Olasılık Çeşitleri
kaynağı değiştir]
- Üstel dağılım, belleksiz olan bir sürecin içindeki birbirini takip eden nadir olayların arasındaki zamanı tanımlar.
- F-dağılımı, Varyans analizi için kullanılan dağılımdır. İki (normalize edilmiş) ki-kare dağılımlı rassal değişkenin birbirine oranıdır. (Ki-kare gösteren iki değişebilir uygulanmakta iken, eğer serbestlik derecesi ile bölünerek normalize etme işlemi uygulanmazsa, ortaya çıkan sonuca beta prime dağılım adı verilir.)
Tüm reel çizgi üzerinde desteklenenler[değiştir
OLASILIK
OLASILIK
sonucu kesin olmayan olaylarla ilgilenir. Bir zar atıldığında üst yüze gelen noktaların sayısının ne olacağı gibi şans oyunlarıyla ilgilenen olasılık teorisi günümüzde sosyal olaylar ve bilimsel çalışmalarda da kullanılmaktadır.
OLASILIK TERİMLERİ
* Bir madeni para havaya atıldığında yazı mı ya da tura mı geleceğini (v.b) tesbit etme işlemine deney denir.
* Bir deneyin her bir görüntüsüne (çıktısına) sonuç denir.
* Bir deneyin bütün sonuçlarını eleman kabul eden kümeye örnekuzay denir.
* Bir örnek uzayın her bir alt kümesine olay denir.
* Örnek uzayın alt kümelerinden olan boş kümeye imkansız(olanaksız) olay denir.
* Örnek uzayın bütün elemanlarını içeren alt kümesine kesin olay denir.
A ve B, E örnek uzayına ait iki olay olsun.
A ve B nin ortak elemanı yoksa
A ve B olayına ayrık olay denir.
BİR OLAYIN OLASILIĞI
Örnek Uzayı “E”, bir olayı “A” ve A olayının olasılığını da O(A) ile gösterirsek;
ile gösterilir.
Bir olayın olasılığı 0 ile 1 arasındadır.
0 < O(A) < 1 dir.
O(A) = 0 ise A olayının gerçekleşmesi mümkün değil demektir. (İmkansız olayın olasılığı 0 dır.)
O(A) = 1 ise A olayı kesinlikle gerçeleşecek demektir. (Kesin olayın olasılığı 1 dir.)
O(A), A olayının olma olasılığı,
O(A'), A olayının olmama olasılığı olmak üzere,
O(A) + O(A') = 1, yani bir olay ya olur veya olmaz demektir. Bu ifadeyi
O(A) = 1 – O(A') şeklinde de düşünebiliriz.
n, paranın atılma sayısını veya para sayısını göstermek üzere, örnek uzay 
dir.
n, zarın atılma sayısını veya zar sayısını göstermek üzere, örnek uzay dir.
AYRIK İKİ OLAYIN BİRLEŞİMİNİN (A VEYA B OLAYININ) OLASILIĞI
AYRIK OLMAYAN İKİ OLAYIN BİRLEŞİMİNİN (A VEYA B OLAYININ)OLASILIĞI
BAĞIMSIZ OLAYLAR
Bir olayın elde edilmesi, diğer olayın elde edilmesini etkilemiyorsa bu iki olaya bağımsız olaylar denir.
A ve B bağımsız iki olay olsun. A nın ve B nin gerçekleşme olasılığı
OLASILIK ÇEŞİTLERİ
Teorik Olasılık:Sonucu daha çok matematiksel işleme dayanan olasılık çeşididir.
Örnek:Hilesiz bir zar havaya atılıyor. Zarın üst yüzünde 2 gelme olasılığını hesaplayalım.
E={1,2,3,4,5,6} şeklindedir.
İstediğimiz sonuçların kümesini B ile gösterelim
Şimdi sıra olasılıkta O(2)=1/6 buluruz.
İşte bu yaptığımız işlem teorik olasılığa bir örnektir.
Deneysel Olasılık: Deney yaparak yapılan olasılık bulma işlemine de deneysel olasılık denir.
Örnek:Ahmet hilesiz bir zarı havaya atıyor. Zarın üst yüzüne 4 gelmesi olasılığını hesaplamak istiyor.
Çözüm:
Bu işlemi deneyle yapıyor yani zarı 10 kez havaya atıyor ve üst yüzüne gelen sayıları kaydediyor.
E={1,1,2,3,4,4,4,5,5,6} şeklinde sonuçlarını kaydediyor.
B= {4} fakat s(B)=3 şeklinde olur.
O(B)=3/10 şeklinde olasılık hesaplanır.
Örnek: Hileli bir zar 20 kez atıldığında
3 kez 1,
2 kez 2,
3 kez 3,
2 kez 4,
3 kez 5
7 kez 6 geliyor.
Buna göre bu zar atıldığında 5 gelme olasılığı kaçtır?
Çözüm:3/20
Öznel Olasılık: Sonucu kişiden kişiye değişen olasılığa öznel olasılık denir.
Örnek:
25 yumurtadan bazıları çift sarılıdır.
* Ali'ye göre alınacak bir yumurtanın çift sarılı olma olasılığı 10/25=0,4'tür.
*Ayşe'ye göre alınacak bir yumurtanın çift sarılı olma olasılığı 15/25=0,6'dır.
ÇÖZÜMLÜ SORULAR
Örnek:
Örnek:
Örnek:
kaynağı değiştir]
OLASILIK
OLASILIK
sonucu kesin olmayan olaylarla ilgilenir. Bir zar atıldığında üst yüze gelen noktaların sayısının ne olacağı gibi şans oyunlarıyla ilgilenen olasılık teorisi günümüzde sosyal olaylar ve bilimsel çalışmalarda da kullanılmaktadır.
OLASILIK TERİMLERİ
* Bir madeni para havaya atıldığında yazı mı ya da tura mı geleceğini (v.b) tesbit etme işlemine deney denir.
* Bir deneyin her bir görüntüsüne (çıktısına) sonuç denir.
* Bir deneyin bütün sonuçlarını eleman kabul eden kümeye örnekuzay denir.
* Bir örnek uzayın her bir alt kümesine olay denir.
* Örnek uzayın alt kümelerinden olan boş kümeye imkansız(olanaksız) olay denir.
* Örnek uzayın bütün elemanlarını içeren alt kümesine kesin olay denir.
A ve B, E örnek uzayına ait iki olay olsun.
A ve B nin ortak elemanı yoksa
A ve B olayına ayrık olay denir.
BİR OLAYIN OLASILIĞI
Örnek Uzayı “E”, bir olayı “A” ve A olayının olasılığını da O(A) ile gösterirsek;
ile gösterilir.
|
|
AYRIK İKİ OLAYIN BİRLEŞİMİNİN (A VEYA B OLAYININ) OLASILIĞI
AYRIK OLMAYAN İKİ OLAYIN BİRLEŞİMİNİN (A VEYA B OLAYININ)OLASILIĞI
BAĞIMSIZ OLAYLAR
Bir olayın elde edilmesi, diğer olayın elde edilmesini etkilemiyorsa bu iki olaya bağımsız olaylar denir.
A ve B bağımsız iki olay olsun. A nın ve B nin gerçekleşme olasılığı
OLASILIK ÇEŞİTLERİ
Teorik Olasılık:Sonucu daha çok matematiksel işleme dayanan olasılık çeşididir.
Örnek:Hilesiz bir zar havaya atılıyor. Zarın üst yüzünde 2 gelme olasılığını hesaplayalım.
E={1,2,3,4,5,6} şeklindedir.
İstediğimiz sonuçların kümesini B ile gösterelim
Şimdi sıra olasılıkta O(2)=1/6 buluruz.
İşte bu yaptığımız işlem teorik olasılığa bir örnektir.
Deneysel Olasılık: Deney yaparak yapılan olasılık bulma işlemine de deneysel olasılık denir.
Örnek:Ahmet hilesiz bir zarı havaya atıyor. Zarın üst yüzüne 4 gelmesi olasılığını hesaplamak istiyor.
Çözüm:
Bu işlemi deneyle yapıyor yani zarı 10 kez havaya atıyor ve üst yüzüne gelen sayıları kaydediyor.
E={1,1,2,3,4,4,4,5,5,6} şeklinde sonuçlarını kaydediyor.
B= {4} fakat s(B)=3 şeklinde olur.
O(B)=3/10 şeklinde olasılık hesaplanır.
Örnek: Hileli bir zar 20 kez atıldığında
3 kez 1,
2 kez 2,
3 kez 3,
2 kez 4,
3 kez 5
7 kez 6 geliyor.
Buna göre bu zar atıldığında 5 gelme olasılığı kaçtır?
Çözüm:3/20
Öznel Olasılık: Sonucu kişiden kişiye değişen olasılığa öznel olasılık denir.
Örnek:
25 yumurtadan bazıları çift sarılıdır.
* Ali'ye göre alınacak bir yumurtanın çift sarılı olma olasılığı 10/25=0,4'tür.
*Ayşe'ye göre alınacak bir yumurtanın çift sarılı olma olasılığı 15/25=0,6'dır.
ÇÖZÜMLÜ SORULAR
Örnek:
Örnek:
Örnek:
- Bernoulli dağılımı: 1 değeri için p olasılığı ve 0 değeri için q = 1 - p olasılığı alır.
- Rademacher dağılımı: 1 değeri için 1/2 olasılık ve -1 için 1/2 olasılık alır.
- Binom dağılım: Bir seri bağımsız Evet/Hayır (Başarılı/Başarısız) sonuçlu deneylerdeki başarılılık sayısını tanımlar.
- Bozulmuş dağılım: Sadece x0da bulunur. Burada X mutlaka hiç olasılıksız x0 değeri alır. Bu rassal gibi gözükmez ama matematikte verilen rassal değişken tanımlamasına uygunluk gösterir. Bu dağılım belirli deterministik değişkenler ile rassal değişkenlerinin ayni matematiksel biçimde incelenmesine imkân verir.
- Ayrık tekdüze dağılım: Bir sonlu set içinde bulunan tüm elemanlar aynı eşit olabilirliktedirler. Bu teorik olarak bir hilesiz madeni para, bir kusursuz zar, bir kumarhane rulet tekerleği veya iyice karılmış iskambil kâğıtları için uygun olan olasılık dağılımıdır. Kuantum durumları da teorik olarak tekdüze rassal değişken olarak kullanılabilir. Ancak bu mekanik veya fiziksel aletlerin tümü gerçekte yanlı veya pürüzlü veya hatalı veya karışıklık eğimli oldukları için, pratikte görülen hareket ve davranışlar, dolayısıyla tekdüze dağılım, ancak bir yaklaşım olarak bu tip aletlerle uygulanabilmektedir. Bilgisayarların yaygın olarak kullanılması sonucu özel veya genel işlerde kullanılan bilgisayarlar sözde-rassal-sayı üreticiler olarak kullanılıp ayrık tekdüze rassal değişken sayıları üretilmektedir.
- Hipergeometrik dağılım: Eğer toplam başarılılık sayısı bilinirse, n tane bağımsız Evet/Hayir (Başarılı/Başarısız) deneylerde ilk m sayıda başarılılık olasılığını tanımlar.
- Zipf'in savı or Zipf dağılımı: Bir ayrık-güç dağılımıdır. En tanınmış örneği İngilizce dilinde bulunan sözcüklerin sıklığını tanımlamada kullanılışıdır.
- Zipf-Mandelbrot savı: Bir ayrık güç kuralı dağılımı olup Zipf dağılımının genelleştirilmesidir.
Sonsuzluk destekli[değiştir kaynağı değiştir]
Ana madde: Sürekli olasılık dağılımları
Bir matematiksel kullanış şekline göre, bir olasılık dağılımı, eğer yığmalı dağılım fonksiyonu bir sürekli fonksiyon ise (yani bağlı olduğu rassal değişken X için R içinde tüm x için Pr[ X = x ] = 0 ise) sürekli olasılık dağılımı olarak tanımlanır.
Diğer bir matematiksel kullanış şekline göre sürekli olasılık dağılımı terimi sadece mutlak olarak sürekli dağılımlar için ayrılıklı olarak kullanir. Bu çeşit dağılımlar için bir olasılık yoğunluk fonksiyonu bulunmakta yani reel sayılar üzerinde bir negatif olmayan Lebesgue integrali bulunan şu fonksiyonu
uygulanabilmektedir.
Ayrık dağılımlara ve bazı (bir kısım istatistikçinin kullanışına göre) sürekli olan (özellikle şeytan merdiveni tipte) sürekli dağılımlar için bu fonksiyon uygulanamaz.