4b)3 şeklinde yazılmaktadır. Bu durumda özdeşliği şu şekilde ortaya çıkmaktadır:
(2a)3 - (4b)3 = (2a - 4b). (4a2 + 8ab + 16b2)
Soru3: x2 + y2 + 4x – 6y + 12 ifadesinde en küçük değer ne olmaktadır?
Çözüm: öncelikle ifade tam kareye tamamlanmaktadır. Bu durumda şu ifade ortaya çıkmaktadır:
X2 + 4x + 4 + y2 – 6y + 9 – 1 = (x+2)2 + (y-3)2 – 1 buradan x değerine -2 ve y değerine 3 verildiğinde en küçük değerin -1 olduğu görülmektedir. Bundan dolayı cevap -1 olmaktadır.
Küp açılımı nedir?
Çarpanlara ayırma işlemlerini yapabilmek için küp açılımını bilmek gerekir. ALES KPSS, üniversite sınavlarında en fazla çıkan küp açılımları iki ifadenin küpünün toplamı ve iki ifadenin toplamının küpüdür.
Çarpanlara Ayırma Özdeşlikler Formülleri
Çarpanlara ayırma işlemini yaparken iki kare farkı, küpler toplamı / farkı gibi farklı özdeşliklerden yararlanılarak sorular çözülebilir. Çarpanlara ayırmada ortak çarpan parantezine alma ve gruplara ayırma yöntemiyle yapılabilir.
Ortak çarpan parantezine alma
2x+2y ifadesinde 2’ler ortaktır bu nedenle ifade 2 parantezine alınır
2.(x+y)=2x+2y
Gruplara ayırma
Bir diğer yöntem gruplara ayırmadır. Her terimde ortak harf, terim veya sayı bulunuyorsa ifadeleri ikişerli, üçerli veya daha fazla sayıda gruplara ayırabiliriz.
ax+ay+bx+by=a.(x+y)+b.(x+y)= (x+y).(a+b)
ax+ay+bx+by ifadesinde a’ların, b’lerin, x’lerin veya y’lerin ortaklığı kullanılarak paranteze alınır
Tam Küp Açılımı Formülleri
Küp açılımı için çarpanlara ayırma işlemi yapılmalıdır. KPSS, ALES ve üniversite sınavlarında iki ifadenin toplamı-farkının küpü ya da iki ifadenin küpünün toplamı-farkı şeklinde sorular çıkar.
İki küp toplamı: x³ + y³ = (x + y).(x² - xy + y²)
İki küp farkı: x³ - y³ = (x - y).(x² + xy + y²)
İki ifadenin toplamının küpü: (x + y)³ = x³ + 3x² y + 3xy² + y³
İki ifadenin farkının küpü: (x - y)³ = x³ - 3x² y + 3xy² - y³ şeklindedir.
Tam Kare Açılımı Formülleri
Tam kare toplamı: (a + b)2 = a2 + b2 + 2.a.b
Tam kare farkı: (a – b)2 = a2 + b2 – 2.a.b
İki kare farkı: a2 – b2 = (a – b).(a + b)
İki kare toplamı: a2 + b2 = (a – b)2 + 2.a.b = (a + b)2 – 2.a.b
Matematikte çarpanlara ayırma konusu bilmek çok önemlidir. Çünkü hemen hemen birçok soru çarpanlara ayırma formülleri üzerinden hesaplanır. En çok kullanmanız gereken çarpanlara ayırma formüllerinden biri de küp açılımı, iki küp farkı ve iki küp toplamı olacaktır. Bugünkü konu anlatım dersimizde küp açılımı konusunu detaylıca ele alacağız.
Öğrenci Yardım Konu Anlatım Yazıları
Hangi üniversite sınavı hazırlanıyorsanız hazırlanın, Matematik çözmeden iyi bir puan elde etmeniz neredeyse imkansızdır. TYT, AYT, KPSS, ALES, DGS ve aklınıza gelebilecek her sınavda adayların birbirini elemesini sağlayan ders matematiktir. Siz de rakiplerinizin önüne geçmek ve sınavda derece yapmak istiyorsanız iyi bir şekilde matematik öğrenmeli ve çözmelisiniz.
Matematik dersinin bazı kilit konuları vardır. Bu konular, neredeyse diğer tüm matematik konularının sorularında kolaylık sağlayacak formüllere sahiptir. Bu konulardan bir tanesi de çarpanlara ayırmadır. Üniversite sınavlarındaki denklem çözme soruları bazen karmaşık gelebiliyor. Bu karmaşıklıklardan başarılı bir şekilde sıyrılmanın yolu çarpanlara ayırma formüllerini o denklemlere uygun şekilde uygulamaktır.
Çarpanlara ayırma formülleri olarak sorularda en çok kullanılanlardan biri de küp açılımı formülüdür.
Çarpanlara ayırma formülleri arasında en çok kullananlar iki kare toplamı ve iki küp farkı, iki küp toplamı formülleridir. İki kare toplamı konu anlatımı için bağlantıya tıklayarak ilgili yazıya gidebilirsiniz.
İki küp farkı: a³ b³ = ( a b) . (a² + a . b + b²)
İki küp toplamı: a³ + b³ = (a + b) . (a² a . b + b²)
İki ifadenin toplamının küpü: (a + b)³ = a³ + 3 . a² . b + 3 . a . b² + b³
İki ifadenin farkının küpü: (a b)³ = a³ 3 . a² . b + 3 . a . b² b³
Yukarıda verilen iki küp farkı, iki küp toplamı, iki ifadenin toplamının küpü ve iki ifadenin farkını küpü formülleri, sınav sorularında en çok kullanacağınız formüllerdir. Bu formülleri ezberlemeniz gerekir. Ezberlemek zor geliyorsa soru çözümü yaparken yanınızda formül kağıdı bulundurun. Sorularda ihtiyacınız olduğu yerde formül kağıdına göz atarak formüllerin zihninize işlenmesini sağlayın. Böylece formülleri daha doğru şekilde öğrenmiş olursunuz.
Öğrenci Yardım Konu Anlatım Yazıları
Diğer konu anlatım yazılarına ulaşmak için üstteki butona tıklayın.
FacebookTwitterLinkedInTumblrPinterestRedditVKontakteE-Posta ile paylaşYazdır