mantık yada tablosu / Mantık Sorularını Çözerken Doğruluk Tablosu Yapmanın Kısa Yolu

Mantık Yada Tablosu

mantık yada tablosu

kaynağı değiştir]

Doğru veya yanlış mutlak olan ifadelere “Önerme” denir. Önermeler genel olarak harflerle (p, q, r, s.. vb.) gösterilirler. Önermeler, emir, ünlem ve soru cümleleri ile karıştırılmamalıdır. Peki bu önermeler nerelerde kullanılır? Önermeler birçok yerde karşımıza çıkabilir örnek vermek gerekirse; bilgisayarlar üzerinde Input/Output  birimlerinde, bilgisayarların depolama birimlerinde (Binary Logic) kullanılır. Önermelere geçmeden önce, Ünlem, soru ve emir cümlelerini önermeler ile karıştırmamak gerekir. Örneğin;

“Türkiye’nin yüz ölçümü , km²’dir.”

Bu cümle bir önermedir çünkü doğru veya yanlış bir kesin hüküm bildirmektedir.

“Bugün ne yapacaksın?”

Bu cümle ise bir soru cümlesidir, soru cümleleri kesinlikle bir önerme değildir, kesin bir hüküm içermez.

“Bana su getir!”

Bu cümle ise bir emir cümlesidir, emir cümleleri önermeler içine dahil edilmez.

“Ne kadar güzel!”

Bu cümle de bir ünlem cümlesidir, doğrulu veya yanlışlığı bilinemez, kesin bir hüküm içermediğinden önermeler içine dahil edilemez.

Bir önermenin değeri

Önermeler doğruluk değerlerinden oluşurlar, bir önerme iki kesinlikten birini içerebilir ya kesinlikle, doğrudur ya kesinlikle yanlıştır. Doğru olan önermeler “1” değeri ile veya “(D)”, yanlış olan önermeler ise “0” ile veya “(Y)” ile ifade edilir.

İki önermenin değeri doğru yani “1” ise, bu önermeler birbirine denktir, denk olan bu önermeler “≡” işareti ile gösterilir. Örneğin, p önermesi “Türkiye’nin başkenti Ankara’dır.”, q önermesi ise “Dünya geoit bir şekle sahiptir.” iki önerme de doğrudur, iki önermenin değeri de “1”dir.

p: Türkiye’nin başkenti Ankara’dır.

q: Dünya geoit bir şekle sahiptir.

dolayısıyla bu önermeler birbirine denktir. Yani p ≡ q olarak gösterilebilir.

Bir önermenin doğrulunun ya da yanlışlığının değiştirilmesine “Önermenin Olumsuzu/Değili” denir ve “tırnak (‘)” işareti ile gösterilir. Örneğin p: +2 = olsun önermenin değeri 1’dir. Ancak bu önermenin değili p’ olarak gösterilir ve değili 0’dır.

Yani, p ≡ 1 ise, p’ ≡ 0 olur.

Ayrıca, n tane önermenin 2n  tane doğruluk değeri vardır.

Birden fazla önermenin çeşitli bağlaçlarla birbirlerine bağlanmasıyla oluşan önermelere “Bileşik Önermeler” denir. Bu bağlaçları sırasıyla görelim;

1) Ve Bağlacı: p ve q iki önerme olsun, bu iki önermenin doğruluk değerinin 1 olduğu durumda 1, bir tanesinin veya her ikisinin de yanlış olması durumunda 0 döndüren bağlaçtır. “∧” ile gösterilir. Ve bağlacının doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir..

Mantık ve Tablosu

2) Veya Bağlacı: p ve q iki önerme olsun, bu iki önermenin doğruluk değerinin yalnız bir tanesinin 1 olması, 1 değeri döndürmesi için yeterlidir. “v” ile gösterilir. Veya bağlacının doğruluk tablosu aşağıdadır..

Ve / Veya Bağlacındaki Özellikler:

a) Tek Kuvvet Özelliği: Önermelerinin birbirlerine göre ve/veya bağlacındaki durumları birbirlerine denktir.
p v p ≡ p
p ∧ p ≡ p

b) Değişme Özelliği: Farklı iki önermenin ve/veya bağlacındaki konumları yer değiştirebilir.
p v q ≡ q v p
p ∧ q ≡ q ∧ p

c) Birleşme Özelliği: Farklı önermelerin parantez içinde veya dışında birleşme durumudur.
p v (r v q) ≡ (r v p) v q
p ∧ (r ∧ q) ≡ (r ∧ p) ∧ q

d) Dağılma Özelliği: Ve/Veya bağlaçlı bileşik önermelerinin birbirlerine dağılma durumudur.
p ∧ (q v r) ≡ (p ∧ q) v (p ∧ r)
p v (q ∧ r) ≡ (p v q) ∧ (p v r)

Ayrıca,
p v 0 ≡ p,    p v 1 ≡ 1,    p v p’ ≡ 1
p ∧ 0 ≡ 0,    p ∧ 1 ≡ p,   p ∧ p’ ≡ 0

Bileşik Önermelerde Olumsuzluk (Değili) Kavramı:
De Morgan Kuralı: Bileşik önermelerinin tümleyen alma durumuna “De Morgan Kuralı”denir. Kuralı De Morgan adlı İngiliz bir matematikçi bulduğundan “De Morgan Kuralı” adı verilmiştir. Kuralara göre değerler aşağıdaki tabloda gösterilmiştir.

De Morgan Kuralı Tablosu

3) Ya da Bağlacı: p ve q, birer önerme olsun bu önermelerden yalnızca birinin 1, olduğu durumlarda 1 değerini verir. Aynı anda iki doğruluk kabul edilemez. Örneğin, bugün yapmak için önünüzde iki seçenek var; biri telefonunuzla oynamak, diğeri ders çalışmak. Siz bu seçenekten birini seçmek zorundasınız ya telefonla oynamayı seçersiniz ya da ders çalışmayı seçersiniz; her iki eylem aynı anda yapılamaz. Ya da bağlacı “v” işareti ile gösterilir. Ya da tablosunun doğruluk değerleri aşağıdaki tablodaki gibidir.

Mantık yada Tablosu

4) İse Bağlacı (Şartlı/Koşullu Önerme): p ve q birer koşullu önerme olsun, p birinci önerme, q ise ikinci önerme, p≡1, q≡0 olduğu durumda 0, diğer bütün durumlarda 1 değeri döndüren bir bağlaçtır. “⇒” işareti ile gösterilir. p ⇒ q önermesi, p’ v q önermesine örnektir.  Doğruluk tablosu aşağıdadır..

p ⇒ q ≡ p’ v q

Ayrıca, p ⇒ q şartlı önermesinde;
p’ye “hipotez”, q’ya ise “hüküm” denir, eğer önermenin doğruluk değeri 1 ise, bu şartlı önermeye “gerektirme” adı verilir. Önermede q, p için gerek koşul, p önermesine ise, q için gerek koşul denir.
p ⇒ p ≡ 1
p ⇒ p’ ≡ p’
p’ ⇒ p ≡ p
1 ⇒ p ≡ p
p ⇒ 1 ≡ 1
0 ⇒ p ≡ 1
p ⇒ 0 ≡ p’

Koşullu Önermenin Karşıtı, Tersi ve Karşıt Tersi:
p ⇒ q önermesinin,
Karşıtı; q ⇒ p,
Tersi; p’ ⇒ q’
Karşıt Tersi; q’ ⇒ p’

5) Ancak ve Ancak Bağlacı (İki Yönlü Şartlı Önerme): p ve q birer önerme olmak üzere, p ve q’nun değerleri aynı (ikisi 1 veya ikisi 0) iken 1 değerini döndüren iki yönlü şartlı önermedir. “⇔” işareti ile gösterilir.

p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)

Ancak ve Ancak Bağlacı

Eğer p ⇔ q önermesinin doğruluk değeri 1 ise bu önermeye “çift gerektirme” adı verilir.
p ⇔ 1 ≡ p
p ⇔ 0 ≡ p’
p ⇔ p ≡ 1
p ⇔ p’ ≡ 0

Bir bileşik önermede, önermeyi oluşturan önermelerin tüm doğruluk değerleri için daima 1 dönüyorsa bu önermeye “Totoloji”, eğer tüm doğruluk değeri için 0 dönüyorsa “Çelişki”denir.
p v p’ ≡ 1 (Totoloji)
p ∧ p’ ≡ 0 (Çelişki)
p ⇔ p’ ≡ 0 (Çelişki)

Önüne gelen elemanların niceliğini bildiren “Her (∀)” ve “Bazı (∃)” sözcüklerine “Niceleyici”denir. Bazı niceleyicisinin tersi her, her niceleyecisinin tersi ise bazıdır.

“∃x, p(x)” önermesi “en az bir x için p(x)” diye okunur.
“∀x, p(x)” önermesi “her x için p(x) diye okunur.

“∃x, p(x)” önermesinin doğrulunu kanıtlamak için, p(x)’i doğru gösteren bir örnekleme kafidir.
“∀x, p(x)” önermesinin yanlışlığını göstermek için, p(x)i yanlış gösteren bir örnekleme kafidir.

Son olarak,
Bir kavramın niteliklerinin hepsini belirtmeye “tanım”,
Doğruluğu ispatsız olarak kabul edilen önermelere “Aksiyom”,
Doğruluğu ispatlanması gereken önermelere “Teorem” denir. Teoremin ispatlanacak kısmına “hüküm”, verilen kısmına ise “hipotez” adı verilir.

Mantık nedir?

Mantık doğru ve akla uygun şekilde düşünebilme yoludur.

Mantık zihni yanlışlıklardan korur ve insana serbest düşünme imkanı sağlar.

Önermeler ve Bileşik Önermeler     

Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere önerme adı verilir.

Matematikte önermeler genellikle p, q, r, s gibi harfler ile belirtilir.

Örnek olarak;

p : "Bir haftada 8 gün  vardır."

Bu bir önermedir, yanlış bir önerme olabilir fakat burada husus doğru olup olmadığına bakmak değildir.

Eğer bir hükmü var ise o cümle önermedir.

-Günaydın!

Bu cümle bir önerme değildir. Bir hüküm bildirmez, iletişimde kullanılan gündelik bir cümledir.

Önerme

Bir önermenin doğru ya da yanlış olmasına doğruluk değeri denir. 

* Eğer bir önerme doğruysa doğruluk değeri D veya 1 olarak gösterilir.

Önerme yanlış ise doğruluk değeri Y veya 0 olarak gösterilir.

Bir p önermesinin doğruluk değeri D ise (veya 1) "p &#; 1" olarak gösterilir. "&#;" işareti denktir demektir. "p önermesi 1'e denktir." şeklinde okunur.

Bir p önermesinin doğruluk değeri Y ise (veya 0) "p &#; 0" olarak gösterilir.

"p önermesi 0'a denktir." şeklinde okunur.

Örnek olarak;

p : Türkiye'nin başkenti Ankara'dır.

p &#; 1 olarak gösterilir.

Doğruluk değeri aynı olan iki önermeye denk önermeler denir. 

Eğer p önermesi q önermesine denkse bu p &#; q olarak gösterilir.

Eğer p önermesi q önermesine denk değilse bu p &#;/ q olarak gösterilir. 

Örnek olarak;

p : "9 tek bir sayıdır."

q : "Bir karenin iç açılarının toplamı derecedir."

p &#; q (Denk önermeler.)

* Önermelerin değerlerinin gösterildiği tabloya doğruluk tablosu denir.

p önermesinin alabileceği iki değer vardır. Bu yüzden p tablosu aşağıdaki şekildedir.

Bu tablo 2^n (üssü) olarak ifade edilir. n değeri olan önerme sayısına bağlı olarak değişir.  Bu tabloya göre 2&#; tane durum vardır. 

Başka bir örnek olarak;

p ve q önermelerini doğruluk tablosu olarak göstermek istersek:


Üstteki görsel olarak oluşturulacaktır. Durum sayısı 2&#; yani 4 farklı doğruluk durumu vardır.

Soru;

6 tane önermenin birbirine göre kaç farklı doğruluk durumu vardır?

Cevap:

2&#; = 64 tane doğruluk durumu vardır. 

* Bir önermenin hükmü yerine olumsuzunun kullanılmasına o önermenin değili (olumsuzu) denir. "p" önermesinin değili p' veya ~p olarak gösterilir.

p önermesi doğru ise doğruluk değeri 1'dir ve p'önermesinin doğruluk değeri 0'dır. Bir önermenin değilinin değilikendine denktir. [(p')' &#; p]

Bileşik Önermeler

Önermelerin birbirine "ve", "veya", "ya da", "ise", "ancak ve ancak" gibi bağlaçlarla birbirine bağlanmasıyla elde edilen yeni önermeyebileşik önerme denir.

"ve" Bağlacı

p ile q önermesinin birbirine "ve" bağlacı ile bağlanmasıyla oluşan bileşik önermedir. p &#; q olarak gösterilir. (Ters V)


Doğruluk tablosu görülen şekildedir. Her ikisi doğru ise 1'dir, diğerleri 0'dır.

Aklınızda şöyle tutabilirsiniz. "A ve B öğrencisi gelsin. Birisi gelirse olmaz. İkisi gelmezse de olmaz."

Önemli Notlar: 

\displaystyle p\wedge p'\equiv 0

\displaystyle p\wedge 0\equiv 0

\displaystyle p\wedge 1\equiv p

Özellikleri:

1. Tek Kuvvet Özelliği 

\displaystyle p\wedge p\equiv p

2. Değişme Özelliği

\displaystyle p\wedge q\equiv q\wedge p

3. Birleşme Özelliği

Her p, q, r önermesi için; \displaystyle (p\wedge q)\wedge r\equiv p\wedge (q\wedge r)

"veya" Bağlacı

p ile q önermesinin birbirine "veya" bağlacı ile bağlanmasıyla oluşan bileşik önermedir. p V q olarak gösterilir.

p V q bileşik önermesi; p ile q önermelerinden en az biri doğru iken doğru, her ikisi de yanlış iken yanlıştır.

\displaystyle p\vee p'\equiv 1

\displaystyle p\vee 0\equiv p

\displaystyle p\vee 1\equiv 1

Özellikleri : 

1. Tek Kuvvet Özelliği

 \displaystyle p\vee p\equiv p 

2. Değişme Özelliği

 \displaystyle p\vee q\equiv q\vee p 

3. Birleşme Özelliği

Her p, q, r önermesi için; \displaystyle (p\vee q)\vee r\equiv p\vee (q\vee r)

Dağılma Özelliği

&#;ve&#;nin &#;veya&#; üzerine soldan dağılma özelliği \displaystyle p\wedge (q\vee r)\equiv (p\wedge q)\vee (p\wedge r)  dir.
Bunu doğruluk tablosu ile gösterelim.

&#;ve&#; nin &#;veya&#; üzerine sağdan dağılma özelliği

\displaystyle (p\vee q)\wedge r\equiv (p\wedge r)\vee (q\wedge r)  

2.&#;veya&#; nın &#;ve&#; üzerine soldan dağılma özelliği

\displaystyle p\vee (q\wedge r)\equiv (p\vee q)\wedge (p\vee r) 

&#;veya&#; nın &#;ve&#; üzerine sağdan dağılma özelliği

\displaystyle (p\wedge q)\vee r\equiv (p\vee r)\wedge (q\vee r) 

De Morgan Kuralları : 

p veya q nun değili:   \displaystyle (p\vee q)'\equiv p'\wedge q'     

p ve q nun değili:   \displaystyle (p\wedge q)'\equiv p'\vee q'    

"ya da" Bağlacı

p ile q önermelerinin &#;ya da&#; bağlacı ile bağlanmasından oluşan bileşik önermeye, p ya da q bileşik önermesi denir ve önerme \displaystyle p\text{ }\underline{\vee }\text{ }q biçiminde gösterilir.
\displaystyle p\text{ }\underline{\vee }\text{ }q bileşik önermesi; p ile q önermelerinden yalnız biri doğru iken doğru, diğer durumlarda yanlıştır. 

Örnek:

&#;Babası, Büşra&#;ya cep telefonu ya da bilgisayar aldı.&#; ifadesindeki olası durumlar:

Babası&#;nın Büşra&#;ya cep telefonu alıp bilgisayar almamış olması doğru,
Bilgisayar alıp cep telefonu almamış olması doğru,
Hem cep telefonu hem de bilgisayar almış olması yanlış,
Her ikisini almamış olması yanlış bir ifade belirtir.
(Yalnız birinin alındığı durumda ifadenin doğru olduğuna dikkat ediniz.)

Kaynak : seafoodplus.info

\displaystyle p\text{ }\underline{\vee }\text{ p }\equiv \text{ 0}

\displaystyle p\text{ }\underline{\vee }\text{ p }\!\!'\!\!\text{ }\equiv \text{ 1}

\displaystyle p\text{ }\underline{\vee }\text{ 1 }\equiv \text{ p }\!\!'\!\!\text{ }

\displaystyle p\text{ }\underline{\vee }\text{ 0 }\equiv \text{ p}

Özellikleri : 

1. Değişme Özelliği

\displaystyle p\text{ }\underline{\vee }\text{ q }\equiv \text{ }q\text{ }\underline{\vee }\text{ p}

2. Birleşme Özelliği

\displaystyle (p\text{ }\underline{\vee }\text{ q) }\underline{\vee }\text{ r }\equiv p\text{ }\underline{\vee }\text{ (}q\text{ }\underline{\vee }\text{ r)}



Koşullu Önerme ve İki Yönlü Koşullu Önerme

p ile q önermelerinin &#;&#;ise&#;&#; bağlacı ile bağlanmasından oluşan bileşik önermeye koşullu önerme denir ve bu koşullu önerme \displaystyle p\Rightarrow q biçiminde gösterilir.
\displaystyle p\Rightarrow q önermesi; p doğru, q yanlış iken yanlış diğer durumlarda doğrudur.

Önemli :

\displaystyle p\Rightarrow q önermesi \displaystyle p'\vee q önermesine denktir.

Notlar :

\displaystyle p\Rightarrow p\equiv 1

\displaystyle p\Rightarrow 0\equiv p'

\displaystyle 0\Rightarrow p\equiv 1

\displaystyle p\Rightarrow 1\equiv 1

\displaystyle 1\Rightarrow p\equiv p

Önermenin Karşıtı, Tersi ve Karşıt Tersi
- \displaystyle p\Rightarrow q önermesinin karşıtı \displaystyle q\Rightarrow p  
- \displaystyle p\Rightarrow q önermesinin tersi \displaystyle p'\Rightarrow q' 
- \displaystyle p\Rightarrow q önermesinin karşıt tersi \displaystyle q'\Rightarrow p' 

Not:

Bir önermenin doğruluk değeri ile karşıt tersinin doğruluk değeri aynıdır.

\displaystyle p\Rightarrow q\equiv q'\Rightarrow p'

\displaystyle p\Rightarrow q koşullu önermesinin doğruluk değeri 1 ise bu koşullu önermeye gerektirme denir.

&#;ancak ve ancak&#; Bağlacı 

p ve q iki önerme olmak üzere \displaystyle p\Rightarrow q ile \displaystyle \text{q}\Rightarrow \text{p} koşullu önermelerinin \displaystyle \wedge bağlacı ile birbirine bağlanmasından oluşan \displaystyle \text{(}p\Rightarrow q\text{)}\wedge \text{(q}\Rightarrow \text{p)} bileşik önermesine iki yönlü koşullu önerme denir.

İki yönlü koşullu önerme \displaystyle p\Leftrightarrow q şeklinde yazılır ve &#;p ancak ve ancak q&#; olarak okunur.

\displaystyle p\Leftrightarrow q iki yönlü koşullu önermesi p ile q nün doğruluk değerleri aynı iken doğru, farklı iken yanlıştır.

Not:

\displaystyle p\Leftrightarrow q\equiv \text{(}p\Rightarrow q\text{)}\wedge \text{(q}\Rightarrow \text{p)}

Özellikleri :

\displaystyle p\Leftrightarrow q\equiv q\Leftrightarrow p

\displaystyle p\Leftrightarrow p\equiv 1

\displaystyle p\Leftrightarrow p'\equiv 0

\displaystyle p\Leftrightarrow q\equiv p'\Leftrightarrow q'

\displaystyle (p\Leftrightarrow q)'\equiv p'\Leftrightarrow q\equiv p\Leftrightarrow q'

\displaystyle p\Leftrightarrow 0\equiv p'

\displaystyle p\Leftrightarrow 1\equiv p

\displaystyle p\Leftrightarrow q  önermesinin doğruluk değeri 1 ise bu önermeye çift gerektirme denir.

Her (\displaystyle \forall) ve Bazı (\displaystyle \exists) Niceleyicileri

Açık Önerme

İçinde en az bir değişken bulunan ve bu değişkenlere verilen değerlerle doğru ya da yanlış olduğu belirlenen önermelere açık önerme denir.

Bir açık önermeyi doğrulayan elemanların kümesine o açık önermenin doğruluk kümesi denir.
Bir a sayısı p(x) açık önermesinin doğruluk kümesinin elemanı ise p(a)\displaystyle \equiv1 
Bir b sayısı p(x) açık önermesinin doğruluk kümesinin elemanı değil ise p(b) \displaystyle \equiv 0 

Her denklem ve her eşitsizlik aynı zamanda bir açık önerme belirtir.
Denklemler ve eşitsizliklerin çözüm kümeleri ise bu açık önermelerin doğruluk kümesidir.

Niceleyiciler

&#;Her&#; sözcüğü, bütün ve tamamı sözcükleri ile aynı anlamdadır.
&#;Her&#; niceleyicisi, önüne geldiği elemanların tamamını anlattığı için bu niceleyiciye evrensel niceleyici denir ve &#;\displaystyle \forall&#; sembolü ile gösterilir.

&#;Bazı&#; sözcüğü, en az bir ifadesi ile aynı anlamdadır.
&#;Bazı&#; niceleyicisi, en az bir tane anlamında kullanıldığı için bu niceleyiciye varlıksal niceleyici denir ve &#; \displaystyle \exists &#; sembolü ile gösterilir.

Not:

Doğal sayılar kümesi \displaystyle \mathbb{N},
tam sayılar kümesi \displaystyle \mathbb{Z},
rasyonel sayılar kümesi \displaystyle \mathbb{Q},
gerçek sayılar kümesi \displaystyle \mathbb{R}  sembolleri ile gösterilir.

Açık Önermenin Değili (Olumsuzu)

\displaystyle \existsx, p(x) açık önermesinin değili \displaystyle \forallx,p'(x) tir. Bu özellik sembol ile

\displaystyle \left[ {\exists x,\text{ p(x)}} \right]'\equiv \forall x,\text{ p }\!\!'\!\!\text{ (x)} şeklinde ifade edilir.


\displaystyle \forallx,p(x) açık önermesinin değili \displaystyle \existsx, p'(x) tir. Bu özellik sembol ile

\displaystyle \left[ {\forall x,\text{ p(x)}} \right]'\equiv \exists x,\text{ p }\!\!'\!\!\text{ (x)} şeklinde ifade edilir.

Örnek;

\displaystyle p(x):\text{ ''}\exists \text{x}\in \mathbb{Z},\text{ }{{x}^{2}}+x>0'' değili ?

\displaystyle p'(x):\text{ ''}\forall \text{x}\in \mathbb{Z},\text{ }{{x}^{2}}+x\le 0''

Konuyu burada bitiriyorum. Ufak bir kısmı eklemedim fakat isteyen Tanım, Aksiyom, Teorem ve İspat kavramlarını araştırabilir. Okuduğunuz için teşekkürler.

Ya Da Bağlacı

\( p \) ile \( q \) önermelerinin "ya da" bağlacı ile bağlanmasıyla elde edilen bileşik önermeye "\( p \) ya da \( q \)" önermesi denir. "Ya da" bağlacı "\( p \veebar q \)" ya da "\( p \oplus q \)" biçiminde gösterilir.

\( p \veebar q \) önermesi, önermeler birbirine denk iken yanlış, diğer durumlarda doğrudur. "Veya" ve "ya da" bağlaçları arasındaki tek fark, her iki önermenin de doğru olduğu durumda oluşmaktadır. Bu farkın net görülebilmesi için aşağıdaki "ya da" doğruluk tablosuna "veya" sütunu da eklenmiştir.

\( p \veebar q \) önermesi için doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir.

\( p \)\( q \)\( p \veebar q \)\( p \lor q \)
\( 1 \)\( 1 \)\( 0 \)\( 1 \)
\( 1 \)\( 0 \)\( 1 \)\( 1 \)
\( 0 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 1 \)
\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)

\( p \veebar q \) bileşik önermesi için aşağıda bazı örnekler verilmiştir.

Bileşik ÖnermeDoğruluk DeğeriAçıklama
1 km m'dir YA DA 1 kg gr'dır.\( 1 \veebar 1 \equiv 0 \)Her iki önerme de doğrudur, dolayısıyla bileşik önerme yanlıştır.
\( \sqrt{2} \) irrasyonel bir sayıdır YA DA \( 0, \) irrasyonel bir sayıdır.\( 1 \veebar 0 \equiv 1 \)Önermelerden sadece biri doğru olduğu için bileşik önerme doğrudur.
EBOB(12, 18) = 3 YA DA EKOK(12, 18) = 36\( 0 \veebar 1 \equiv 1 \)Önermelerden sadece biri doğru olduğu için bileşik önerme doğrudur.
Bir noktadan geçen tek bir doğru çizilebilir YA DA İki noktadan geçen tek bir parabol çizilebilir.\( 0 \veebar 0 \equiv 0 \)Her iki önerme de yanlıştır, dolayısıyla bileşik önerme de yanlıştır.

Ya Da Bağlacının Değili

"Ya da" bileşik önermesinin değilini aşağıdaki iki şekilde yazabiliriz.

\( (p \veebar q)' \equiv p' \veebar q \equiv p \veebar q' \)

ÖRNEK:

\( p \): Neşe her sabah kahve içer.

\( q \): Neşe her sabah çay içer.

\( p \veebar q \): Neşe her sabah kahve ya da çay içer.

\( p' \veebar q \): Neşe her sabah kahve içmez ya da çay içer.

\( p \veebar q' \): Neşe her sabah kahve içer ya da çay içmez.

İSPATI GÖSTER

Aşağıdaki tabloda renkli işaretlenmiş üç sütunu karşılaştırdığımızda, her satırda aynı sonucu elde ettiğimizi, dolayısıyla bu bileşik önermelerin denk olduğunu söyleyebiliriz.

\( p \)\( q \)\( p \veebar q \)\( (p \veebar q)' \)\( p' \veebar q \)\( p \veebar q' \)
\( 1 \)\( 1 \)\( 0 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 1 \)
\( 1 \)\( 0 \)\( 1 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)
\( 0 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)
\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 1 \)

İspatta hata bildirin

Ya Da Bağlacı İşlem Özellikleri

"Ya da" işleminin değişme özelliği vardır.

\( p \veebar q \equiv q \veebar p \)

İSPATI GÖSTER

Aşağıdaki tabloda renkli işaretlenmiş iki kolonu karşılaştırdığımızda, her satırda aynı sonucu elde ettiğimizi, dolayısıyla önermelerin sırasının sonucu değiştirmediğini ve "ya da" işleminin değişme özelliğine sahip olduğunu söyleyebiliriz.

\( p \)\( q \)\( p \veebar q \)\( q \veebar p \)
\( 1 \)\( 1 \)\( 0 \)\( 0 \)
\( 1 \)\( 0 \)\( 1 \)\( 1 \)
\( 0 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 1 \)
\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)

İspatta hata bildirin

"Ya da" işleminin birleşme özelliği vardır.

\( (p \veebar q) \veebar r \equiv p \veebar (q \veebar r) \)

İSPATI GÖSTER

Aşağıdaki tabloda renkli işaretlenmiş iki kolonu karşılaştırdığımızda, her satırda aynı sonucu elde ettiğimizi, dolayısıyla işlem sırasının sonucu değiştirmediğini ve "ya da" işleminin birleşme özelliğine sahip olduğunu söyleyebiliriz.

\( p \)\( q \)\( r \)\( p \veebar q \)\( q \veebar r \)\( (p \veebar q) \veebar r \)\( p \veebar (q \veebar r) \)
\( 1 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 1 \)\( 1 \)
\( 1 \)\( 1 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 1 \)\( 0 \)\( 0 \)
\( 1 \)\( 0 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 0 \)\( 0 \)
\( 1 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 1 \)\( 0 \)\( 1 \)\( 1 \)
\( 0 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)
\( 0 \)\( 1 \)\( 0 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 1 \)
\( 0 \)\( 0 \)\( 1 \)\( 0 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 1 \)
\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)

İspatta hata bildirin

"Ya da" işleminin "ve" işlemi üzerinde soldan ve sağdan dağılma özelliği yoktur.

\( p \veebar (q \land r) \not\equiv (p \veebar q) \land (p \veebar r) \)

\( (p \land q) \veebar r \not\equiv (p \veebar r) \land (q \veebar r) \)

İSPATI GÖSTER

Aşağıdaki tabloda renkli işaretlenmiş iki kolonu karşılaştırdığımızda, her satırda aynı sonucu elde etmediğimizi, dolayısıyla "ya da" işleminin "ve" işlemi üzerinde soldan dağılma özelliği olmadığını söyleyebiliriz.

\( p \)\( q \)\( r \)\( q \land r \)\( p \veebar q \)\( p \veebar r \)\( p \veebar (q \land r) \)\( (p \veebar q) \land (p \veebar r) \)
\( 1 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)
\( 1 \)\( 1 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 0 \)
\( 1 \)\( 0 \)\( 1 \)\( 0 \)\( 1 \)\( 0 \)\( 1 \)\( 0 \)
\( 1 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 1 \)
\( 0 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 1 \)
\( 0 \)\( 1 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 1 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)
\( 0 \)\( 0 \)\( 1 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 1 \)\( 0 \)\( 0 \)
\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)

Aşağıdaki tabloda renkli işaretlenmiş iki kolonu karşılaştırdığımızda, her satırda aynı sonucu elde etmediğimizi, dolayısıyla "ya da" işleminin "ve" işlemi üzerinde sağdan dağılma özelliği olmadığını söyleyebiliriz.

\( p \)\( q \)\( r \)\( p \land q \)\( p \veebar r \)\( q \veebar r \)\( (p \land q) \veebar r \)\( (p \veebar r) \land (q \veebar r) \)
\( 1 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)
\( 1 \)\( 1 \)\( 0 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 1 \)
\( 1 \)\( 0 \)\( 1 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 0 \)
\( 1 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 1 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)
\( 0 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 0 \)\( 1 \)\( 0 \)\( 1 \)\( 0 \)
\( 0 \)\( 1 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 1 \)\( 0 \)\( 0 \)
\( 0 \)\( 0 \)\( 1 \)\( 0 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 1 \)
\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)

İspatta hata bildirin

"Ya da" işleminin "veya" işlemi üzerinde soldan ve sağdan dağılma özelliği yoktur.

\( p \veebar (q \lor r) \not\equiv (p \veebar q) \lor (p \veebar r) \)

\( (p \lor q) \veebar r \not\equiv (p \veebar r) \lor (q \veebar r) \)

İSPATI GÖSTER

Aşağıdaki tabloda renkli işaretlenmiş iki kolonu karşılaştırdığımızda, her satırda aynı sonucu elde etmediğimizi, dolayısıyla "ya da" işleminin "veya" işlemi üzerinde soldan dağılma özelliği olmadığını söyleyebiliriz.

\( p \)\( q \)\( r \)\( q \lor r \)\( p \veebar q \)\( p \veebar r \)\( p \veebar (q \lor r) \)\( (p \veebar q) \lor (p \veebar r) \)
\( 1 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)
\( 1 \)\( 1 \)\( 0 \)\( 1 \)\( 0 \)\( 1 \)\( 0 \)\( 1 \)
\( 1 \)\( 0 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 1 \)
\( 1 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 1 \)
\( 0 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 1 \)
\( 0 \)\( 1 \)\( 0 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 0 \)\( 1 \)\( 1 \)
\( 0 \)\( 0 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 0 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 1 \)
\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)

Aşağıdaki tabloda renkli işaretlenmiş iki kolonu karşılaştırdığımızda, her satırda aynı sonucu elde etmediğimizi, dolayısıyla "ya da" işleminin "veya" işlemi üzerinde sağdan dağılma özelliği olmadığını söyleyebiliriz.

\( p \)\( q \)\( r \)\( p \lor q \)\( p \veebar r \)\( q \veebar r \)\( (p \lor q) \veebar r \)\( (p \veebar r) \lor (q \veebar r) \)
\( 1 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)
\( 1 \)\( 1 \)\( 0 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 1 \)
\( 1 \)\( 0 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 0 \)\( 1 \)\( 0 \)\( 1 \)
\( 1 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 0 \)\( 1 \)\( 1 \)
\( 0 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 1 \)
\( 0 \)\( 1 \)\( 0 \)\( 1 \)\( 0 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 1 \)
\( 0 \)\( 0 \)\( 1 \)\( 0 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 1 \)
\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)

İspatta hata bildirin

"Ya da" işleminin birim (etkisiz) elemanı 0'dır.

\( p \veebar 0 \equiv 0 \veebar p \equiv p \)

İSPATI GÖSTER

Aşağıdaki tabloda renkli işaretlenmiş iki kolonu karşılaştırdığımızda, her satırda aynı sonucu elde ettiğimizi, dolayısıyla "ya da" işleminin birim (etkisiz) elemanının 0 olduğunu söyleyebiliriz.

\( p \)\( 0 \)\( p \veebar 0 \)
\( 1 \)\( 0 \)\( 1 \)
\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)

İspatta hata bildirin

Ya Da Bağlacı İşlem Kuralları

"Ya da" bağlacı ile ilgili bazı kurallar aşağıdaki gibidir.

\( p \veebar p \equiv 0 \)

\( p \veebar p' \equiv 1 \)

\( p \veebar 1 \equiv p' \)

\( p \veebar 0 \equiv p \)

"Ya da" bağlacının değişme ve birleşme özellikleri olduğu için önermeler arasındaki parantez kaydırılabilir ya da kaldırılabilir ve önermelerin sırası değiştirilebilir.

\( (p \veebar q) \veebar r \equiv p \veebar q \veebar r \equiv r \veebar p \veebar q \)

"Ya da", "ve" ve "veya" bağlaçlarını birlikte içeren bir bileşik önermede parantezlerin yeri önemlidir ve parantezler kaldırılarak işlem sırası değiştirilemez. Aşağıda parantezlerin yerinin değiştirilmesinin önermenin doğruluk değerini değiştirebileceğine dair birer örnek verilmiştir.

ÖRNEK:

\( p \equiv 1, \quad q \equiv 1, \quad r \equiv 1 \) ise,

\( (p \veebar q) \lor r \equiv (1 \veebar 1) \lor 1 \equiv 1 \)

\( p \veebar (q \lor r) \equiv 1 \veebar (1 \lor 1) \equiv 0 \)

\( p \equiv 1, \quad q \equiv 0, \quad r \equiv 0 \) ise,

\( (p \veebar q) \land r \equiv (1 \veebar 0) \land 0 \equiv 0 \)

\( p \veebar (q \land r) \equiv 1 \veebar (0 \land 0) \equiv 1 \)

SORU 1:

Aşağıdaki bileşik önermenin her zaman \( q \)'ya denk olduğunu gösterelim.

\( p \veebar (p \veebar q) \equiv q \)

Çözümü Göster

Tabloda renkli işaretlenmiş iki kolonun dört durumda da denk olduğunu görebiliriz.

\( p \)\( q \)\( p \veebar q \)\( p \veebar (p \veebar q) \)
\( 1 \)\( 1 \)\( 0 \)\( 1 \)
\( 1 \)\( 0 \)\( 1 \)\( 0 \)
\( 0 \)\( 1 \)\( 1 \)\( 1 \)
\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)\( 0 \)

Soru sorun   Soruda hata bildirin

SORU 2:

\( (r \veebar r') \land (p \veebar 1) \) önermesinin en sade hali nedir?

Çözümü Göster

SORU 3:

\( [(p' \lor q)' \land q] \veebar q \) önermesinin en sade hali nedir?

Çözümü Göster

\( [(p' \lor q)' \land q] \veebar q \)

En içteki paranteze De Morgan kuralını uygulayalım.

\( \equiv [(p \land q') \land q] \veebar q \)

"Ve" işleminin birleşme özelliği olduğu için parantezi kaldırabiliriz.

\( \equiv [p \land q' \land q] \veebar q \)

\( \equiv [p \land 0] \veebar q \)

\( \equiv 0 \veebar q \equiv q \)

Soru sorun   Soruda hata bildirin

nest...

144865 144866 144867 144868 144869

batman iftar saati 2021 viranşehir kaç kilometre seferberlik ne demek namaz nasıl kılınır ve hangi dualar okunur özel jimer anlamlı bayram mesajı maxoak 50.000 mah powerbank cin tırnağı nedir