SORU 3:
sayısını asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazıp yukarıda listelenen bölen sayılarını, toplamlarını ve çarpımlarını hesaplayalım.
Çözümü Göster'ın asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazılışı:
\( = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \)
Asal bölenler: 2, 3, 5
Asal bölenlerin sayısı \( = 3 \)
Pozitif bölenlerin sayısı \( = (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24 \)
Pozitif bölenler: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, , ,
Tüm (pozitif ve negatif) bölenlerin sayısı \( = 2 \cdot 24 = 48 \)
Tüm bölenler: Yukarıdaki pozitif bölenler ve negatif işaretlileri
Asal olmayan pozitif bölenlerin sayısı \( = 24 - 3 = 21 \)
Asal olmayan pozitif bölenler: 2, 3 ve 5 hariç pozitif bölenler
Asal olmayan bölenlerin sayısı \( = 48 - 3 = 45 \)
Asal olmayan bölenler: 2, 3 ve 5 hariç tüm bölenler
Tek sayı pozitif bölenlerin sayısı \( = (2 + 1)(1 + 1) = 6 \)
Tek sayı pozitif bölenler: 1, 3, 5, 9, 15, 45
Çift sayı pozitif bölenlerin sayısı \( = 24 - 6 = 18 \)
Çift sayı pozitif bölenler: Yukarıdaki tek sayı pozitif bölenler hariç tüm pozitif bölenler
Asal bölenlerin toplamı \( = 2 + 3 + 5 = 10 \)
Pozitif bölenlerin toplamı \( = (2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3) \cdot \) \( (3^0 + 3^1 + 3^2) \cdot \) \( (5^0 + 5^1) \)
\( = 15 \cdot 13 \cdot 6 = \)
Pozitif bölenlerin çarpımı \( = \sqrt{^{24}} = ^{12} \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 4:
\( 70^{n - 4} \) sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı 27 olduğuna göre, \( n \) kaçtır?
Çözümü Göster\( 70^{n - 4} = (2 \cdot 5 \cdot 7)^{n - 4} \)
\( = 2^{n - 4} \cdot 5^{n - 4} \cdot 7^{n - 4} \)
Bu sayının pozitif bölen sayısını bulalım.
PBS \( = (n - 3)(n - 3)(n - 3) \)
\( (n - 3)^3 = 27 \)
\( n = 6 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 5:
\( 16! \) sayısının asal bölenlerinin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( 16! = 16 \cdot 15 \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 \)
Sayıyı asal çarpanlarına ayırmadan \( 16! \) içindeki asal çarpanları yazalım.
\( \{ 2, 3, 5, 7, 11, 13 \} \)
Asal bölenlerin toplamı \( 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 = 41 \) olarak bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 6:
\( \{1, 2, a, 6, 9, b\} \) kümesinin elemanları bir doğal sayının tüm pozitif bölenleri olduğuna göre, \( a + b \) kaçtır?
Çözümü GösterVerilen kümenin elemanlarını asal çarpanları cinsinden yazalım.
\( \{1, 2, a, 2 \cdot 3, 3^2, b\} \)
Elemanlar içinde 3 asal çarpanı içeren eleman bulunduğu için 3 de bu sayının bir pozitif böleni olmalıdır.
Elemanlar içinde 3'ün ikinci kuvvetini içeren eleman bulunduğu için 2 ve 3'ün ikinci kuvvetinin çarpımı da bu sayının bir pozitif böleni olmalıdır.
Buna göre \( a = 3 \) ve \( b = 2 \cdot 3^2 = 18 \) olur.
\( a + b = 3 + 18 = 21 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 7:
\( A = ^2 + ^2 + ^2 \) olduğuna göre, \( A \) sayısının kaç tane doğal sayı böleni vardır?
Çözümü Göster\( A = ^2 + ^2 + ^2 \)
\( = ^2 + 3^2 \cdot ^2 + 5^2 \cdot ^2 \)
\( = ^2(1 + 3^2 + 5^2) \)
\( = ^2 \cdot 35 \)
\( = 3^2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 37^2 \)
Pozitif bölen sayısını bulmak için asal çarpanların üsleri birer artılır ve çarpılır.
PBS \( = (2 + 1) \cdot (1 + 1) \cdot (1 + 1) \cdot (2 + 1) \)
\( = 36 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 8:
\( \dfrac{2x + }{x} \) kesrini tam sayı yapan kaç farklı \( x \) pozitif tam sayısı vardır?
Çözümü Göster\( \dfrac{2x + }{x} = \dfrac{2x}{x} + \dfrac{}{x} \)
İlk terim bir tam sayı olduğu için ikinci terimi tam sayı yapan \( x \) değerleri tüm ifadeyi de tam sayı yapar.
'in her bir pozitif böleni için bu kesirli ifadenin sonucu tam sayı olur.
\( = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \)
'in pozitif bölen sayısını bulalım.
PBS \( = (2 + 1) \cdot (2 + 1) \cdot (1 + 1) = 18 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 9:
sayısını tam bölen kaç tane tam kare sayı vardır?
Çözümü Göster'ü asal çarpanlarına ayıralım.
\( = 2^2 \cdot 5^4 \)
İfadeyi tam kare çarpanlar cinsinden yazalım.
\( = (2^2)^1 \cdot (5^2)^2 \)
Tam kare bölenlerin içinde tüm çarpanların tam kare şeklinde bulunmaları gerektiği için parantez içindeki çarpanları asal çarpan gibi düşünerek pozitif bölen sayısını bulalım.
Tam kare bölen sayısı \( = (1 + 1)(2 + 1) = 6 \)
Buna göre 'ün 6 tam kare böleni vardır ve bu bölenler \( \{1, 4, 25, , , \} \) sayılarıdır.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( \dfrac{}{x} \) ve \( \dfrac{x}{15} \) birer pozitif tam sayı ise \( x \)'in alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
Çözümü Göster15 ve 'ü asal çarpanlarına ayıralım.
\( 15 = 3 \cdot 5 \)
\( = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 \)
Buna göre, \( x \) en az \( 3 \cdot 5 \), en fazla \( 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2 \) çarpanlarını içermelidir.
içinde olup 15 içinde olmayan çarpanlar \( 2^2 \cdot 5 \) olur ve bu çarpanlar için yazılabilecek bölen sayısı kadar farklı \( x \) sayısı yazılabilir.
\( 2^2 \cdot 5 \) çarpanları ile \( (2 + 1)(1 + 1) = 6 \) farklı bölen yazılabilir. Bu bölenlerin her birini \( 15 = 3 \cdot 5 \) ile çarparsak istenen koşulu sağlayan \( x \) değerlerini buluruz.
Buna göre \( x \)'in alabileceği 6 değer aşağıdaki gibidir.
\( 15 \cdot 2^0 \cdot 5^0 = 15 \)
\( 15 \cdot 2^1 \cdot 5^0 = 30 \)
\( 15 \cdot 2^2 \cdot 5^0 = 60 \)
\( 15 \cdot 2^0 \cdot 5^1 = 75 \)
\( 15 \cdot 2^1 \cdot 5^1 = \)
\( 15 \cdot 2^2 \cdot 5^1 = \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( 4^4 \cdot 3^{x + 1} \) sayısının 36 pozitif tam sayı böleni olduğuna göre, \( x \) kaçtır?
Çözümü Göster\( 4^4 \cdot 3^{x + 1} = 2^8 \cdot 3^{x + 1} \)
Bu sayının pozitif bölen sayısı formülünü yazalım.
PBS \( = (8 + 1)(x + 2) = 36 \)
\( = 9(x + 2) = 36 \)
\( x = 2 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( x, y \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( x \cdot (y + 8) = \) eşitliğini sağlayan kaç farklı \( x \) tam sayısı vardır?
Çözümü Göstersayısını asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazalım.
\( = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \)
Buna göre 'un \( 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16 \) pozitif tam sayı böleni vardır ve normal koşullar altında \( x \) bu 16 değerden herhangi birini alabilir.
Ancak \( y + 8 \) çarpanının 8'den büyük olması gerektiği için \( y \notin \{ 2, 3, 5, 2 \cdot 3, 7 \} \) olmalıdır, dolayısıyla \( x \)'in alabileceği değerlerin sayısı 5 eksik olur.
\( 16 - 5 = 11 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
'ü böldüğünde 98 kalanını veren üç basamaklı en büyük sayı kaçtır?
Çözümü Göster\( - 98 = \)
İstenen sayı 'yı tam bölmelidir.
'yı çarpanlarına ayıralım.
\( = 2^4 \cdot \)
'nın asal çarpanlarının (2, 2, 2, 2, ) herhangi bir alt kümesindeki elemanların çarpımı 'yı tam böler.
Bu sayılar içinde üç basamaklı en büyük sayı \( 2 \cdot 2 \cdot = \) olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( A = 9^{24} + 9^{25} + 9^{26} + 9^{27} \) olduğuna göre, \( A \)'nın pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı kaçtır?
Çözümü GösterTam sayı bölen sayısını bulmak için \( A \)'yı asal çarpanlarına ayıralım.
İfadeyi \( 9^{24} \) parantezine alalım.
\( A = 9^{24}(1 + 9 + 9^2 + 9^3) \)
\( = 3^{48}(1 + 9 + 81 + ) \)
\( = 3^{48} \cdot \)
\( = 2^2 \cdot 3^{48} \cdot 5 \cdot 41 \)
Bir sayının pozitif bölenlerinin sayısı asal çarpanlarının kuvvetlerinin birer fazlasının çarpımına eşittir.
\( A \) sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı:
\( (2 + 1)(48 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = \) olarak bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
Bir A sayısının asal çarpanlarına ayrılmış şekli;
A = xa . yb . zc olsun.
Örn : sayısını tam bölen kaç adet tam sayı vardır?
= 23.31.51 olsun.