Sıfır Faktöriyel Kaç
Sıfır Faktöriyel Neden Bire Eşittir?
Çizim: Umut Aybek
Permütasyon, belirli sayıda birbirinden farklı nesnelerin kaç farklı şekilde sıralanacağıyla ilgilenir. Kombinasyon kavramı ise nesnelerin sıralamasıyla değil sadece seçimiyle ilgilenir.
Bu konuları öğrendiğimiz sırada ezberleyip sorularda kullandığımız bir eşitlik vardır: 0!=1. Fakat bu eşitlik hep kafamızı karıştırır. Gelin şimdi kafa karışıklığına yol açan bu durumun açıklamasını öğrenelim.
Öncelikle sıfır faktöriyelin tanım gereği bire eşit olduğunu söylemeliyiz. Yani aslında 0! =1 ifadesi ispatlanabilen bir eşitlik değildir. Bu ifade ispatlanamasa da neden doğru olarak kabul edildiği açıklanabilir. Bunun için faktöriyel kavramının tanımını hatırlayalım:
Tanım: 1’den büyük bir n doğal sayısı için, 1’den n’ye kadar olan doğal sayıların çarpımına n faktöriyel denir ve n! ile gösterilir.
Örneğin 3! ifadesi 1.2.3 çarpımına, 4! ifadesi ise 1.2.3.4 çarpımına eşittir.
Kombinasyon hesabında kullandığımız formül ise şeklindedir. Buradaki “n” kümenin toplam eleman sayısı, “r” ise seçilen elemanların sayısıdır. Seçilen elemanların hangi sırada seçildiği önemli değildir.
Örneğin bize “5 kişilik bir ekipten 3 kişi kaç farklı şekilde seçilebilir?” şeklinde bir soru sorulduğunda cevabın 5’in 3’lü kombinasyonuna eşit olduğunu biliriz: C(5,3). Yani 5 kişilik bir ekipten 3 kişi 10 farklı şekilde seçilebilir.
“5 kişilik bir ekipten 5 kişi kaç farklı şekilde seçilebilir?” sorusunun cevabı içinse elimizde tek bir seçenek mevcuttur. Çünkü ekipte zaten 5 kişi yer alıyor ve biz hepsini seçiyoruz. Kombinasyon hesabındaki formülü kullandığımızda ise 0! ifadesiyle karşılaşırız.
Bu durumda, 5’in 5’li kombinasyonunun 1’e eşit olması için 0! ifadesinin çarpma işlemine göre etkisiz eleman olması gerekir. Bu nedenle de 0! ifadesi 1’e eşittir.
Peki 1,2 veya 1,5 gibi ondalık sayıların faktöriyeli hesaplanabilir mi?
Yukarıdaki faktöriyelin tanımı birden büyük tam sayılar için geçerli. Yani sadece bu tanımı göz önüne aldığımızda ondalık sayıların faktöriyelinin hesaplanması mümkün değil. Ancak yılında ünlü matematikçi Leonhard Euler tarafından keşfedilen ‘’gama fonksiyonu’’ ile ondalık sayıların da faktöriyelleri hesaplanabiliyor. Yani gama fonksiyonu, faktöriyel kavramını karmaşık sayılar ve ondalık sayılar için genelleyen bir fonksiyondur.
Siz de ondalık sayıların faktöriyellerini hesaplamak isterseniz gama fonksiyonunu kullanabilirsiniz.
Kaynaklar:
Programlama dillerinde de sıklıkla karşılaşılan bir kavram olan faktöriyel, özyineli (kendi kendini çağıran) ya da tekrarlamalı (iteratif) fonksiyonlarla hesaplanabilir.
Java programlama dilinde yazılmış özyineli ve tekrarlamalı fonksiyonlara birer örnek verecek olursak:
// n! hesabi - Ozyineli[değiştir 0 Fakt&#;riyel Ka&#;tır Ve Neden 1'e Eşit Olur?
Haberin Devamı Sıfır faktöriyel belli bir sabit rakama karşılık gelmektedir. Bu rakamın da aynı zamanda belli bir anlamı bulunmaktadır. Diğer bir deyişle 0 faktöriyelin karşılığı gelmiş ona rakam matematiksel bir sebepten dolayı 1’e denk olur.
0 Faktöriyel Kaçtır?
Sıfır faktöriyel karşılığı olarak 1 sayısı öne çıkar. Bu doğrultuda denklem üzerinden ele alındığı vakit şu şekilde bir karşılık bulunmaktadır;
0! = 1
Yukarıda olduğu gibi söz konusu sıfır faktöriyel olduğu zaman karşılık olarak bir rakamı öne çıkar.
0 Faktöriyel Neden 1'e Eşit Olur?
0 faktör ile karşılık gelen 1 sayısının cevabı aslına bakılırsa çok fazla takvim etmez. Ancak çok tatmin edici olmasa bile genel anlamda matematiksel tanımı gereği bu karşılık öne çıkar. Çünkü faktöriyel rakamlar değeri orijinal sayıya eşit ya da tüm pozitif rakamlar olarak ifade edilir.
0 Fakt&#;riyel Ka&#;tır Ve Neden 1'e Eşit Olur?
Sıfır faktöriyel belli bir sabit rakama karşılık gelmektedir. Bu rakamın da aynı zamanda belli bir anlamı bulunmaktadır. Diğer bir deyişle 0 faktöriyelin karşılığı gelmiş ona rakam matematiksel bir sebepten dolayı 1’e denk olur.
0 Faktöriyel Kaçtır?
Sıfır faktöriyel karşılığı olarak 1 sayısı öne çıkar. Bu doğrultuda denklem üzerinden ele alındığı vakit şu şekilde bir karşılık bulunmaktadır;
0! = 1
Yukarıda olduğu gibi söz konusu sıfır faktöriyel olduğu zaman karşılık olarak bir rakamı öne çıkar.
0 Faktöriyel Neden 1'e Eşit Olur?
0 faktör ile karşılık gelen 1 sayısının cevabı aslına bakılırsa çok fazla takvim etmez. Ancak çok tatmin edici olmasa bile genel anlamda matematiksel tanımı gereği bu karşılık öne çıkar. Çünkü faktöriyel rakamlar değeri orijinal sayıya eşit ya da tüm pozitif rakamlar olarak ifade edilir.
Faktöriyel Uygulamaları
Bir Faktöriyelin Sonundaki Sıfır Sayısı
Arası Faktöriyel Tablosu sayfasında verilen faktöriyel değerlerini incelediğimizde ilk bakışta birkaç nokta dikkatimizi çekecektir.
- 5 ve daha büyük sayıların tümünün faktöriyelleri sıfırla bitmektedir.
- Sayılar büyüdükçe son basamaklardaki sıfır sayısı da artmaktadır.
Hemen dikkatimizi çekmeyebilecek diğer birkaç nokta ise şunlardır.
- Her 5 sayıda bir faktöriyel değerinin sonuna bir sıfır eklenmektedir (5!, 10!, 15!, 20!, ).
- Her 25 sayıda bir faktöriyel değerinin sonuna iki sıfır eklenmektedir (25!, 50!, 75!, !, ).
- Tablo o sayılara çıkmasa da her sayıda bir faktöriyel değerinin sonuna üç sıfır eklenmektedir (!, !, !, !, ).
\( A = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c \cdot 7^d \cdot \ldots \)
Bunun sebebini şu şekilde açıklayabiliriz: Bir sayının sonuna sıfır eklenmesi için o sayıyı 10 ile çarpmamız gerekir. 10 sayısı 2 ve 5 asal çarpanlarından oluştuğu için bir sayının asal çarpan listesine eklenecek her ek 2 ve 5 çarpanı ile sayının sonuna yeni bir sıfır eklenir.
Buna göre, bir faktöriyelin içinde 2 ve 5 asal çarpanlarından hangisi daha az sayıda bulunuyorsa sayı o kadar 10 çarpanı içerir, dolayısıyla sonunda o kadar sıfır bulunur. Önceki bölümde gördüğümüz asal çarpanların kuvvetleri kuralına göre, bir sayının faktöriyeli içinde 5 çarpanı 2 çarpanından daha az ya da ona eşit sayıda bulunur. Bu yüzden bir faktöriyelin sonundaki sıfır sayısı o faktöriyelin içindeki 5 çarpanı sayısına eşittir.
Bir faktöriyelin içinde bulunan 5 çarpanı sayısını bulmak için önceki Bir Faktöriyelde Bulunan Çarpan Sayısı bölümünde öğrendiğimiz yöntemi kullanabiliriz.
ÖRNEK:
\( 99! \) sayısının sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bulalım.
Öğrendiğimiz yönteme göre bir sayının faktöriyelinin içindeki 5 çarpanının sayısı kadar sonunda sıfır vardır.
Buna göre \( 99! \) sayısının içinde:
5'in her katı için \( \floor{99 / 5} = 19 \) tane
25'in her katı için \( \floor{19 / 5} = 3 \) tane daha
Toplamda \( 19 + 3 = 22 \) tane 5 çarpanı vardır.
Buna göre \( 99! \) sayısının sondan 22 basamağı sıfırdır.
Arası Faktöriyel Tablosu sayfasında 99!'in değerinin sonundaki sıfır sayısını sayarak bulduğumuz sonucun doğru olduğunu teyit edebiliriz.
SORU 1:
\( 73! + 74! \) sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?
Çözümü Göster\( 73! + 74! = 73! + 73! \cdot 74 \)
\( = 73!(1 + 74) = 73! \cdot 75 \)
\( = 73! \cdot 5^2 \cdot 3 \)
Öğrendiğimiz yönteme göre bir sayının faktöriyelinin içindeki 5 çarpanının sayısı kadar sonunda sıfır vardır.
Buna göre \( 73! \) sayısının içinde:
5'in her katı için \( \floor{73 / 5} = 14 \) tane
25'in her katı için \( \floor{14 / 5} = 2 \) tane daha
Toplamda \( 14 + 2 = 16 \) tane 5 çarpanı vardır.
75 sayısının da içinde 2 tane 5 çarpanı olduğu için \( 73! + 74! \) toplamının sondan \( 16 + 2 = 18 \) basamağı sıfırdır.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 2:
\( (10!)^{10!} \) sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?
Çözümü GösterBir sayının faktöriyelinin içindeki 5 çarpanının sayısı kadar sonunda sıfır vardır.
Buna göre \( 10! \) sayısının içinde 5'in her katı için \( \floor{10 / 5} = 2 \) tane 5 çarpanı vardır.
Dolayısıyla \( 10! \) sayısının sondan 2 basamağı sıfırdır.
Sondan iki basamağı sıfır olan bir sayının \( n \). üssünü aldığımızda sondaki sıfır sayısı \( 2n \) olur.
Örnek: \( ^4 = 10^{12} \) sayısının sonunda \( 3 \cdot 4 = 12 \) sıfır vardır.
Buna göre \( (10!)^{10!} \) sayısının sondan \( 2 \cdot 10! \) basamağı sıfırdır.
Soru sorun Soruda hata bildirin
\( A! - 1 \) Şeklindeki İfadelerin Sonundaki Dokuz Sayısı
Benzer bir soru bir faktöriyelin bir eksiğinin sondan kaç basamağının dokuz olduğu şeklinde karşımıza çıkabilir.
Aşağıdaki şekilde görebileceğimiz gibi, \( 50! \) sayısının sonundaki sıfır sayısı \( 50! - 1 \) sayısının sonundaki dokuz sayısına eşittir. Dolayısıyla bir faktöriyelin bir eksiğinin sonundaki dokuz sayısını bulmak için o faktöriyelin sonundaki sıfır sayısını bulmak için kullandığımız yöntemi kullanabiliriz.
ÖRNEK:
\( 92! - 1 \) sayısının sondan kaç basamağında 9 rakamı olduğunu bulalım.
Öğrendiğimiz yönteme göre bir sayının faktöriyelinin sonundaki sıfır sayısı kadar bir eksiğinin sonunda 9 rakamı vardır.
Buna göre \( 92! \) sayısının içinde:
5'in her katı için \( \floor{92 / 5} = 18 \) tane
25'in her katı için \( \floor{18 / 5} = 3 \) tane daha
Toplamda \( 18 + 3 = 21 \) tane 5 çarpanı vardır.
Buna göre, \( 92! \) sayısının sondan 21 basamağı sıfırdır ve \( 92! - 1 \) sayısının sondan 21 basamağında 9 rakamı vardır.