Tam Kare Açılımı Örnekleri

tam kare açılımı örnekleri

İkinci Dereceden İfadeleri Çarpanlarına Ayıralım: Tam Kare

If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

"Tamkare" formundaki ikinci dereceden ifadeleri çarpanlarına ayırmayı, örneğin, x²+6x+9'u (x+3)² olarak yazmayı öğrenelim.

Bir polinomu çarpanlarına ayırmak, bunu iki veya daha çok polinomun çarpımı olarak yazmayı içerir. Çarpanlara ayırma, polinom çarpım sürecini tersine çevirir.

Bu makalede, tamkare üç terimlileri özel formülleri kullanarak nasıl çarpanlara ayıracağımızı öğreneceğiz. Bu, bir iki terimlinin karesini alma sürecini tersine çevirir, dolayısıyla devam etmeden önce bunu iyice anlamak isteyeceksiniz.

Giriş: Tamkare üç terimlileri çarpanlarına ayırma

Herhangi bir iki terimliyi açmak için, aşağıdaki formüllerden birisini uygulayabiliriz.

(a+b)2=a2+2ab+b2left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared, equals, start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared
(a−b)2=a2−2ab+b2left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared, equals, start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared

Dikkat ederseniz, formüllerde aa ve bb herhangi bir cebirsel ifade olabilir. Örneğin, (x+5)2left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, squared'yi açmak istediğimizi varsayalım. Bu durumda, a=xstart color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd ve b=5start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 5, end color #1fab54'tir ve bunu elde ederiz:

(x+5)2=x2+2(x)(5)+(5)2=x2+10x+25

Bu açma sürecinin tersi, çarpanlara ayırmanın bir türüdür. Eğer denklemleri ters sırayla tekrar yazarsak, a2±2ab+b2a, squared, plus minus, 2, a, b, plus, b, squared formundaki polinomları çarpanlara ayırmak için formüller elde edeceğiz.

a2+2ab+b2=(a+b)2start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
a2−2ab+b2=(a−b)2start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared

x2+10x+25x, squared, plus, 10, x, plus, 25'i çarpanlara ayırmak için ilk formülü kullanabiliriz. Burada a=xstart color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd ve b=5start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 5, end color #1fab54'tir.

x2+10x+25=x2+2(x)(5)+(5)2=(x+5)2

Bu formdaki ifadeler tamkare üç terimliler olarak adlandırılır. İsim, bu tip üç terimli polinomların, bir tamkare olarak ifade edilebileceğini belirtir.

Bu formülü kullanarak tam kare üç terimlileri çarpanlarına ayırdığımız birkaç örneğe bakalım.

Örnek 1: x2+8x+16x, squared, plus, 8, x, plus, 16'yı çarpanlara ayırma

Hem ilk hem son terimin tamkare olduğuna dikkat edin: x2=(x)2x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared ve 16=(4)216, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared'dir. Ayrıca, ortadaki terimin karesi alınan sayıların çarpımının ki katı olduğuna dikkat edin: 2(x)(4)=8x2, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 8, x.

Bu bize polinomun bir tamkare üç terimli olduğunu söyler, dolayısıyla aşağıdaki çarpanlara ayırma formülünü kullanabiliriz.

a2+2ab+b2=(a+b)2start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared

Bizim durumumuzda, a=xstart color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd ve b=4start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54'tür. Polinomumuzu aşağıdaki gibi çarpanlara ayırabiliriz:

x2+8x+16=(x)2+2(x)(4)+(4)2=(x+4)2

Yaptıklarımızı (x+4)2left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, squared'yi açarak kontrol edebiliriz:

(x+4)2=(x)2+2(x)(4)+(4)2=x2+8x+16

Konuyu ne kadar anladığınızı kontrol edin

Örnek 2: 4x2+12x+94, x, squared, plus, 12, x, plus, 9'u çarpanlara ayırma

Bir tamkare üç terimlinin başkatsayısının 11 olması şart değildir.

Örneğin, 4x2+12x+94, x, squared, plus, 12, x, plus, 9'da hem ilk hem son terimin tamkare olduğuna dikkat edin: 4x2=(2x)24, x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, squared ve 9=(3)29, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, squared'dir. Ayrıca, ortadaki terimin karesi alınan sayıların çarpımının ki katı olduğuna dikkat edin: 2(2x)(3)=12x2, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 12, x.

Bu yukarıdaki koşulları sağladığından, 4x2+12x+94, x, squared, plus, 12, x, plus, 9 bir tamkare üç terimlidir. Aşağıdaki çarpanlara ayırma formülünü tekrar uygulayabiliriz.

a2+2ab+b2=(a+b)2start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared

Bizim durumumuzda, a=2xstart color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, x, end color #11accd ve b=3start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54'tür. Polinom aşağıdaki gibi çarpanlara ayrılır:

4x2+12x+9=(2x)2+2(2x)(3)+(3)2=(2x+3)2

Yaptıklarımızı (2x+3)2left parenthesis, 2, x, plus, 3, right parenthesis, squared'yi açarak kontrol edebiliriz.

Anlamış olduğumuzu kontrol etme

kaynağı değiştir]

Tek ve çift tam kare sayılar[değiştir
Çarpanlara Ayırma ve Özdeşlikler Formülleri
ax²+bx+c ifadesi çarpanlara ayrılırken, ax² terimi iki çarpan haline getirilecek (m ve n olsun) ve c terimi de iki çarpan haline getirilecek (p ve r olsun). Bu dört çarpan ikişer ikişer birbirleri ile çarpılıp toplandığında bx terimini verecek şekilde şeçilirler. Diyelim ki bu bx ifadesini m.p+n.r vermiş olsun.

O zaman çarpanlara ayrılmış hali ax²+bx+c=(n+p).(m+r) dir.

Örnek: x²+12x+32 ifadesini çarpanlarına ayıralım.

x²=x.x
32=8.4

8 çarpanı ile x çarpanı çarpılıp 8x, 4 çarpanı ile x çarpılıp 4x bulunur. 8x+4x toplamı x²+12x+32 ifadesindeki ortadaki terim olan 12x vermektedir.

O zaman x²+12x+32 ifadesinin çarpanlara ayrılmış hali şöyledir.

x²+12x+32=(x+8).(x+4)

Örnek: 20x²-x-12 ifadesini çarpanlara ayıralım.

20x²=4x.5x
-12=-4.3

-4.4x=-16x ve 3.5x=15x ve -16x+15x=-x olup 20x²-x-12 ifadesinin ortasındaki terimi verdiğinden.

20x²-x-12=(5x-4).(4x+3)

Örnek: 6x²+11x+3 ifadesini çarpanlara ayıralım.

6x²=3x.2x
3=3.1

3.3x+1.2x=11x olduğundan 6x²+11x+3 ifadesinin çarpanlara ayrılmış hali 6x²+11x+3=(3x+1).(2x+3) tür.

Üniversite sınavlarında Çarpanlara Ayırma matematiğin en önemli konularından birisidir. Birçok sorunun içinde Çarpanlara Ayırma formülleri kullanılarak doğru cevaba kolay bir şekilde ulaşılır. Bugünkü konu anlatım yazımızda tam kare açılımı formülünden bahsedeceğiz.
YKS, TYT, AYT gibi ÖSYM tarafından yapılan üniversite sınavlarında matematik sorularında öğrenciye bir problem verir. Öğrenci, bu problemi çözmek için bir denklem kurar. Daha sonra denklemi çözerek doğru sonuca ulaşır. Matematik sorularının dörtte üçü bu mantıkla çözülür. Denklem oluşturduktan sonra soruları daha kolay ve daha hızlı çözmek için öğrenmeniz gereken bir konu vardır: Çarpanlara Ayırma. Bu konudaki iki kare farkı, iki küp farkı gibi formüller, size soruyu daha hızlı çözmenizde yardımcı olur. Sizin de bildiğiniz gibi üniversite sınavları aynı zamanda zamanla bir yarıştır. Bu nedenle çarpanlara ayırma konusunu iyi öğrenmelisiniz.
Tam Kare Açılımı
Bu konu anlatım yazısında tam kare açılımı formülü hakkında size bilgi vermek istiyoruz. İki kare farkı gibi en çok kullanacağınız çarpanlara ayırma formülüdür. Yalnızca matematik sorularında değil son 2 yılda TYT sınavında geometri sorularında da çarpanlara ayırma formüllerini kullanmanız gerekiyor. Hatta 2019 TYT sınavında sadece tam kare açılımı formülünü bilen öğrenciler, matematikten 1 net kazandı. Çünkü açılımı bilip bilmediğimizi ölçen bir soru gelmişti. Peki, tam kare açılımı nedir?
Tam kare açılımını şöyle söyleriz: birincinin karesi artı birinci ile ikincinin çarpımının iki katı artı ikincinin karesi. Bu ifadeyi birkaç kez tekrar ettiğinizde matematiksel terimi ezberlemek zorunda kalmazsınız. Ama biz yine de ihtiyacınız olacağı için paylaşalım:
Tam kare toplamı: ( a + b )² = a ² + 2ab + b²
Tam kare farkı: ( a – b )² = a² – 2ab + b²
Tam kare açılımı, en çok iki kare toplamı ve iki kare farkı ile karıştırılır. İki kare toplamı, a kare artı b kare şeklinde yazılır. Ancak tam kare formülü, a artı b kare şeklindedir. Aradaki farka dikkat etmelisiniz.
İki kare toplamı: a2 + b2 = (a + b)2 – 2 • a • b = (a – b)2 + 2 • a • b
İki kare farkı: a2 – b2 = (a – b) • (a + b)
FacebookTwitterLinkedInTumblrPinterestRedditVKontakteE-Posta ile paylaşYazdır
nest...
158543 158544 158545 158546 158547