Rasyonel Sayılarda Toplama Işleminin Özellikleri

rasyonel sayılarda toplama işleminin özellikleri

Rasyonel Sayılarla Toplama ve Çıkarma İşlemleri Konu Anlatım

Sevgili gençler, rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma işlemlerinde;

* Rasyonel sayılarla toplama işlemi

* Rasyonel sayılarla çıkarma işlemi

* Rasyonel sayılarla toplama işleminin özellikleri

Rasyonel sayılarla toplama işleminin değişme özelliği
Rasyonel sayılarla toplama işleminin birleşme özelliği
Rasyonel sayılarla toplama işleminin etkisiz ( birim ) eleman özelliği
Rasyonel sayılarla toplama işleminin ters eleman özelliği başlıklarına yer verdik.

Slayt ( canlı defter ) ve pdf ( akıllı defter ) olarak hazırladığımız rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma işlemleri konumuzun anlaşılmasını oldukça kolaylaştıracaktır.

Rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma işlemleri konu anlatımından sonra, rasyonel sayılarla

çarpma ve bölme işlemleri konu anlatımına BURADAN&#; ulaşabilirsiniz.

SLAYT ( canlı defter ) İNDİR&#;

PDF ( öğrenci için akıllı defter ) İNDİR&#;

SLAYT

PDF

Sevgili öğrenciler matematik desinin temel konularından olan rasyonel sayıların toplama ve çıkarma işlemlerini sizler için hazırladık.

Rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma işlemleri konu anlatım slayt ve bunu destekleyen pdf ile işiniz artık daha kolay.

Matematik dersinin temelini oluşturan tam sayılar konusundan sonra ikinci temel konumuz olan rasyonel sayılar konusunun işlemler bölümünü sizler için hazırladık.

Rasyonel sayılarla işlemler konusunun toplama ve çıkarma işlemleri başlıkları sizler için oldukça önemli başlıklar.

Önümüzdeki yıl ve sonraki yıllar matematik dersi ile ilgili planlarınızı olumlu veya olumsuz bir şekilde değiştirecek olan 7. sınıf matematik dersine katkısı olacağını umduğumuz konu anlatımlarımız özellikle kendi başınıza çalışmanız için hazırlandı.

Özellikle internetteki bilgi kirliliğinin önüne geçmek için özel çaba sarfettiğimiz bu çalışmaların sizler için faydalı olması dileğiyle hepinize iyi çalışmalar diliyoruz.

RASYONEL SAYILARLA TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMLERİ

* Paydaları eşit rasyonel sayıların, payları toplanır veya çıkarılır, ortak paydaya pay olarak yazılır.

* Paydalar eşit değilse, sayılar genişletilerek veya sadeleştirilerek eşitlenir. Daha sonra işlem yapılır.

NOT: Parantezli işlemlerde, önce işaret incelemesi yapılarak parantezler kaldırılır daha sonra işlemler yapılır.

RASYONEL SAYILARLA TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

Değişme Özelliği :

Sayıların yerleri değiştiğinde toplama işleminin sonucu değişmediğinden, rasyonel sayılarda toplama işleminin değişme özelliği vardır.

Birleşme Özelliği :

Alacağımız üç tane a , b , c rasyonel sayıları a + ( b + c ) = ( a + b ) + c eşitliğini sağladığından rasyonel sayılarla toplama işleminin birleşme özelliği vardır.

2 + ( 5 + 3 ) = ( 2 + 5 ) + 3

2 + 8 = 7 + 3

10 = 10 olur.

Etkisiz ( birim ) Eleman Özelliği :

Toplama işleminin etkisiz elemanı 0 ( sıfır ) &#; dır.

5 + 0 = 5

0 + ( - 8 ) = -8

Ters Eleman Özelliği:

Sayının toplama işlemine göre tersi, sayının zıt işaretlisidir.

8 in toplama işlemine göre tersi - 8 olur.

- 25 in toplama işlemine göre tersi +25 olur.

NOT: Bir sayı ile toplama işlemine göre tersinin toplamı, etkisiz elemanı ( 0) verir.

&#; 5 + ( + 5 ) = - 5 + 5 = 0

Rasyonel sayılarda değişme, kapalılık ve dağılma özelliği nedir? Rasyonel sayıların toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerindeki özellikler örnekler.

Rasyonel Sayılarda Değişme Özelliği

İki adet rasyonel sayı alır ve dört işlem için değişme özelliğini incelersek;

Örnek olarak alacağımız kesirler: -3/7 ve 2 1/2

Toplama İşleminde;

$\displaystyle \left( \frac{-3}{7} \right)+2\frac{1}{2}=\left( \frac{-6}{14} \right)+2\frac{7}{14}=2\frac{1}{14}$

=

$\displaystyle 2\frac{1}{2}+\left( \frac{-3}{7} \right)=2\frac{7}{14}+\left( \frac{-6}{14} \right)=2\frac{1}{14}$

SONUÇLAR BİRBİRLERİNE EŞİTTİR.

Genel olarak eğer a/b, c/d ∈ Q ise; $\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{c}{d}+\frac{a}{b}$

Rasyonel sayılarda toplama işleminde değişme özelliği mevcuttur.

Çıkarma İşleminde;

$\displaystyle \left( \frac{-3}{7} \right)-2\frac{1}{2}=\frac{-6}{14}-2\frac{7}{14}=\frac{-6}{14}+\left( -2\frac{7}{14} \right)=-2\frac{13}{14}$

≠

$\displaystyle 2\frac{1}{2}-\left( \frac{-3}{7} \right)=2\frac{7}{14}-\left( \frac{-6}{14} \right)=2\frac{7}{14}+\frac{6}{14}=2\frac{13}{14}$

SONUÇLAR EŞİT DEĞİLDİR.

Genel olarak eğer if a/b, c/d ∈ Q ise; $\displaystyle \frac{a}{b}-\frac{c}{d}\ne \frac{c}{d}-\frac{a}{b}$

Rasyonel sayılarda çıkarma işleminde değişme özelliği yoktur

Çarpma İşleminde;

$\displaystyle \left( \frac{-3}{7} \right)x2\frac{1}{2}=\frac{-3}{7}x\frac{5}{2}=\frac{-3x5}{7x2}=\frac{}{14}=-1\frac{1}{14}$

=

$\displaystyle 2\frac{1}{2}x\left( \frac{-3}{7} \right)=\frac{5}{2}x\frac{-3}{7}=\frac{5x\left( -3 \right)}{2x7}=\frac{}{14}=-1\frac{1}{14}$

SONUÇLAR BİRBİRLERİNE EŞİTTİR.

Genel olarak eğer a/b, c/d ∈ Q ise; $\displaystyle \frac{a}{b}x\frac{c}{d}=\frac{c}{d}x\frac{a}{b}$

Rasyonel sayılarda çarpma işleminde değişme özelliği mevcuttur.

Bölme İşleminde;

$\displaystyle \left( \frac{-3}{7} \right)\div 2\frac{1}{2}=\frac{-3}{7}\div \frac{5}{2}=\frac{-3}{7}x\frac{2}{5}=\frac{-6}{35}$

≠

$\displaystyle 2\frac{1}{2}\div \left( \frac{-3}{7} \right)=\frac{5}{2}\div \left( \frac{-3}{7} \right)=\frac{5}{2}x\left( \frac{-7}{3} \right)=\frac{}{6}=-5\frac{5}{6}$

SONUÇLAR EŞİT DEĞİLDİR.

Genel olarak eğer a/b, c/d ∈ Q ise; $\displaystyle \frac{a}{b}\div \frac{c}{d}\ne \frac{c}{d}\div \frac{a}{b}$

Rasyonel sayılarda bölme işleminde değişme özelliği yoktur.
Rasyonel sayılar toplama ve çarpma işlemlerinde değişme özelliğine sahipken, çıkarma ve bölme işlemlerinde değişme özelliğine sahip değillerdir.

Rasyonel Sayıların Kapalılık Özelliği

Rasyonel sayıların toplama, çıkarma, çarpma ve bölmedeki dört işlemde kapalılık özelliği mevcuttur. İki rasyonel sayının toplanması, çıkarılması, çarpılması ve bölünmesi sonucunda yine rasyonel bir sayı elde edilir.

İki örnek kesir alarak 4 işlemi ve kapalılık özelliğini inceleyelim.

Örnek kesirlerimiz; 3/4 ve -5/7

Genel olarak; eğer a/b, c/d ∈ Q ve a/b, c/d ≠ 0 ise; $\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd}=\frac{ad+bc}{bd}\in Q$

$\displaystyle \frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}-\frac{bc}{bd}=\frac{ad-bc}{bd}\in Q$
$\displaystyle \frac{a}{b}x\frac{c}{d}=\frac{axc}{bxd}=\frac{ac}{bd}\in Q$
$\displaystyle \frac{a}{b}\div \frac{c}{d}=\frac{a}{b}x\frac{d}{c}=\frac{axd}{bxc}=\frac{ad}{bc}\in Q$

Rasyonel sayılar toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinde kapalılık özelliğine sahiptir. (0 sayısı hariç).

Rasyonel Sayılarda Dağılma Özelliği;

Dağılma özelliği için iki adet işlem gerekli. İnceleyeceklerimiz;

(a) Çarpmanın toplama üzerinde dağılma özelliği
(b) Çıkarmanın çıkarma üzerinde dağılma özelliği

Örnek için üç adet kesir ele alırsa; -3/4, 2/3 ve 2 1/2

Çarpmanın Toplama Üzerinde Dağılma Özelliği

$\displaystyle \frac{-3}{4}x\left( \frac{2}{3}x2\frac{1}{2} \right)=\frac{-3}{4}x\left( \frac{4}{6}x2\frac{3}{6} \right)=\frac{-3}{4}x2\frac{7}{6}=\frac{-3}{4}x\frac{19}{6}=\frac{}{8}=-2\frac{3}{8}$

=

$\displaystyle \left( \frac{-3}{4}x\frac{2}{3} \right)+\left( \frac{-3}{4}x2\frac{1}{2} \right)=\frac{-1}{2}+\left( \frac{-3}{4}x\frac{5}{2} \right)=\frac{-1}{2}+\left( \frac{}{8} \right)=\frac{-4}{8}+\frac{}{8}=\frac{}{8}=-2\frac{3}{8}$

SONUÇLAR BİRBİRİNE EŞİTTİR.

Örnekte görüldüğü gibi çarpma işlemini soldan sağa yada sağdan sola doğru toplama işlemi üzerinde dağıtırsak sonuçlar aynı olur.

Genel olarak eğer a/b, c/d, e/f ∈ Q ise; $\displaystyle \frac{a}{b}x\left( \frac{c}{d}+\frac{e}{f} \right)=\left( \frac{a}{b}x\frac{c}{d} \right)+\left( \frac{a}{b}x\frac{e}{f} \right)$

$\displaystyle \left( \frac{a}{b}+\frac{c}{d} \right)x\frac{e}{f}=\left( \frac{a}{b}x\frac{e}{f} \right)+\left( \frac{c}{d}x\frac{e}{f} \right)$

Rasyonel sayılarda çarpmanın toplama üzerinde dağılma özelliği vardır

Çarpmanın Çıkarma Üzerinde Dağılma Özelliği

$\displaystyle \frac{-3}{4}x\left( \frac{2}{3}-2\frac{1}{2} \right)=\frac{-3}{4}x\left( \frac{4}{6}+-2\frac{3}{6} \right)=\frac{-3}{4}x\left( \frac{4}{6}+-1\frac{9}{6} \right)=\frac{-3}{4}x-1\frac{5}{6}=\frac{-3}{4}x\frac{}{6}=\frac{11}{8}=1\frac{3}{8}$

=

$\displaystyle \left( \frac{-3}{4}x\frac{2}{3} \right)-\left( \frac{-3}{4}x2\frac{1}{2} \right)=\frac{-1}{2}-\left( \frac{-3}{4}x\frac{5}{2} \right)=\frac{-1}{2}-\left( \frac{}{8} \right)=\frac{-1}{2}+1\frac{7}{8}=\frac{-4}{8}+1\frac{7}{8}=1\frac{3}{8}$

SONUÇLAR BİRBİRİ İLE EŞİTTİR.

Genel olarak eğer a/b, c/d, e/f ∈ Q ise; $\displaystyle \frac{a}{b}x\left( \frac{c}{d}-\frac{e}{f} \right)=\left( \frac{a}{b}x\frac{c}{d} \right)-\left( \frac{a}{b}x\frac{e}{f} \right)$

$\displaystyle \left( \frac{a}{b}-\frac{c}{d} \right)x\frac{e}{f}=\left( \frac{a}{b}x\frac{e}{f} \right)-\left( \frac{c}{d}x\frac{e}{f} \right)$

Rasyonel sayılarda çarpmanın çıkarma üzerinde dağılma özelliği vardır

Rasyonel sayılarda toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinde birleşme özellikleri var mıdır? Birleşme özelliğinin örneklerle açıklaması.

RASYONEL SAYILAR

Kesir

a, b ∈ N ve b ≠ O olmak üzere rasyonel sayısına kesir denir.

Basit Kesir

Payı paydasından küçük olan kesirlere basit kesir denir.
$\displaystyle \frac{3}{5},\frac{1}{2},0,$ gibi sayılar birer basit kesirdir.

Bileşik Kesir

Payı paydasından büyük veya eşit olan kesirlere bileşik kesir denir.
$\displaystyle \frac{5}{3},\frac{7}{6},2,1,$ gibi sayılar birer bileşik kesirdir.
*** a, b, c ∈ N ve c≠0 ise
$\displaystyle a+\frac{b}{c}=a\frac{b}{c}$ kesrine tam sayılı kesir denir.

Rasyonel Sayılarda Birleşme Özelliği

Üç adet rasyonel sayıyı örnek olarak ele alıp birleşme özelliğini inceleyelim.

Örnek olarak -3/4, 2/3 and 2 1/2 kesirlerini ele alalım;

Toplama İşleminde

$\displaystyle \frac{-3}{4}+\left( \frac{2}{3}+2\frac{1}{2} \right)=\frac{-3}{4}+\left( \frac{4}{6}+2\frac{3}{6} \right)=\frac{-3}{4}+2\frac{7}{6}=\frac{-9}{12}+2\frac{14}{12}=2\frac{5}{12}$

=

$\displaystyle \left( \frac{-3}{4}+\frac{2}{3} \right)+2\frac{1}{2}=\left( \frac{-9}{12}+\frac{8}{12} \right)+2\frac{1}{2}=\frac{-1}{12}+2\frac{1}{2}=\frac{-1}{12}+2\frac{6}{12}=2\frac{5}{12}$

SONUÇLAR BİRBİRLERİNE EŞİTTİR.

Genel olarak eğer a/b, c/d, e/f ∈ Q ise; $\displaystyle \frac{a}{b}+\left( \frac{c}{d}+\frac{e}{f} \right)=\left( \frac{a}{b}+\frac{c}{d} \right)+\frac{e}{f}$

Rasyonel sayılarda toplama işleminde birleşme özelliği mevcuttur.

Çıkarma İşleminde;

$\displaystyle \frac{-3}{4}-\left( \frac{2}{3}-2\frac{1}{2} \right)=\frac{-3}{4}-\left( \frac{4}{6}-2\frac{3}{6} \right)=\frac{-3}{4}-\left( \frac{4}{6}+-1\frac{9}{6} \right)=\frac{-3}{4}-\left( -1\frac{5}{6} \right)=\frac{-9}{12}+\left( +1\frac{10}{12} \right)=1\frac{1}{12}$

≠

$\displaystyle \left( \frac{-3}{4}-\frac{2}{3} \right)-2\frac{1}{2}=\left( \frac{-9}{12}+\frac{-8}{12} \right)-2\frac{1}{2}=\frac{}{12}-2\frac{1}{2}=-1\frac{-5}{12}-2\frac{6}{12}=-3\frac{11}{12}$

SONUÇLAR BİRBİRLERİNE EŞİT DEĞİLDİR.

Genel olarak eğer a/b, c/d, e/f ∈ Q ise;

$\displaystyle \frac{a}{b}-\left( \frac{c}{d}-\frac{e}{f} \right)\ne \left( \frac{a}{b}-\frac{c}{d} \right)-\frac{e}{f}$

Rasyonel sayılarda çıkarma işleminde birleşme özelliği yoktur.

Çarpma İşleminde;

$\displaystyle \frac{-3}{4}x\left( \frac{2}{3}x2\frac{1}{2} \right)=\frac{-3}{4}x\left( \frac{2}{3}x\frac{5}{2} \right)=\frac{-3}{4}x\frac{5}{3}=\frac{-5}{4}=-1\frac{1}{4}$

=

$\displaystyle \left( \frac{-3}{4}x\frac{2}{3} \right)x2\frac{1}{2}=\left( \frac{-1}{2}x2\frac{1}{2} \right)=\frac{-1}{2}x\frac{5}{2}=\frac{-5}{4}=-1\frac{1}{4}$

SONUÇLAR BİRBİRLERİNE EŞİTTİR.

Genel olarak eğer a/b, c/d, e/f ∈ Q ise;

$\displaystyle \frac{a}{b}x\left( \frac{c}{d}x\frac{e}{f} \right)=\left( \frac{a}{b}x\frac{c}{d} \right)x\frac{e}{f}$

Rasyonel sayılarda çarpma işleminde birleşme özelliği mevcuttur.

Bölme İşleminde

$\displaystyle \frac{-3}{4}\div \left( \frac{2}{3}\div 2\frac{1}{2} \right)=\frac{-3}{4}\div \left( \frac{2}{3}x\frac{2}{5} \right)=\frac{-3}{4}\div \frac{4}{15}=\frac{-3}{4}x\frac{15}{4}=-\frac{45}{16}=-2\frac{13}{16}$

≠

$\displaystyle \left( \frac{-3}{4}\div \frac{2}{3} \right)\div 2\frac{1}{2}=\left( \frac{-3}{4}x\frac{3}{2} \right)\div 2\frac{1}{2}=\frac{-9}{8}\div 2\frac{2}{5}=\frac{-9}{8}x\frac{2}{5}=-\frac{9}{20}$

SONUÇLAR EŞİT DEĞİLDİR.

Genel olarak eğer a/b, c/d, e/f ∈ Q ise; $\displaystyle \frac{a}{b}\div \left( \frac{c}{d}\div \frac{e}{f} \right)\ne \left( \frac{a}{b}\div \frac{c}{d} \right)\div \frac{e}{f}$

Rasyonel sayılarda bölme işleminde birleşme özelliği yoktur.
Rasyonel sayılarda toplama ve çarpma işleminde birleşme özelliği mevcutken çıkarma ve bölme işlemlerinde birleşme özelliği yoktur.

7. Sınıf Matematik Rasyonel Sayılarla Toplama Ve &#;ıkarma İşlemleri konu anlatımı

Haberin Devamı

Örnek: 4/3 ve - 2/5 sayılarını ele alarak toplama işlemi yapalım.

Gördüğümüz gibi yukarıdaki rasyonel sayıları toplamamız için öncelikle paydalarını eşitlememiz gerekiyor.

4 + - 2 = 20 + (-6) = 14/15

3 5 15

(5) (3)

Sırasıyla yukarıdaki işlemde öncelikle paydaları 15'te eşitledik. Bu işlemi tamamladıktan sonra yukarıda 20 sayısı ile -6 sayısını bulduk. 20 sayısı pozitiftir ve - 6 sayısı ise negatiftir. Bu sebepten dolayı 20 sayısından 6 sayısını çıkarmak suretiyle 14 sayısını buluruz. Paydası da 15 olduğu için bu işlemin sonucu 14/15 oluyor.

Not: Bu şekilde rasyonel sayılar üzerinden toplama işlemi yaparken, eğer elimizde tam sayılı kesirler varsa öncelikle bunları basit ya da bileşik kesre çevremiz gerekmektedir.

Rasyonel Sayılarla Çıkarma İşlemleri

Aynı şekilde yine rasyonel sayılarla çıkarma işlemi yaparken önce paydaları eşitleriz. Daha sonra rasyonel sayıların pozitif veya negatif olup olmadığına bağlı şekilde, toplama ve çıkarma işlemini gerçekleştiririz. Şimdi bunu bir örnekle inceleyelim ve anlamaya çalışalım.

Örnek: - 3/5 - - 2/5 sayılarını ele alarak çıkarma işlemini yapalım.

Haberin Devamı

Gördüğümüz gibi yukarıdaki rasyonel sayıların paydaları eşittir. O yüzden payda eşitlemesi yapmadan doğrudan çıkarma işleminde geçebiliriz.

- 3 - - 2 = - 3 - (-2) = - 3 + 2 = - 1

5 5 5 5 5

Paydaları eşit olduğu için -3 ile -2 sayılarını ortak kesir üzerinde bir araya getirdik. Ancak Burada dikkat edersiniz 2 sayısı negatif olduğu için ve önünde de bir eksi daha olduğu için, bu kısım + haline gelir. Çünkü - ile - işaretinin çarpımı artı olur. Bu durum işaretinin kullanımı kısmında yer almaktadır. Daha sonra -3 ile + 2 sayısını topluyoruz ve karşımıza - 1 sayısı çıkıyor. Böylece bu sayının sonucunu - 1/5 olduğunu anlıyoruz.

Not: Aynı şekilde rasyonel sayılarla çıkarma işlemi gerçekleştirirken, eğer elimizde tam sayılı bir kesir var ise bunu öncelikle bileşik kesre çevremiz gerekiyor. Aynı zamanda eğer elimizde ondalık gösterim var ise bunu da rasyonel sayıya çevirebiliriz. Böylece kolayca toplama ya da çıkarma işlemini gerçekleştirmeniz mümkün olur.

Haberin Devamı

Şimdi yukarıdaki örnekleri ve tanımlamaları inceleyerek, rasyonel sayılarda toplama ve çıkarma işlemlerini öğrenebilirsiniz. Özellikle pratik yapmak için bu yazılanları defterinize yazabilir ve çalışabilirsiniz. Aynı zamanda başka örnekler üzerinden çalışabilir ve konuyu daha iyi bir şekilde anlayabilirsiniz.

Bunu yaparken mutlaka sayıların paydalarının eşit olmasına ve negatif pozitif olmasına çok dikkat etmemiz gerekmektedir.