Sayı Sistemleri Soru Çözümleri
Binary sayıları decimal sayılara dönüştürürken binary sayı sistemi içerisinde bulunan rakamları sırasıyla 10&#;nun katlarıyla çarpıp, her çarpımı birbiriyle toplarız.
soru:
Binary sayı sistemindeki yazılan ()&#; sayısını decimal sayı sistemine çeviriniz.
cevap:
()&#;=(&#;&#;&#;)&#;&#;=2&#;x1+2x0+2x0+2x1+2&#;=1+0+0+8+16=25 olur ve sonuç (25)&#;&#; şeklinde yazılır.
Onluk(Decimal)-İkilik(Binary) Sayı Sistemi Dönüşümü
Decimal sayılar binary sayılara dönüştürülürken, decimal sayı sürekli ikiye bölünür. Her bölümün sonunda kalan sayı sırasıyla baştan sona doğru yazılır ve sonuçta decimal sayı binary sayıya dönüştürülmüş olunur.
soru:
(29)&#;&#;=(&#;&#;&#;&#;.)&#;
cevap:
29 sayısı sürekli 2&#;ye bölünür.
29/2= bölüm=14 kalan=1
14/2= bölüm=7 kalan=0
7/2= bölüm=3 kalan=1
3/2= bölüm=1 kalan=1
en son bölme işleminden kalan 1 sayısı en başa yazılır. Artık bölüm 1 olduğundan dolayı bölme
işlemi sonlandırılır. Çünkü 1 sayısı 2 sayısından küçüktür.
Sonuçta elde edilen sayı : ()&#;'dir.
İkilik(Binary)-Sekizlik(Oktal) Sayı Sistemi Dönüşümü
İkilik sayılar, onluk sayılara dönüştürülürken, ikilik sayı üçerli gruplara ayrılır. Üçerli gruba ayrılan sayılar onluk sayıya dönüştürülür ve sırasıyla sekizlik sayı olarak yazılır.
Örneğin, ()&#; sayısını oktal sayıya dönüştürelim .
- Sağdaki ilk üç sayı olan sayısının decimal karşılığı 2'dir.
- Soldaki sayısının decimal karşılığı ise 3'dür.
Sonuç olarak cevap (32)&#; sayısıdır.
Aşağıdaki videoda binary-oktal sayı dönüşümüyle ilgili örnek sorular yer almaktadır.
Sekizlik(Oktal)-İkilik(Binary) Sayı Sistemi Dönüşümü
Sekizlik sayılar, ikilik sayılara dönüştürülürken sekizlik taban içerisindeki her bir sayı decimal olarak düşünülür ve bu sayılar sırasıyla binary sayılara dönüştürülür. Sonuç olarak her oktal sayı üçerli gruplar halinde binary sayı olarak yazılır.
soru:
()&#;= (?)&#; sayı dönüşümünü gerçekleştiriniz.
cevap:
sayısındaki her bir rakam ikilik sayıya dönüştürülür:
- 6 sayısının binary karşılığı 'dir.
- 7 sayısının binary karşılığı 'dir.
- 3 sayısının binary karşılığı 'dır. şeklinde binary karşılıklar yazılır.
sonuç olarak cevap: ()&#; olarak bulunur.
Aşağıdaki videoda oktal-binary sayı dönüşümüyle ilgili örnek sorular yer almaktadır.
| ||||
| ||||
Sayı Sistemleri &#; Basamak Değeri
Sayı sistemleri, kpss matematik dersine ait bir konudur. Verilen bir sayının çözümlenmesi olarak işlenen sayı sistemleri, sayı değer ve basamak değeri başlıklarını içermektedir. Şimdi kpss matematik dersinde sayı çeşitlerinden sonra gelen sayı sistemleri konusunu irdeleyelim.
Sayı Sistemleri
1) Sayı Değeri: Basitçe bir tanımla bir sayıyı oluşturan rakamlara o sayının sayı değeri denilmektedir.
- sayısının sayı değerleri toplamı nedir?
2) Basamak Değeri:Kpss matematik konuları içinde yer alan basamak değeri, bir sayıyı oluşturan rakamların bulunduğu konuma o rakamın basamak değeri denilmektedir.
sayısını örnek verecek olursak. Buradaki 4, yüzler basamağında bulunduğu için 4&#;ün basamak değeri 4&#;=&#;dür. 5&#;in basamak değeri 5&#;10=50&#;dir. 2&#;nin basamak değeri de binler basamağında olduğundan 2&#;= oalcaktır.
Doğal sayılar içinde bütün rakamların basamak değerlerini yazıp toplarsak doğal sayıyı çözümlemiş oluruz. Bu bakımdan basamak değeri bize bir sayının çözümlenmesini gösterir. Kpss sorularında da bu alanda sorulan sorular sayı çözümleme tarzındadır.
Sayı sistemleri içinde yer alan basamak değerleri abc tarzında sorularla da karşımıza çıkmaktadır.
- abc= a+10b+c şeklinde çözümlenmektedir.
- 2a8b= +a+80+b şeklinde çözümlenir.
= 11a+11b = 11(a+b)
= 10a+bb-a = 9a-9b
= 9 (a-b)
- abc-cba = a+10b+c-(c+10b+a)
= a+10b+ccb-a = 99ac
= 99(a-c)
Şimdi kpss genel yetenek matematik sorularında çıkan basamak değeri ile ilgili birkaç soru örneği çözelim.
- abc ve cba üç basamaklı doğal sayılardır.
abc-cba = olduğuna göre a+b+c toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?
abc-cba =
a+10b+c-(c+10b+a) =
a+10b+ccb-a = => 99ac = olur. Buradan;
99 (a-c) = => a-c= 7 olur.
a+b+c toplamının en büyük değeri için a=9, c=2 ve b=9 alınır. (Rakamları farklı demediği için aynı rakamları seçebiliriz.)
a+b+c=9+9+2= 20
- İki basamaklı ab sayısı ile bu sayının rakamları yer değiştirilerek elde edilen iki basamaklı ba sayısının farkı 54 ise bu koşula uygun yazılabilecek ab sayılarının toplamı kaçtır?
ab-ba= 54
10a+b-(10b-a) = 54
10a+bb-a= 54
9 (a-b) =54 buradan a-b= 6 çıkar. Şimdi bu koşula uyan ab sayılarını bulalım;
a=9 iken b=3 ; 93
a=8 iken b=2 ; 82
a=7 iken b=1 ; 71 => elde edilen tüm ab sayılarını toplarsak;
93+82+71 = sonucu çıkmaktadır.
Konuyla ilgili Kpss&#;de bolca çıkmış soru bulabilirsiniz. Bu ve buna benzer soruları çözersek konuyu ve çıkabilecek kpss potansiyel sorularını daha rahat anlayabiliriz. Mutlaka bolca test çözülmeli ki bu konuyla ilgili diğer soru tiplerini de anlayalım.
Kpss genel yetenek matematik dersine ait Sayı Sistemleri konusu tamamlanmıştır. Bir sonraki kpss matematik konusu Taban Aritmetiği olacaktır.
Sayı Sistemleri
A. SAYI BASAMAĞI
Bir sayıyı oluşturan rakamlardan her birine bu sayının basamağı denir.
Bir doğal sayıda kaç tane rakam varsa sayı o kadar basamaklıdır.
üç basamaklı bir sayıdır.
B. ÇÖZÜMLEME
Doğal sayıyı oluşturan rakamların bulunduğu yerdeki değerine basamak değeri denir.
Basamak değerlerinin toplamına o sayının çözümlenmiş biçimi denir.
Üç basamaklı abc sayısı aşağıda çözümlenmiştir.
- ab = 10 × a + b
- abc = × a + 10 × b + c
- aaa = × a
- ab + ba = 11 × (a + b)
- ab – ba = 9 × (a – b)
- abc – cba = 99 × (a – c)
- abcd = cd + × ab = bcd + × a
C. TABAN
Bir sayı sisteminde sayının basamak değerlerini göstermek için kullanılan düzene taban denir.
T taban olmak üzere,
(abcd)T = a × T3 + b × T2 + c × T + d dir.
Burada,
- T, 1 den büyük doğal sayıdır.
- a, b, c, d rakamları T den küçüktür.
- Taban belirtmeden kullandığımız sayılar 10 luk tabana göredir.
- (abc,de)T = a × T2 + b × T + c + d × T–1 + e × T–2 dir.
1. Onluk Tabanda Verilen Sayının Herhangi Bir Tabana Çevrilmesi
Onluk tabanda verilen sayı, hangi tabana çevrilmek isteniyorsa, o tabana bölünür. Bölüm tekrar tabana bölünür. Bu işleme bölüm 0 olana kadar devam edilir.
Ardışık olarak yapılan bu bölmelerden kalanlar sondan başlayarak (ilk kalan son rakam olacak şekilde) sıralanmasıyla istenen sayı oluşturulur.
2. Herhangi Bir Tabanda Verilen Sayının 10 luk Tabana Çevrilmesi
Herhangi bir tabandan 10 luk tabana geçirilirken verilen sayı, ait olduğu tabana göre çözümlenir.
3. Herhangi Bir Tabanda Verilen Sayının Başka Bir Tabanda Yazılması
Herhangi bir tabanda verilen sayı önce 10 tabanına çevrilir. Bulunan değer istenen tabana dönüştürülür.
4. Taban Aritmetiğinde Toplama, Çıkarma, Çarpma işlemleri
Değişik tabanlarda yapılacak işlemler 10 luk sistemdekine benzer biçimde yapılır.
T tabanında verilen sayılarda toplama ve çarpma işlemleri bilinen cebirsel işlem gibi yapılır, ancak sonuç T den büyük çıkarsa içinden T ler atılıp kalan alınır. Atılan T adedi elde olarak bir sonraki basamağa ilave edilir.
Çıkarma işlemi yapılırken 10 luk sistemdekine benzer biçimde, bir soldaki basamaktan 1 (bir) almak gerektiğinde, bu 1 in aktarıldığı basamağa katkısı tabanın sayı değeri kadardır. Fakat alındığı basa-maktaki rakam 1 azalır.