A, B, C, K birer doğal sayı ve B eşit değildir 0 olmak üzere, Bölme işleminde; A: bölünen, B: bölen, C: bölüm, K: kalan diye adlandırılır. Bölme işleminde; A= B . C + K Bölünen sayı; bölen ile bölümün çarpımının, kalan ile toplamına eşittir. K < B Kalan, bölenden küçüktür. Kalan, bölümden küçük ise bölen ile bölümün yerlerinin değiştirilmesi kalanı değiştirmez.
Örnek: Bir bölme işleminde; bölen 12, bölüm 5 ve kalan 2 dir. Buna göre, bölünen sayıyı bulalım.
Çözüm: Bölünen sayı, bölen ile bölümün çarpımına kalanın eklenmesiyle bulunur. Bir bölme işleminde; bölen 12, bölüm 5 ve kalan 2 olduğuna göre, bölünen sayı, + + dir.
Çift sayılar 2 ile tam bölünür. Tek sayıların 2 ile bölümünden elde edilen kalan 1 dir.
Örnek: , , , 24, sayıları çift olduğu için 2 ile tam olarak bölünebilir.
Örnek: 41, , , , 99 sayıları tek olduğu için 2 ile tam olarak bölünemez. Bu sayıların 2 ile bölümlerinden kalan 1 dir.
Örnek: sayısı 3 ile tam bölünür. Çünkü, bu sayının rakamlarının toplamı olan 6 + 5 + 1 = 12 sayısı 3 ün tam katıdır.
Örnek: sayısının 3 ile bölümünden kalanı bulalım: 7 + 0 + 8 + 3 + 2 + 5 z 25 sayısının 3 ile bölümünden kalan 1 olduğu için, sayısının 3 ile bölümünden kalan da 1 dir.
Örnek: Dört basamaklı A doğal sayısı 3 ile tam bölünebildiğine göre, A nın alabileceği değerleri bulalım.
Onlar basamağındaki rakamı ile birler basamağındaki rakamının (son iki rakam) belirttiği sayı, 4 ün katı olan sayılar, 4 ile tam bölünebilir.
Örnek: sayısının 4 ile bölümünden kalanı bulalım: sayısının onlar basamağındaki rakam ile birler basamağındaki rakamın belirttiği sayı 27 dir. 27 nin 4 ile bölümünden kalan 3 olduğu için, sayısının 4 ile bölümünden kalan da 3 tür.
Örnek: Beş basamaklı A6 sayısı 4 ile tam bölünebilen bir sayı olduğuna göre, A nın kaç farklı değer alacağını bulalım.
Çözüm: A6 sayısı 4 ile bölünebildiğine göre, A6 sayısı 4 ün katıdır. Buna göre, A6 = 4-k, k e N olmalıdır.
k=4 için A=1
k=9 için A=3
k=14 için A=5
k=19 için A=7
k=24 için A=9 olur.
k nın diğer değerleri için A bulunamayacağından, A rakamı 5 farklı değer alabilir.
Birler basamağında 0 veya 5 rakamı bulunan sayılar 5 ile tam bölünürler. Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, 0 sayının birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalandır.
Örnek: Dört basamaklı 73mn sayısı 5 ile tam olarak bölünebilmektedir. Buna göre, m + n toplamının en çok kaç olacağını bulalım.
Çözüm: 73mn sayısı 5 ile tam olarak bölünebildiğine göre, n rakamı 0 veya 5 tir. m + n nin en büyük değeri istendiğine göre, m = 9 ve n = 5 olmalıdır. Buna göre, m + n :9 + 5= 14 olur.
Yüzler, onlar ve birler basamağındaki rakamların (son üç rakam) belirttiği sayı, 8 in katı olan sayılar, 8 ile tam bölünebilir. Bir sayının 8 ile bölümünden kalan, sağdaki son üç rakamın belirttiği sayının 8 ile bölümünden kalana eşittir.
Örnek: sayısının son üç rakamının belirttiği 24 sayısı 8 ile tam bölünebildiği için, sayısı da 8 ile tam olarak bölünebilir.
Örnek: 11 sayısının son üç rakamının belirttiği 19 sayısı 8 ile bölündüğünde 3 kaldığı için 11 sayısı da 8 ile bölündüğünde 3 kalır.
Rakamlarının toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür. Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, o sayının rakamlarının toplamının 9 ile bölümünden kalandır.
Örnek: sayısının rakamlarının toplamı olan 10 sayısı 9 ile bölündüğünde 1 kaldığı için sayısı da 9 ile bölündüğünde 1 kalır.
Sayının rakamları, birler basamağından (sağdan sola) başlayarak +, - olarak işaretlenir. + işaretli sayıların toplamından - işaretli sayıların toplamı çıkarılır. Sonuç 11 in katı ise o sayı 11 ile tam bölünür. Bir sayının rakamları, sağdan sola doğru +, - olarak işaretlenir. + işaretli sayıların toplamından - işaretli sayıların toplamı çıkarılır. Sonucun 11 ile bölümünden kalan o sayının 11 ile bölümünden kalandır.
Örnek: A sayısının B doğal sayısına bölümünden elde edilen bölüm 3 kalan 2 dir. Buna göre A sayısının alabileceği en küçük pozitif tam sayı değerini hesaplayalım.
Çözüm: A = 3B+2 dir. Kalan< bölen olduğundan 3<B olup B en az 4 olur. Buradan A’nın en küçük değeri, A=3B+2 +2=14 olur.
Örnek: A ve x birer doğal sayı ve
olduğuna göre, A nın alabileceği en büyük değeri bulalım.
Çözüm: A=x + x2 şeklinde yazılabilir. A’nın en büyük olabilmesi için x in en büyük olması gerekir. x2 < 50 olduğuna göre, x en büyük 7 değerini alabilir. 7 değeri yerine yazılır ise A=50 .2 .7 + 72 = olur.
A, B, x, m, n, c pozitif tamsayılar olmak üzere, A’nın x’e bölümünden kalan m, B’nin x’e bölümünden kalan n olsun.
Burada; m.n, mn, c.m ve mc sayıları x’ten küçük değilse bu değerler x’e tekrar bölünerek kalan belirlenir.
Sadece kendisine ve 1 sayısına kalansız bölünebilen 1’den büyük tam sayılara asal sayı denir.
İki sayının 1 sayısından başka pozitif ortak böleni yoksa bu sayılara aralarında asal denir. Örneğin; 2 ile 3, 3 ile 4, 8 ile 15 sayıları aralarında asaldır.
Bu başlığın altında 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 ve 11 ile bölünebilme kuralları incelenmiştir.
Çift sayılar 2 ile tam bölünür. Çift sayıların 2 ile bölümünden kalan sıfır, tek sayıların 2 ile bölümünden kalan ise 1’dir. Birler basamağında çift rakam {0, 2, 4, 6, 8} olan doğal sayılar 2 ile tam bölünür.
Bu kuralın nedenini inceleyelim. abc çok basamaklı bir doğal sayı ise a+10b+c şeklinde yazılabilir. 10 ve 10’un kuvvetleri 2’nin katı olduğundan 10b ve solunda bulunan terimler 2’ye tam bölünür. Bu yüzden sadece c’ye bakmak yeterli olur.
Bir doğal sayının rakamları toplamının 3 ile bölümünden kalan bu sayının 3 ile bölümünden kalana eşittir. sayısının 3 ile bölümünden kalan 5+6+7+2=20 elde edilir ve 20/3 işleminden kalan 2 olur. sayısının 3’e bölümünden kalan 2 olur.
Bu kuralın nedenini inceleyelim. abc çok basamaklı bir doğal sayı ise a+10b+c şeklinde yazılabilir. 10 ve 10’un kuvvetlerinin 3 ile bölümünden kalan 1 olduğu için sayıların yerine 1 yazılabilir. Bu durumda a+10b+c sayısında 10 ve kuvvetlerinin yerine 3 ile bölümünden kalanlar yazılır. 1a+1b+c şeklini alır ve rakamlar toplamı elde edilir.
Son iki (birler ve onlar) basamağı (iki basamaklı sayı gibi düşünülerek) 4’ün katı olan sayılar 4 ile tam bölünür, kalan için ise bu sayı 4 ile bölünerek bulunur.
sayısının 4’e bölümünden kalanı hesaplayalım. 1234 sayısının son iki basamağı 34 olur ve 34 sayısının 4’e bölümünden kalan sayısının 4’e bölümünden kalana eşittir. 34=+2 olduğundan 34 sayısının 4’e bölümünden kalan 2’dir.
Birler basamağı 0 veya 5 olan sayılar 5’e tam bölünür. Bir sayının 5’e bölümünden kalan, bu sayının birler basamağındaki rakamın 5’e bölümünden kalandır.
Bu kuralın nedenini inceleyelim. abc çok basamaklı bir doğal sayı ise a+10b+c şeklinde yazılabilir. 10 ve 10’un kuvvetleri 5’nin katı olduğundan 10b ve solunda bulunan terimler 5 ile tam bölünür. Bu yüzden sadece c’ye bakmak yeterli olur.
Hem 2 ile hem de 3 ile tam bölünebilen sayılar (3 ile tam bölünebilen çift sayılar) 6 ile tam bölünür.
Bir doğal sayının son üç basamağındaki rakamların oluşturduğu sayı, 8 in katı ise sayı 8 ile tam bölünür. Sayının 8 ile bölümünden kalan da aynı şekilde son üç basamağındaki sayının 8 ile bölümünden kalana eşittir.
sayısının 8 ile bölümünden kalan 0 dır. Sayı 8 e tam bölünür.
Rakamlarının sayı değerlerinin toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür veya 9 ile bölümünden kalan da aynı şekilde rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.
x ve y farklı iki sayı olmak üzere x5y4 dört basamaklı sayısı 9 ile tam bölündüğüne göre x + y değerini hesaplayalım.
x+5+y+4 değeri 9 a tam bölünüyor ise x + y 9 veya 18 olabilir fakat x ve y farklı olduğu için x+y=9 olur.
Birler basamağı sıfır (0) olan sayılar 10 ile tam bölünür. Bir sayının birler basamağındaki sayı o sayının 10 ile bölümünden kalandır.
abcdef altı basamaklı bir sayı olsun. Sayının birler basamağından başlayarak sırasıyla rakamların önüne + ve – işaret yazılır ve rakamlar toplanır( -a +b -c +d -e +f). Oluşan bu toplam 11’in katı ise sayı 11’e tam bölünür. Bu toplam 11’e tam bölünmüyor ise kalan değer, sayının 11 ile bölümünden kalana eşittir.
Aralarında asal iki sayıdan her birine bölünebilen bir sayı, bu sayıların çarpımına da bölünür.
Bir sayı aralarında asal olan a ve b sayısı gibi iki sayıya tam bölünüyor ise o sayı a.b değerine de tam bölünür.
2 ve 3’e tam bölünen bir sayı 6 ile tam bölünür. Bu yöntem ile birçok sayıya bölünebilme kuralı elde edilebilir.
şeklinde bulunur ve liste daha da uzatılabilir.
1’den büyük bütün sayılar asal çarpanlarının çarpımı şeklinde ayrılabilir. Bu, cebrin temel teoremlerinden biridir ve asal çarpanlara ayırma olarak adlandırılır.
sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
2, 3, 5 sayıları ’nin asal çarpanlarıdır.
Örnek: sayısının asal sayı çarpanlarının toplamını bulalım.
Çözüm: = 25 . 52 şeklinde yazılabilir. ’ün 2 tane asal sayı böleni vardır. Bunlar 2 ve 5’dir. Asal sayı çarpanlarının toplamı 2+5=7 şeklinde hesaplanır.
A sayısının asal çarpanlarına ayrılmış şekli, A = xa . yb . zc olsun. (x, y ve z asal sayılar. a, b ve c doğal sayılar.)
sayısının pozitif bölenlerinin kaç tanesi,
Öncelikle ’ü asal çarpanlarına ayıralım.
A = xa . yb . zc olsun. A sayısının pozitif bölenleri toplamı şu şekilde hesaplanır:
Örnek: sayısının 3’ün katı olan pozitif tam bölenleri toplamı kaçtır?
Çözüm: