Rasyonel Sayı Işareti
Ingilizce" Rational Numbers " orantısal sayılar anlamına gelmektedir . A bir değişken , B bir değişken olmak üzere a nın b ye oranı ( a/b b sıfır olamaz ) şeklinde yazılabilen tüm sayılardır .
Rasyonel sayılar Q işareti ile gösterilir , Almanca" Quotient " bölüm anlamına gelen sözcüğün baş harfidir.
Bir sayı , kesir olarak yazılabiliyorsa rasyonel sayıdır .
Dikkat edin kesir olması gerekmiyor seafoodplus.infoi biçimde yazılması gerekiyor .
Hangi sayılar rasyonel sayıdır ?
5 bir tam sayıdır ama kesirli olarak yazılabilir .
bir etkisi yoktur.)
0 , rasyonel bir sayıdır.
Ondalıklı , yani virgüllü sayılar kesir olarak yazılabilir , dolayısıyla rasyoneldir.
Burada iki durum söz konusudur . Düzenli devreden ondalıklı sayılar ve düzensiz devreden ondalıklı sayılar.
Düzenli devreden ondalıklı sayılar rasyoneldir.
Düzenli devreden ondalıklı sayılar , kesir olarak yazılabildiği için rasyoneldir.
Düzensiz devreden ondalıklı sayılar rasyonel değildir .
Bunlardan en ünlü rasyonel olmayan bir sayıya bakalım , Pi !
Amacımız sayıları kesir olarak yazmak , bunlar zaten kesir olarak verilmiş .işaret rasyonel olup olmamasına bir etki etmez.
Rasyonel sayılar ve pisagorcular
Eski yunanlı matematikçi pisagorun bir tarikatı vardı ; Sayılara taparlar , evrendeki herşeyin sayı ile ve hatta rasyonel sayı ile ifade edilebileceğine inanırlardı . Bir hayvan kestiklerinde asla 4 bacağından bir tanesini yemezlerdi . Birgün öğrencilerinden hipotenüs herşeyin rasyonel sayı ile ifade edilemeyeceğini söyledi , pisagorun kendi bulduğu teoremle ona kafa tuttu . ( meşhur dik üçgendeki uzun kenar olan hipotenus oradan gelir , eğer dedi hipotenus dik üçgende dik kenarlardan biri 1 cm , diğer kenar 1cm olursa uzun kenar ne kadar olur ? , rasyonel olarak gösterilemiyeceğini de ispatladı ) Bu tarikat içinde büyük bir kargaşaya neden oldu ve pisagorun , bir gece vakti hipotenusu çuvala koyarak nehre attırdığı rivayet edilir.
Rasyonel kelimesi malesef yanlıştır , siz öğrencilerde kavram yanılgısı yaratmaktadır . "Rational numbers" , Rasyonel sayılar değil " Orantısal sayılar " şeklinde olmalıydı .Ratio ingilizcede oran demektir , rational orantısal anlamına gelir.
Türkçedeki "rasyonel " mantıksal anlamına gelmektedir . Ne demek yani mantıksal ? Bana bir anlam ifade etmiyor ..
Bu anlatımı beğendiyseniz bilgisayarınıza ücretsiz olarak .pdf formatında indirebilirsiniz.
Rasyonel Sayılar Konu Anlatımı
Hazır mısınız ? Sorularımızla bilgilerinizi sınayın !
[WpProQuiz 2]
Sayı Kümeleri
Önceki bölümde sayıları farklı özelliklerine göre sınıflandırabileceğimizden bahsettik, bu sınıflandırmalar içinde en temel olanı sayı kümeleridir. Tüm sayılar, aşağıda bahsedeceğimiz sayı kümelerinden birinin ya da birkaçının elemanı olabilir.
Sayı kümeleri isminden de anlaşılacağı gibi birer kümedir ve Kümeler konusunda göreceğimiz tüm işlemler ve özellikler sayı kümeleri için de geçerlidir.
Doğal Sayılar
Doğal sayılar kümesi 0'dan artı sonsuza kadar olan tam sayıları kapsar ve \( \mathbb{N} \) sembolü ile gösterilir.
\( \mathbb{N} = \{ 0, 1, 2, 3, \ldots \} \)
0 hariç doğal sayılar kümesine sayma sayıları denir ve \( \mathbb{N^+} \) sembolü ile gösterilir.
\( \mathbb{N^+} = \{ 1, 2, 3, \ldots \} \)
NOT: Bazı (özellikle eski) kaynaklarda \( 0 \) doğal sayılara dahil edilmez, ancak günümüzde genel olarak \( 0 \) doğal sayı olarak kabul edilir.
Tam Sayılar
Tam sayılar kümesi eksi sonsuzdan artı sonsuza kadar olan tam sayıları kapsar ve \( \mathbb{Z} \) sembolü ile gösterilir.
\( \mathbb{Z} = \{ \ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots \} \)
Pozitif tam sayılar kümesi 1'den artı sonsuza kadar olan tam sayıları kapsar ve \( \mathbb{Z^+} \) sembolü ile gösterilir.
\( \mathbb{Z^+} = \{ 1, 2, 3, \ldots \} \)
Negatif tam sayılar kümesi -1'den negatif sonsuza kadar olan tam sayıları kapsar ve \( \mathbb{Z^-} \) sembolü ile gösterilir.
\( \mathbb{Z^-} = \{ \ldots, -3, -2, -1 \} \)
0 (sıfır) pozitif ya da negatif değildir, işareti olmayan bir tam sayıdır.
Tam sayılar kümesini pozitif ve negatif tam sayılar kümeleri ve sıfırın birleşimi şeklinde aşağıdaki gibi gösterebiliriz.
\( \mathbb{Z} = \mathbb{Z^-} \cup \{ 0 \} \cup \mathbb{Z^+} \)
Rasyonel Sayılar
Paydası sıfır olmamak şartıyla, iki tam sayının birbirine oranı şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir. Rasyonel sayılar kümesi \( \mathbb{Q} \) sembolü ile gösterilir.
\( \mathbb{Q} = \left\{ \dfrac{a}{b}: a, b \in \mathbb{Z}, b \ne 0 \right\} \)
Aşağıdaki kesirli ifadeler tanım gereği birer rasyonel sayıdır.
\( \dfrac{1}{2}, -\dfrac{4}{3}, 2\dfrac{4}{5} \)
Bir kesre dönüştürülebilen ondalık sayı ve yüzdeli ifadeler birer rasyonel sayıdır.
\( 1,5 = \dfrac{3}{2} \)
\( \%75 = \dfrac{3}{4} \)
Tam sayılar kesirli ifade şeklinde yazılabildikleri için aynı zamanda birer rasyonel sayıdır.
\( 0 = \dfrac{0}{1} \)
\( 1 = \dfrac{1}{1} = \dfrac{2}{2} = \dfrac{5}{5} \)
\( -2 = -\dfrac{2}{1} = -\dfrac{4}{2} = -\dfrac{10}{5} \)
Virgülden sonra sonlu sayıda basamağı olan ondalık sayılar, bir kesirli ifadeye dönüştürülebildikleri için birer rasyonel sayıdır.
\( 0, \) \( = \dfrac{}{} \)
Devirli ondalık sayılar ondalık basamakları tekrar ederek sonsuza gitse de, bir kesirli ifadeye dönüştürülebildikleri için birer rasyonel sayıdır.
\( 0, = 0,\overline{3} = \dfrac{1}{3} \)
\( 2, = 2,\overline{27} = \dfrac{25}{11} \)
Özetlemek gerekirse, rasyonel sayıların ya virgülden sonra sonlu sayıda basamağı vardır, ya da bu basamaklar sonsuza gidiyorsa bir basamaktan sonra kendini tekrar eder.
\( \pi \) ve \( e \) sayılarının virgülden sonraki basamakları tekrar etmeden sonsuza gittiği için rasyonel sayılar kümesine dahil değildirler. \( \pi \) sayısı her ne kadar bazı sorularda karşımıza \( 3,14 \) veya \( \frac{22}{7} \) olarak çıksa da, bu \( \pi \) sayısının gerçek değeri olmayıp, sorularda hesaplama kolaylığı açısından verilen yaklaşık bir değerdir.
\( \sqrt{2}, \sqrt[3]{15}, \sqrt[4]{95} \) gibi kökten çıkamayan ifadeler virgülden sonraki basamakları tekrar etmeden sonsuza gittiği için rasyonel sayılar kümesine dahil değildirler.
\( a \ne 0 \) olmak üzere, \( \frac{a}{0} \) biçimindeki ifadeler tanımsızdır ve ne rasyonel sayılar ne de herhangi diğer bir sayı kümesine dahil değildirler. Yine \( a \ne 0 \) olmak üzere, \( \frac{0}{a} \) biçimindeki ifadelerin ise 0'a eşit olduğunu unutmayalım.
İrrasyonel Sayılar
İrrasyonel sayılar, iki tam sayının birbirine oranı şeklinde yazılamayan sayılardır. İrrasyonel sayılar kümesi \( \mathbb{Q'} \) sembolü ya da genel kabul görmüş bir sembol olmasa da kimi zaman \( \mathbb{I} \) ile gösterilir.
İrrasyonel sayılara aşağıdaki örnekleri verebiliriz.
Pi sayısı: \( \pi = 3, \)
Euler sayısı: \( e = 2, \)
Altın oran: \( \phi = 1, \)
Tam kare olmayan tüm doğal sayıların karekökleri: \( \{ \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \ldots \} \)
Çoğu logaritmik ifade: \( \{ \log{2}, \log_2{3}, \ldots \} \)
Reel (Gerçel) Sayılar
Rasyonel ve irrasyonel sayılar kümelerinin birleşim kümesine reel (gerçel) sayılar denir. Reel sayılar kümesi \( \mathbb{R} \) sembolü ile gösterilir.
\( \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{Q'} \)
Sayı doğrusu üzerindeki her bir noktayı bir reel sayı olarak ifade edebiliriz. Aynı şekilde, her bir reel sayı sayı doğrusu üzerinde farklı bir noktaya karşılık gelir. Benzer şekilde, iki boyutlu kartezyen düzlemindeki her bir noktanın koordinat (apsis ve ordinat) değerleri de reel sayılar kümesinde tanımlıdır.
Reel sayılar kümesi rasyonel ve irrasyonel sayılar kümelerinin birleşiminden oluşur, dolayısıyla rasyonel ve irrasyonel sayılar dışında bir reel sayı yoktur.
Reel sayılar kümesini pozitif ve negatif reel sayılar kümeleri ve sıfırın birleşimi şeklinde aşağıdaki gibi gösterebiliriz.
\( \mathbb{R} = \mathbb{R^-} \cup \{ 0 \} \cup \mathbb{R^+} \)
Sıfırın dahil olduğu aşağıdaki sayı kümeleri de belirtilen isimlerle kullanılabilir.
Negatif olmayan reel sayılar \( = \mathbb{R^+} \cup \{ 0 \} \)
Pozitif olmayan reel sayılar \( = \mathbb{R^-} \cup \{ 0 \} \)
Sanal Sayılar
Karesi bir negatif reel sayı olan, ya da bir başka deyişle bir negatif reel sayının karekökü olan sayılara sanal sayı denir.
Aşağıdaki sayılar birer sanal sayıdır.
\( \sqrt{-1}, \sqrt{-2}, \sqrt{-\frac{7}{2}} \)
\( -1 \) sayısının kareköküne, ya da karesi \( -1 \) olan sayıya sanal birim denir ve \( i \) ile gösterilir.
\( i = \sqrt{-1} \)
\( i^2 = -1 \)
Tüm sanal sayıları sanal birim cinsinden aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz. Sanal birimin tüm reel sayı katları sanal sayılar kümesini oluşturur.
\( i, 2i, -3i, \sqrt{-5} = \sqrt{5}i \)
Karmaşık Sayılar
Reel ve sanal bileşenlerden oluşan ve \( a + bi \) şeklinde ifade edilebilen sayılara karmaşık sayılar denir. Karmaşık sayılar kümesi \( \mathbb{C} \) sembolü ile gösterilir.
\( \mathbb{C} = \{ a + bi: a, b \in \mathbb{R}, i = \sqrt{-1} \} \)
Reel sayılar sanal kısımları sıfır olacak şekilde \( a + 0i \) şeklinde gösterilebildikleri için, tüm reel sayılar (doğal sayılar, tam sayılar, rasyonel sayılar, irrasyonel sayılar) aynı zamanda birer karmaşık sayıdır.
\( 3 = 3 + 0i \)
\( \sqrt{2} = \sqrt{2} + 0i \)
Benzer şekilde, sanal sayılar reel kısımları sıfır olacak şekilde \( 0 + bi \) şeklinde gösterilebildikleri için, tüm sanal sayılar aynı zamanda birer karmaşık sayıdır.
Karmaşık sayılar kümesi reel ve sanal sayılar kümelerinin birleşiminden oluşur, dolayısıyla reel ve sanal sayılar dışında bir karmaşık sayı yoktur.
Sanal ve karmaşık sayıları daha detaylı şekilde "Karmaşık Sayılar" konusunda inceyeceğiz.
Sayı Kümeleri Arasındaki İlişki
Yukarıda listelediğimiz sayı kümeleri arasındaki ilişkiyi küme işlemi ve bir şekil olarak aşağıdaki gibi özetleyebiliriz.
\( \mathbb{N} = \{ 0 \} \cup \mathbb{Z^+} \)
\( \mathbb{Z} = \mathbb{Z^-} \cup \{ 0 \} \cup \mathbb{Z^+} \)
\( \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{Q'} \)
\( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C} \)
SORU 1:
Aşağıdaki sayıların ait oldukları sayı kümelerini belirtin.
\( 1; \sqrt{9}; \sqrt{10}; 4i \)
Çözümü Göster- \( 1 \): Doğal sayılar, tam sayılar, rasyonel sayılar (tüm tam sayılar kesir olarak yazılabilir), reel sayılar, karmaşık sayılar (\( 1 + 0i \) olarak yazılabilir).
- \( \sqrt{9} \): 9 bir tam kare olduğu için karekökü tam sayıdır, dolayısıyla ait olduğu sayı kümeleri 1 ile aynıdır.
- \( \sqrt{10} \): İrrasyonel sayılar (10 bir tam kare olmadığı için karekök değerinin ondalık kısmı tekrarlamadan sonsuza gider), reel sayılar, karmaşık sayılar (\( \sqrt{10} + 0i \) olarak yazılabilir).
- \( 4i \): Sanal sayılar, karmaşık sayılar.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 2:
Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri doğrudur?
I. Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimi reel sayılar kümesini verir.
II. Pozitif ve negatif tam sayıların birleşimi tam sayılar kümesini verir.
III. Reel ve sanal sayıların birleşimi karmaşık sayılar kümesini verir.
IV. Rasyonel sayılar doğal sayıları kapsar.
Çözümü GösterVerilen ifadeleri inceleyelim.
I. Her reel sayı ya rasyonel ya da irrasyoneldir. Bu ifade doğrudur.
II. Tam sayılar kümesi pozitif ve negatif tam sayılar ve sıfırın birleşiminden oluşur. Bu ifade yanlıştır.
III. Reel sayılar sadece reel bileşeni olan, sanal sayılar da sadece sanal bileşeni olan karmaşık sayılardır. Karmaşık sayılar bu sayılara ek olarak her iki bileşeni de sıfırdan farklı olan sayıları da içerir (örneğin \( 2 + 3i \)). Bu ifade yanlıştır.
IV. Tüm tam sayılar kesirli şekilde yazılabildikleri için rasyonel sayılar doğal sayıları da kapsar. Bu ifade doğrudur.
Buna göre I. ve IV. ifadeler doğrudur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 3:
Aşağıdaki ifadelerden hangileri her zaman doğrudur?
I. Rasyonel iki sayının toplamı rasyoneldir.
II. Rasyonel bir sayı ile irrasyonel bir sayının toplamı irrasyoneldir.
III. İrrasyonel iki sayının toplamı irrasyoneldir.
Çözümü Gösterİfadeleri sırayla inceleyelim.
I. ifade: Rasyonel iki ifadenin toplamını yine kesirli bir şekilde yazabiliriz. Bu ifade doğrudur.
II. ifade: Rasyonel bir sayı ile irrasyonel bir sayının toplamı her zaman irrasyoneldir. Bu ifade doğrudur.
III. ifade: İrrasyonel iki sayının toplamı irrasyonel olmayabilir (örneğin \( \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0 \)). Bu ifade yanlıştır.
Buna göre I. ve II. ifadeler her zaman doğrudur.
Soru sorun Soruda hata bildirin