Fibonacci dizisi, ortaokul yıllarından itibaren matematik derslerinde karşımıza çıkan bir dizidir. Bu dizi, ilk olarak Hintli matematikçiler tarafından inşa edilmiş olsa da adını Leonardo Fibonacci'den alır.[1] Fibonacci dizisi şöyle tanımlanır:
Dolayısıyla Fibonacci dizisinin ilk 17 elemanı şöyledir:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,,,,,,,,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,,,,,,,,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,,,,,,,
Matematiksel olarak ifade edecek olursak Fibonacci dizisi, n∈Nn\in\mathbb{N}n∈N için FnF_nFn, dizinin n.n.n. terimi olmak üzere F1=F2=1F_1=F_2=1F1=F2=1 ve ∀n≥2, Fn=Fn−1+Fn−2\forall n\geq 2,\ F_n=F_{n-1}+F_{n-2}∀n≥2, Fn=Fn−1+Fn−2 olarak tanımlanır.
Fibonacci dizisi oldukça ilginç özelliklere sahiptir; fakat bu yazının kapsamı dışında olduğundan Fibonacci dizisiyle alakalı en çok bilinen kavramlardan olan altın oran dışında kalan özelliklere değinmeyeceğiz.
Altın oran, matematikte en çok bilinen sabitlerde biridir. ϕ\phiϕ ile gösterilir ve yaklaşık değeri ϕ≃\phi\simeqϕ≃'dir. Altın oran, Fibonacci dizisiyle yakından ilişkilidir. Çünkü esas tanımı şu eşitlik ile verilir:
ϕ=limn→∞Fn+1Fn\displaystyle\phi=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}ϕ=n→∞limFnFn+1
Neden Desteğe İhtiyacımız Var?
Aslında maddi destek istememizin nedeni çok basit: Çünkü Evrim Ağacı, bizim tek mesleğimiz, tek gelir kaynağımız. Birçoklarının aksine bizler, sosyal medyada gördüğünüz makale ve videolarımızı hobi olarak, mesleğimizden arta kalan zamanlarda yapmıyoruz. Dolayısıyla bu işi sürdürebilmek için gelir elde etmemiz gerekiyor. Bunda elbette ki hiçbir sakınca yok; kimin, ne şartlar altında yayın yapmayı seçtiği büyük oranda bir tercih meselesi. Ne var ki biz, eğer ana mesleklerimizi icra edecek olursak Daha fazla göster
Aslında maddi destek istememizin nedeni çok basit: Çünkü Evrim Ağacı, bizim tek mesleğimiz, tek gelir kaynağımız. Birçoklarının aksine bizler, sosyal medyada gördüğünüz makale ve videolarımızı hobi olarak, mesleğimizden arta kalan zamanlarda yapmıyoruz. Dolayısıyla bu işi sürdürebilmek için gelir elde etmemiz gerekiyor.
Bunda elbette ki hiçbir sakınca yok; kimin, ne şartlar altında yayın yapmayı seçtiği büyük oranda bir tercih meselesi. Ne var ki biz, eğer ana mesleklerimizi icra edecek olursak (yani kendi mesleğimiz doğrultusunda bir iş sahibi olursak) Evrim Ağacı'na zaman ayıramayacağımızı, ayakta tutamayacağımızı biliyoruz. Çünkü az sonra detaylarını vereceğimiz üzere, Evrim Ağacı sosyal medyada denk geldiğiniz makale ve videolardan çok daha büyük, kapsamlı ve aşırı zaman alan bir bilim platformu projesi. Bu nedenle bizler, meslek olarak Evrim Ağacı'nı seçtik.
Eğer hem Evrim Ağacı'ndan hayatımızı idame ettirecek, mesleklerimizi bırakmayı en azından kısmen meşrulaştıracak ve mantıklı kılacak kadar bir gelir kaynağı elde edemezsek, mecburen Evrim Ağacı'nı bırakıp, kendi mesleklerimize döneceğiz. Ama bunu istemiyoruz ve bu nedenle didiniyoruz.
Destek Ol
Aynı zamanda ayrık matematik dersi alan okuyucunun dikkatini çekeceği üzere, Fibonacci dizisinin rekürsif olmayan bir versiyonu da mevcuttur, tanım olarak verilen rekürans bağıntısını çözmeye çalışırsak (homojen diferansiyel denklemlerin çözümüne oldukça benzer, Fn=xnF_n=x^nFn=xn formunda bir çözüm önerisi getirilir), x2−x−1=0x^2-x-1=0x2−x−1=0 denklemine ulaşırız. Bu ikinci dereceden denklemin çözümleri de
x1=ϕ, x2=−1ϕ\displaystyle x_1=\phi, \ x_2=-\frac{1}{\phi}x1=ϕ, x2=−ϕ1
olduğundan,
Fn=c1ϕn+c2(−1ϕ)n\displaystyle F_n=c_1\phi^n+c_2\left(-\frac{1}{\phi}\right)^nFn=c1ϕn+c2(−ϕ1)n
denklemine ulaşırız, başlangıç koşulları olan F1=F2=1F_1=F_2=1F1=F2=1 koşullarını kullanırsak bilinmeyen sabitleri
c1=15, c2=−15\displaystyle c_1=\frac{1}{\sqrt{5}},\ c_2=-\frac{1}{\sqrt{5}}c1=51, c2=−51
olarak buluruz. Altın oran hakkında çok daha fazla bilgiyi buradaki yazımızdan alabilirsiniz.
Matematik, en kaba tabiriyle basit şeyleri genelleştirme sporudur. Fibonacci dizisi de bundan nasibini almıştır. Tribonacci dizisi, Fibonacci dizisine benzer; fakat bu kez ardışık üç terim toplayarak sıradaki terimi oluştururuz. Ayrıca başlangıç koşullarında da ufak bir fark vardır: bazı kaynaklar ilk üç terimi kabul ederken, çoğu kaynak ilk üç terimi F0=0, F1=F2=1F_0=0,\ F_1=F_2=1F0=0, F1=F2=1 olarak almaktadır. Diğer terimler ise, sözel olarak da ifade ettiğimiz üzere, şöyle hesaplanır:
Fn=Fn−1+Fn−2+Fn−3F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}+F_{n-3}Fn=Fn−1+Fn−2+Fn−3
Bu rekürans bağıntısını çözmeye çalışalım. Fibonacci dizisi kısmında biraz bahsettiğimiz üzere, bu bağıntıyı çözmek için çözüm önerisi sunduğunuzda, karşınıza şu denklem çıkar:
x3−x2−x−1=0x^3-x^2-x-1=0x3−x2−x−1=0
Bu denklemi nümerik olarak çözersek, şu çözümlere ulaşırız:
x≃, x≃−−i, x≃−+ix\simeq, \ x\simeq - i, \ x\simeq + ix≃, x≃−−i, x≃−+i
Yeryüzü dağlarını, ovalarını, nehirlerini, kısaca fiziki durumunu gösteren ürünümüzü, hem gerçek bir eğitim materyali hem de şık bir aksesuar olarak kullanabilirsiniz.
ESTETİK: Modern seri ürünlerimiz grafik, eksen ve ayak tasarımlarıyla bütüncül ve yeni bir estetik yaklaşıma sahiptir. Geliştirmiş olduğumuz yeni üretim teknolojimiz sayesinde demonte yapıya sahip olan yeni serimizde ekvator çizgisinin ışıklandırılması tasarımın güzelliğini ön plana çıkarmaktadır.
ÇEVRE DOSTU: Gürbüz Yayınları olarak tüm ürünlerimizde orijinal ham madde kullanarak sebep olunabilecek çevresel sorunları kendi bünyemizde minimize ettiğini taahhüt ediyoruz. Aynı zamanda modern seri ürünlerimizin demonte yapısı sayesinde, paketleme ve stoklama organizasyonlarında daha az karton ambalaj kullanarak yeşili koruyan çevre dostu bir tutumu destekliyoruz.
Devamını Göster
₺
Satın AlTüm Ürünler
Buradaki reel çözüm, altın oran kadar olmasa da meşhur olmayı hak edecek türden bir sayıdır. Daha sonrasında da başlangıç koşulları yerine konursa, oldukça karmaşık olsa da yine de bir sonuç karşımıza çıkar.
NNN-Bonacci dizisi, Fibonacci ve Tribonacci dizilerinin genelleştirilmiş hâlidir. İlk NNN tane elemanın ilki ve diğerleri olarak belirlenir, daha sonraki elemanlar kendinden önceki NNN elemanın toplanmasıyla elde edilir. Matematiksel olarak ifade edecek olursak, başlangıç koşulları şöyledir:
F0=0, F1=F2==FN−1=1F_0=0,\ F_1=F_2==F_{N-1}=1F0=0, F1=F2==FN−1=1
Geri kalan elemanlar ise şu eşitlikle belirlenir:
Fn=∑k=n−Nn−1Fk\displaystyle F_n=\sum_{k=n-N}^{n-1} F_kFn=k=n−N∑n−1Fk
Dikkatinizi çektiyse biz bütün pozitif NNN tam sayıları için bir dizi tanımladık. Peki ya negatif olsaydı? Onun için de benzer bir mantık yürütülerek bir dizi üretilebilir.
Bu dizi için de rekürsif bağıntısını çözmeye çalıştığımızda, şu denkleme ulaşırız:
xN−xN−1−−x−1=0x^N-x^{N-1}x-1=0xN−xN−1−−x−1=0
Bu denklemi çözmeye kalktığımızda da, cebrin temel teoremine göre NNN tane çözüm bulmamız gerekir; fakat bazı çözümler kompleks sayılardır. Biz aşağıdaki Python kodu yardımıyla bu denklemin N=1,2,3,4,,10N=1,2,3,4,,10N=1,2,3,4,,10 için gerçek sayı çözümlerini yazdık.
import sympy as smpBu çözüm üzerinde şöyle bir gözlem yapmak mümkündür: NNN tek sayı iken reel kök sayısı 1, çift iken reel kök sayısı 2'dir. Ayrıca görebileceğiniz (ve bekleyeceğiniz) üzere 2−−Bonacci dizisi bildiğimiz Fibonacci dizisi ile, 3−−Bonacci dizisi ise Tribonacci dizisi aynıdır. Bunlara ilave olarak F1=1, Fn=Fn−1,n≥2F_1=1,\ F_n=F_{n-1}, n\geq 2F1=1, Fn=Fn−1,n≥2 ile bir 1−−Bonacci dizisi de tanımlamış olduk, bu dizi de aslında 1,1,1,1,1,,1,1,1,1,,1,1,1,1, dizisidir.
Alıntı Yap
Okundu Olarak İşaretle
Paylaş
Sonra Oku
Notlarım
Yazdır / PDF Olarak Kaydet
Bize Ulaş
Yukarı Zıpla
İçeriklerimizin bilimsel gerçekleri doğru bir şekilde yansıtması için en üst düzey çabayı gösteriyoruz. Gözünüze doğru gelmeyen bir şey varsa, mümkünse güvenilir kaynaklarınızla birlikte bize ulaşın!
Bu içeriğimizle ilgili bir sorunuz mu var? Buraya tıklayarak sorabilirsiniz.
Soru & Cevap Platformuna GitBu İçerik Size Ne Hissettirdi?
Kaynaklar ve İleri Okuma
Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?
Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:
seafoodplus.info kaynağı değiştir]
Fibonacci kimdir, Orta çağın en büyük matematikçilerinden biri olarak kabul edilir.
Fibonacci, yılında İtalyanın Pisa şehrinde doğmuştur. Tam adı Leonardo Fibonaccidir. Babası Cezayirde çalıştığı için çocukluğu orada geçmiştir. Babası Guglielmodur. Annesi Alessandra,Leonardo 9 yaşındayken öldü. Babası Guglielmo Cezayirin Bejaia limanı ile İtalyanın Bugia kenti arasında bir ticaret postasını idare etmekteydi. Babası burada oğluna hesap öğretmesi için bir Arap hoca tutar.
İlk matematik eğitimini Müslüman bilim adamlarından almıştır. Avrupada Roma rakamları kullanılırken ve sıfır kavramı ortalarda yokken Fibonacci Arap rakamlarını ve sıfırı öğrenmiştir. Leonardo Fibonacci bütün Akdeniz bölgesini gezdi ve dönemin önde gelen Arap matematikçiler ile çalışma olanağı buldu.
yılında Liber Abaci abaküs kitabı veya hesaplama kitabı anlamına gelen bir matematik kitabı yazmıştır. Bu kitapla Avrupaya Arap rakamlarını ve bugün kullandığımız sayı sistemini tanıtmıştır. Ayrıca ilkokulda öğrendiğimiz temel matematik (toplama, çarpma, çıkaı bir çok örnek vererek anlatmıştır. Günümüzde Arap-Hint sayıları diye bilinen modern ondalık sayı sistemini tanıtan bu kitap gündelik hayatta ticari defter tutma, ölçü birimlerini çevirme, faiz hesaplama, para bozma ve değiştirme ve benzeri işlemlerde önemini göstermiştir. Kitap Avrupada tahsilli insanlar arasında hızlı bir şekilde yayılmış ve Avrupanın müspet bilimde ilerlemesine önemli etkileri olmuştur.
Liber Abacide ayrıca kapalı bir ortamdaki bir tavşan ailesinin artışını, her tavşan çiftinin bir ay sonra bir yavru yapıp onun da 1 ay sonra 1 yavru yapacağı gibi ideal varsayımlar altında hesaplanmasını gösterir. Bu problemin çözümünde tavşan çiftlerinin sayısının artışını gösteren sayı dizisi Fibonacci sayıları, diziye de Fibonacci dizisi denir. Bu sayı dizisi 6. yüzyıldan beridir Hintli matematikçiler tarafından bilinmekteydi ancak Avrupaya ilk olarak Fibonacci tarafından tanıtılmıştır.
yılında Fibonacci Roma İmparatoru II. Frderickin huzuruna çağrılır. Frderickin bilim adamlarından biri tarafından sınava çekilir. Sonunda Fibonacci göze girer. Yıllarca hem imparatorla, hem de imparatorun dostlarıyla yazışır.
Fibonacci, yılında “Liber Quadratornum” (Kare Sayıların Kitabı) adında başka bir kitap yazdı. Ve bu kitabını imparatora ithaf eder. de Fibonacci, Liber Abaciyi yeniden gözden geçirir ve kitabın bu ikinci yazılımını imparatorun baş bilimcisi Michael Socotta ithaf eder.
yılında matematik alanındaki çalışmalarından ötürü kendisine Pisa şehri tarafından 20 Pisa Lirası yıllık maaş bağlandı. yüzyılda Pisada Fibonacci heykeli yapılmış ve buraya dikilmiştir.
Fibonacci, yılında Pisada ölmüştür.
İtalyan matematikçi Leonardo Fibonacci’nin (–) keşfettiği “Fibonacci dizisi”, kendinden önceki sayı ile toplanmasından oluşan bir sayı dizisidir. “Altın oran”, Fibonacci dizisindeki iki sayıdan büyük olanının küçük olana bölünmesi sonucu ortaya çıkan sayıdır.[1] Bu dizideki bir sayının kendinden bir önceki sayıya oranlanması sonucu altın oran (1,) elde edilir.[2]
Altın oranın, ilk kimler tarafından keşfedildiği bilinmemektedir, fakat Mısırlıların ve Yunanlıların bu oran üzerine yaptığı birtakım çalışmalar olduğu görülmektedir. Öklid, milattan önce ’lü yıllarda yazdığı Elementler adlı eserinde bir doğruyu 1, noktasından bölmekten bahsetmiş ve bunu “ekstrem ve önemli oranda” bölmek olarak adlandırmıştır.[3]
Birçok mimarî yapıda, birçok bitkide, Güneş Sistemimizde ve insan vücudunda altın orana rastlarız. Altın oran sayısı, matematikteki en gizemli sayı olarak kabul edilebilir. Leonardo da Vinci bu orana “İlahî oran” ismini vermiştir. Bu sayıya “saplantısı” olan Da Vinci, çeşitli araştırmalar yapmış ve dünyanın ilk altın oran ölçebilen pergelini icat etmiştir. Daha estetik ve güzel göründüğünden dolayı, hemen hemen bütün eserlerinde bu oranı kullanmaya özen göstermiştir.
Her şeyi nizam üzerine yaratan Rabbimiz, Furkan sûresinin ikinci âyetinde, “Her şeyi yaratıp nizam veren ve her şeyin varlığını bir ölçüye göre belirleyen O’dur.” buyurmuştur. Sadece bu âyette değil, Kur’ân-ı Kerim’in birçok yerinde, kâinattaki her şeyin belli bir ölçüde yaratıldığı vurgulanmıştır. Bilimsel araştırmalar sonucunda her şeyin belli bir oranda yaratıldığı ispatlanmıştır.
Gezegen yörüngelerinin eliptik yapısını keşfeden Johannes Kepler, Güneş Sisteminin yapısını altın oran kullanarak açıklamıştır. yılında Avustralya’daki Adelaide Üniversitesinde görev yapan Profesör Paul Davies tarafından yapılan araştırmada, dönen karadeliklerin termodinamiğinin altın oranla ilişkili olduğu görülmüştür.[4]
Rahman sûresinin beşinci âyetinde, Güneş ve Ay’ın belli bir hesaba bağlı olduğu vurgulanmıştır. Yapılan araştırmalara baktığımızda, Dünya ve Ay arasındaki mesafede de altın oranı görüyoruz. Dünya ve Ay’ın merkezleri bir hatla birleştirildiğinde oluşan dik üçgenin dik kenarı, altın oran sayısının karekökünü, üçgenin en uzun kenarı ise altın oranı vermektedir.[5]
Bitkilerde Altın Oran
Ayçiçeği sağa ve sola kıvrılan sarmal kollardan oluşur. Ancak soldaki spirallerin sayısı, sağdakilere eşit değildir. Soldaki ve sağdaki spiral kollar her zaman Fibonacci dizisinin ardışık iki sayısıdır.[6] Aynı şekilde, çam kozalağındaki taneler, soldan sağa ve sağdan sola sayıldığında çıkan sayı altın oran olacaktır.[7]
İnsanda Altın Oran
Araştırmacılar insan vücudunu incelemiş, anatomik özelliklerini tespit etmiş ve organların arasında da altın oran olduğu görülmüştür. Elimizde, baş parmağımız dışındaki parmaklarımızda bulunan boğumların ilk ikisinin toplamı, üçüncü boğumun ölçüsünü verir. Ayrıca insan yüzü de altın orana göre yaratılmıştır. Mesela üst çenedeki iki ön kesici dişin boylarına göre toplam genişliğinin altın oranı verdiğini görürüz.[8]
Akciğer ve kalb gibi organlarımızda da altın oran mevcuttur. – yılları arasında yapılan bir çalışmada, Dr. A.L Goldberger ve arkadaşları makalelerinde, akciğerin yapısında altın oranın varlığını tespit etmişlerdir. Soluk borusu, sağ ve sol olmak üzere iki ana bronşa ayrılır. Sağdaki kısa bronşun, soldaki uzun bronşa oranı her zaman 1/1,’dir.[9]
Görüldüğü üzere, kâinattaki her şey bir ölçüye göre yaratılmaktadır. Altın oran; sonsuz ilme, kudrete ve iradeye işaret eden bir hakikattir. Eğer Allah’tan başka bir ilah olsaydı, bu mükemmel nizam olabilir miydi?
[1]seafoodplus.info
[2]seafoodplus.info
[3]seafoodplus.info
[4]seafoodplus.info
[5]seafoodplus.info
[6]seafoodplus.info
[7]seafoodplus.info
[8]seafoodplus.info
[9]seafoodplus.info(VPK_PrG_OM_SL)_GC(PrG_KM_OM)_PN(SL).pdf
Post Views