Matematik Tyt Rasyonel Sayılar

Matematik ayt konu anlatımı, Matematik tyt konu anlatımı , Matematik yks konu anlatımı&#; Merhaba arkadaşlar sizlere bu yazımızda Rasyonel Sayılar Konu Anlatımı hakkında bilgi vereceğiz. Yazımızı okuyarak bilgi edinebilirsiniz.

Rasyonel Sayılar

a ve b tam sayı, b  0&#;dan farklı  olmak üzere    şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar veya kesir denir.

Kesir Çeşitleri

İşaretine bakılmaksızın payı paydasından küçük olan kesirlere basit kesir denir.

İşaretine bakılmaksızın payı paydasından küçük olmayan (büyük veya eşit olan) kesirlere bileşik kesir denir. Bileşik kesirler tam sayılı kesir diye de adlandırılabilir. Tam sayılır kesir, önde tam sayı olan kesirdir.

Herhangi bir sayma sayısı ile birlikte yazılabilen kesirlere tam sayılı kesir denir.

Kesirlerin Genişletilmesi ve Sadeleştirilmesi

Kesrinin pay ve paydası sıfırdan farklı bir k tam sayısıyla, çarpıldığında veya bölündüğünde kesrin değeri değişmez. Bu işleme kesrin genişletilmesi veya sadeleştirilmesi denir.

Rasyonel Sayıların Eşitliği

Kesrinin genişletilmesi veya sadeleştirilmesiyle ye eşit pek çok kesir elde edilebilir. Bu kesirler ye denktir denir. kesri, kesrine denk ise, biçiminde yazılır, “a bölü b kesri c bölü d kesrine denktir” diye okunur.

Her denk kesir aynı zamanda eşittir. Buna göre,  ise  a.d=b.c &#;dir.

Rasyonel Sayılarda Toplama-Çıkarma İşlemleri

Toplama ve çıkarma işleminde payda eşitlenecek biçimde kesirler genişletilir ya da sadeleştirilir. Oluşan kesirlerin payları toplanır (ya da çıkarılır) ortak payda alınır.

Örnek:

işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

Paydaları eşitleyerek işleme başlayalım.

Örnek:

işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

Rasyonel Sayılarda Çarpma-Bölme İşlemleri

Çarpılan sayılarda tam sayılı kesir varsa bileşik kesre çevrilir.
Çarpılan sayılarda tam sayı varsa paydasına 1 yazılır.
Varsa sadeleştirme yapılır. Sadeleştirme yaparken çarpılan sayılarda paydaki herhangi bir sayı ile paydadaki herhangi bir sayı sadeleştirilebilir.
İşlem yapılırken:
Çarpanlardaki paylar çarpılıp sonucun payına, paydalar çarpılıp sonucun paydasına yazılır.

Örnek:

işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

sadeleştirme yapılarak bu sonuca ulaşılır.

Bölünen sayılarda tam sayılı kesir varsa bileşik kesre çevrilir.
Bölünen sayılarda tam sayı varsa paydasına 1 yazılır.
Çarpmaya dönüştürdükten sonra varsa sadeleştirme yapılır. Sadeleştirme yaparken çarpılan sayılarda paydaki herhangi bir sayı ile paydadaki herhangi bir sayı sadeleştirilebilir.

Örnek:

işlemin sonucu kaçır?

Çözüm:

Örnek:

işlemin sonucu kaçtır?

Çözüm:

Örnek:

işlemini sonucu kaçtır?

Çözüm:

İşlem Önceliği

Toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve üs alma işlemlerinden bir kaçının birlikte bulunduğu rasyonel sayılarda işlemler, aşağıdaki sıraya göre yapılır.

1) Parantezler ve kesir çizgisi işleme yön verir.
2) Üslü işlemler varsa sonuçlandırılır.
3) Çarpma – bölme yapılır.
4) Toplama – çıkarma yapılır.

Örnek:

işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

Rasyonel Sayılarda Üs

Rasyonel Sayının Pozitif Kuvveti

Bir kesrin kuvveti bu kesrinden kaç tanesinin birbiri ile çarpıldığını gösterir.

Örnek:

Kesirli sayının kuvveti pay ve paydaya yazılabilir.

Örnek:

Rasyonel Sayılarda Negatif Kuvvet 

kesirde pay ve payda yer değiştirir negatif kuvvet pozitifleşir.

Örnek:

KURAL

pozitif basit kesir ise,

2. Bileşik Kesir

İşaretine bakılmaksızın payı paydasından küçük olmayan (büyük veya eşit olan) kesirlere bileşik kesir denir.

Aşağıdaki sayı doğrusunda koyu ve kalın çizgi ile gösterilen noktalara karşılık gelen sayılar bileşik kesirdir.

3. Tam Sayılı Kesir

Herhangi bir sayma sayısı ile birlikte yazılabilen kesirlere tam sayılı kesir denir.

 birer tam sayılı kesirdir.

Her bileşik kesir bir tam sayılı kesir biçiminde yazılabilir.

• 

• 

D. RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER

1. Genişletme ve Sadeleştirme

kesrinin pay ve paydası sıfırdan farklı bir k tam sayısıyla, çarpıldığında veya bölündüğünde kesrin değeri değişmez. Bu işleme kesrin genişletilmesi veya sadeleştirilmesi denir.

2. Toplama – Çıkarma İşlemi

Toplama ve çıkarma işleminde payda eşitlenecek biçimde kesirler genişletilir ya da sadeleştirilir. Oluşan kesirlerin payları toplanır (ya da çıkarılır) ortak payda alınır.

• 

• 

Toplama İşlemi

işleminde önce paydalar eşitlenir.

paydalar eşitlendikten sonra paydaki sayılar toplanır ve paya yazılır.

(Burada tam sayılarda toplama işlemindeki öğrendiklerimizi kullanıyoruz.)

Ortak payda sonucun paydasına yazılarak sonuç bulunur.

yaparak sonuca ulaşıyoruz.

NOT: Tam sayılı kesirlerde toplama işlemini bileşik kesre çevirerek yapabiliriz. Aynı şekilde ondalık kesirleri de rasyonel şekline çevirerek işlem yapabiliriz.

Rasyonel sayılarda toplama işleminin değişme özelliği vardıseafoodplus.info toplanan sayıların yeri değişse de işlemin sonucu değişmez.

Rasyonel sayılarda toplama işleminin birleşme özelliği vardır. Yani üç veya daha fazla rasyonel sayı ile toplama işlemi yaparken, toplama işlemini önce istediğimiz iki sayı arasında  yapabiliriz.

Toplamları 0 olan iki rasyonel sayı toplama işlemine göre birbirinin tersidir. Diğer bir ifade ile ters işaretli iki rasyonel sayı toplama işlemine göre birbirinin tersidir.

Çıkarma İşlemi

Çıkarma işleminde de tam sayılarda olduğu gibi toplamaya dönüştürerek yapabiliriz.

Önce paydalar eşit değilse paydalar eşitlenir. Sonra çıkarma işlemi toplamaya dönüştürülür ve çıkan sayının işareti değiştirilir. En son olarak da toplama işlemi yapılır.

işleminde paydalar eşittir.

Şimdi çıkarmayı toplamaya dönüştürürüz ve çıkan sayının işaretini değiştiririz.

daha sonra payları toplarız.

NOT: Tam sayılı kesirlerde çıkarma işlemini bileşik kesre çevirerek yapabiliriz. Aynı şekilde ondalık kesirleri de rasyonel şekline çevirerek işlem yapabiliriz.

Örnek

Örnek

Örnek

Örnek

Örnek

Örnek

3. Çarpma – Bölme İşlemi

• •

Örnek

Örnek

Örnek

Örnek

Örnek

Örnek

Örnek

Örnek

Örnek

Örnek

Örnek

Örnek

4. İşlem Önceliği

Toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve üs alma işlemlerinden bir kaçının birlikte bulunduğu rasyonel sayılarda işlemler, aşağıdaki sıraya göre yapılır.

1) Parantezler ve kesir çizgisi işleme yön verir.

2) Üslü işlemler varsa sonuçlandırılır.

3) Çarpma – bölme yapılır.

4) Toplama – çıkarma yapılır.

E. ONDALIK KESİR

1. Ondalık Kesir

Bir rasyonel sayının payını paydasına böldüğümüzde bu rasyonel sayının ondalık açılımını buluruz. Bu ondalık açılıma ondalık kesir denir.

Burada a ya tam kısım bcd ye de ondalıklı kısım denir.

2. Devirli (Periyodik) Ondalık Kesir

Bir ondalık kesirde ondalıklı kısım belli bir kurala göre tekrarlanıyorsa bu sayıya devirli ondalık kesirdenir.

• 

• 

• 

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK

3. Ondalık Kesirlerde İşlemler

a. Toplama – Çıkarma: Ondalık kesirler toplanırken, virgüller alt alta gelecek şekilde yazılır ve doğal sayılarda toplama – çıkarma işleminde olduğu gibi toplama – çıkarma işlemi yapılır. Sonuç, virgüllerin hizasından virgülle ayrılır.

b. Çarpma: Ondalık kesirlerin çarpımı yapılırken, virgül yokmuş gibi çarpma işlemi yapılır. Sonuç, çarpılan sayıların virgülden sonraki basamak sayılarının toplamı kadar, sağdan sola doğru virgülle ayrılır.

c. Bölme: Ondalık kesirlerin bölme işlemi yapılırken, bölen virgülden kurtulacak biçimde 10 un kuvveti ile çarpılır. Bölünen de aynı 10 un kuvveti ile çarpılarak bölme işlemi yapılır.

4. Devirli Ondalık Kesirlerin Rasyonel Sayıya Dönüştürülmesi

Bir devirli ondalık açılımı  şeklinde yazarken;

Virgül ve devreden dikkate alınmadan; okunan sayıdan, devretmeyen sayıyı çıkararak paya yazılır.

Paydaya ise virgülden sonraki devreden basamak sayısı kadar 9 ve sağına devretmeyen basamak sayısı kadar sıfır yazılır.

a, b, c, d, e birer rakam olmak üzere,

ÖRNEK

  =>      49 &#; 4    =   45    =  5
9           9

F. RASYONEL SAYILARDA SIRALAMA

Pozitif rasyonel sayılarda sıralama yaparken paydalar eşitlenirse,payı büyük olan büyüktür.

Pozitif rasyonel sayılarda sıralama yaparken paylar eşitlenirse,paydası büyük olan küçüktür.

Negatif rasyonel sayılarda sıralama yaparken, pozitif rasyonel sayılardaki gibi sıralama yapılıseafoodplus.info sıralamanın tam tersi alınır.

Negatif ve pozitif rasyonel sayılar karışık verilirse yine payda eşseafoodplus.infof olanların daima küçük, pozitif olanların daima büyük olduğu unutulmamalıdır.

Rasyonel sayıları sıralarken sayı doğrusuna da kullanabiliriz. Sağdan kalanlar hep büyük olur, solda kalanlar hep küçük olur.

Örnek

Örnek

Örnek

a ve birer tam sayı ve b sıfırdan farklı olmak üzere a bölü b biçiminde ifade edilebilen sayılara rasyone sayı denir. Rasyonel sayılar kümesi Q ile gösterilir. Q = {a bölü b: a ve b tam sayı ve b sıfırdan farklı} dır. a bölü rasyonel sayısında a ya pay b ye de payda denir. Payda sıfırdan farklı olmak zorundadır. Aksi durumda tanımsız olur.
Not: Rasyonel sayılar kesir olarak adlandırılırlar. Kesri bir bütünün parçalarından bir kısmını ifade etmek amacıyla kullanırız.

Örnek: 2 satır ve 7 sütundan oluşan şekil 14 eş parçaya bölünmüş ve bu parçalardan 5 tanesi yeşile boyanmıştır. Yeşil renge boyanmış kısmı gösteren kesir 5 / 14 tür.

Not: Rasyonel sayılarda işlem yaparken kesirleri genelde en sade biçimine getiririz. Diğer bir ifadeyle, pay ve paydayı aralarında asal olacak şekilde yazarız.

Bilgi: Sayı doğrusu üzerinde, pozitif rasyonel sayılar "0" ın sağında, negatif rasyonel sayılar “0" ın solunda yer alırlar. Sayı doğrusu üzerinde; iki sayı arası, kesrin paydasındaki sayı kadar eş parçaya bölünür, bu eş parçalardan, sayı pozitifse sağa doğru, negatifse sola doğru pay kadar sayılır.

Bilgi: Toplama işleminde, paydası eşit olan kesirlerin payları toplamı pay olarak alınır. Ortak payda da payda olarak alınır. Eğer paydalar eşit değilse paydalar eşitlenir. Eşitleme paydaların EKOK unda yapılabilir. Çıkarma işleminde, paydası eşit olan kesirlerin payları farkı pay olarak alınır. Ortak payda da payda olarak alınır. Eğer paydalar eşit değilse paydalar eşitlenir. Eşitleme paydaların EKOK unda yapılabilir.

Soru: Öğretmen sınıfa dikdörtgen şeklindeki özdeş dört beyaz mukawa getirmiştir. Ahmet'ten I. mukavvayı iki eşit alana bölüp birisini maviye boyayarak kesip almasını istemiştir. Mehmet'ten II. mukavvayı dört eşit alana bölüp birini yeşile boyayarak kesip almasını istemiştir. Berra'dan III. mukavvayı sekiz eşit alana bölüp birini pembeye boyayarak kesip almasını istemiştir. Sonra da bu üç öğrenciden kestikleri parçaları üst üste gelmeyecek şekilde IV. mukavvaya yapıştırmalarını istemiştir. Buna göre, IV. mukavvanın kaçta kaçı beyaz renkle kalmıştır?

Bilgi: Rasyonel sayıların dört işlem, parantez, kesir çizgisi vb. bir arada olduğu durumlarında işlem önceliği önemlidir. Parantezin içi ve kesir çizgileri işlem önceliğini gösterir. Çarpma ve bölme işlemleri yapılır. En sonunda toplama ve çıkarma işlemleri yapılır.