En az iki kenarı birbirine paralel olan dörtgene yamuk denir.
İkinci bir tanıma göre, yamuk sadece iki kenarı birbirine paralel olan dörtgendir. Yukarıda yaptığımız tanıma göre, "karşılıklı kenarları paralel olan" paralelkenarlar aynı zamanda birer yamuk olmaktayken, bu ikinci tanıma göre olmamaktadır.
Biz bu sitede daha kapsayıcı olan ve tüm dörtgenlerin hiyerarşik şekilde tanımlanmasına imkan sağlayan "en az iki paralel kenar" tanımını tercih edeceğiz.
Yamuk bir dörtgen olduğu için, dörtgen bölümünde bahsettiğimiz özellikler yamuk için de geçerlidir.
Yamuğun alt ve üst tabanları birbirine paraleldir.
\( \abs{AB} \parallel \abs{DC} \)
Yamuğun yan kenarlarının orta noktalarını birleştiren doğru parçasına orta taban denir. Orta taban uzunluğu alt ve üst taban uzunluklarının yarısına eşittir.
\( d = \dfrac{\abs{AB} + \abs{DC}}{2} \)
\( \dfrac{[DE]}{[EA]} = \dfrac{[CF]}{[FB]} \) olduğundan,
\( [DC] \parallel [EF] \parallel [AB] \) olur.
\( ABCD \) yamuğunun \( DB \) köşegenini çizelim (mavi kesikli çizgi).
\( ABD \) üçgenine temel orantı teoremini uygulayalım.
\( \dfrac{\abs{DE}}{\abs{DA}} = \dfrac{\abs{EH}}{\abs{AB}} = \dfrac{1}{2} \)
\( \abs{EH} = \dfrac{\abs{AB}}{2} \)
\( BCD \) üçgenine temel orantı teoremini uygulayalım.
\( \dfrac{\abs{BF}}{\abs{BC}} = \dfrac{\abs{HF}}{\abs{DC}} = \dfrac{1}{2} \)
\( \abs{HF} = \dfrac{\abs{DC}}{2} \)
Orta taban uzunluğunu yazalım.
\( \abs{EF} = d = \abs{EH} + \abs{HF} \)
\( = \dfrac{\abs{AB}}{2} + \dfrac{\abs{DC}}{2} = \dfrac{\abs{AB} + \abs{DC}}{2} \)
İspatta hata bildirin
Orta taban yamuğun yükseklik ve köşegenlerini de iki eşit parçaya ayırır.
Bir yamuğun köşegenlerinin orta tabanı kestiği noktalar arasındaki doğru parçasının uzunluğunun formülü aşağıdaki gibidir.
\( \abs{KL} = \dfrac{b - a}{2} \)
\( [EL] \) doğru parçası \( DAB \) üçgeninin orta tabanı olduğu için uzunluğu taban uzunluğunun yarısıdır.
\( \abs{EL} = \dfrac{b}{2} \)
\( [EK] \) doğru parçası \( DAC \) üçgeninin orta tabanı olduğu için uzunluğu taban uzunluğunun yarısıdır.
\( \abs{EK} = \dfrac{a}{2} \)
Köşegenlerin orta tabanı kestiği noktalar arasındaki doğru parçasının uzunluğunu yazalım.
\( \abs{KL} = \abs{EL} - \abs{EK} \)
\( = \dfrac{b}{2} - \dfrac{a}{2} \)
\( = \dfrac{b - a}{2} \)
İspatta hata bildirin
Yamuğun yan kenarları üzerindeki karşı durumlu açılarının toplamı °'dir.
\( a + d = ° \)
\( b + c = ° \)
\( ABCD \) yamuğunun üst kenarını uzatalım (mavi kesikli çizgi).
\( D \) köşesinin komşu bütünler açısı ve \( A \) köşesinin açısı iç ters açılar olduğu için ölçüleri birbirine eşittir ve \( a \)'dır.
\( C \) köşesinin komşu bütünler açısı ve \( B \) köşesinin açısı iç ters açılar olduğu için ölçüleri birbirine eşittir ve \( b \)'dir.
Buna göre yamuğun yan kenarları üzerindeki karşı durumlu açılarının toplamı ° olur.
\( a + d = ° \)
\( b + c = ° \)
İspatta hata bildirin
Yamuğun dört kenarının uzunluğu da farklı olabileceği için, çevre uzunluğu dört kenarının uzunluklarının toplamıdır.
\( Ç(ABCD) = \abs{AB} + \abs{BC} + \abs{CD} \) \( + \abs{DA} \)
Yamuğun alanı alt ve üst tabanları toplamının yarısı ile yüksekliğinin çarpımına eşittir.
\( A(ABCD) = \dfrac{a + b}{2} \cdot h \)
\( ABCD \) yamuğunun \( DB \) köşegenini çizelim (mavi kesikli çizgi).
\( ABCD \) yamuğunun alanı köşegenin ayırdığı iki üçgenin alanları toplamına eşittir.
\( A(ABCD) = A(\overset{\triangle}{ABD}) + A(\overset{\triangle}{BCD}) \)
\( A(\overset{\triangle}{ABD}) = \dfrac{b \cdot h}{2} \)
\( A(\overset{\triangle}{BCD}) = \dfrac{a \cdot h}{2} \)
\( A(ABCD) = \dfrac{b \cdot h}{2} + \dfrac{a \cdot h}{2} \)
\( = \dfrac{(a + b)}{2} \cdot h \)
İspatta hata bildirin
Yamuğun bir yan kenarına ait iki köşeden diğer yan kenarının orta noktasına çizilen doğru parçalarının oluşturduğu üçgenin alanı, yamuğun alanının yarısına eşittir.
\( A(BKC) = \dfrac{A(ABCD)}{2} \)
Yamuğun orta tabanını ve yüksekliğini çizelim (mavi kesikli çizgiler).
\( A(ABCD) = \dfrac{a + b}{2} \cdot h \)
\( KBC \) üçgeninin alanı \( KMB \) ve \( KMC \) üçgenlerinin alanları toplamına eşittir.
\( A(\overset{\triangle}{KBC}) = A(\overset{\triangle}{KMB}) + A(\overset{\triangle}{KMC}) \)
\( A(\overset{\triangle}{KMB}) = \dfrac{\abs{KM} \cdot \frac{h}{2}}{2} \)
\( A(\overset{\triangle}{KMC}) = \dfrac{\abs{KM} \cdot \frac{h}{2}}{2} \)
\( A(\overset{\triangle}{KBC}) = \dfrac{\abs{KM} \cdot \frac{h}{2}}{2} + \dfrac{\abs{KM} \cdot \frac{h}{2}}{2} \)
\( = \dfrac{\abs{KM} \cdot h}{2} \)
\( \abs{KM} \) orta taban olduğu için, uzunluğu alt ve üst taban uzunluk toplamlarının yarısına eşittir.
\( \abs{KM} = \dfrac{a + b}{2} \)
Alan formülünde yerine koyalım.
\( A(\overset{\triangle}{KBC}) = \dfrac{\frac{a + b}{2} \cdot h}{2} \)
\( = \dfrac{(a + b) \cdot h}{4} \)
Bu formülü yamuk alan formülü ile karşılaştırırsak üçgenin alanının yamuğun alanının yarısı olduğu görürüz.
\( A(\overset{\triangle}{KBC}) = \dfrac{A(ABCD)}{2} \)
İspatta hata bildirin
Tüm dörtgenlerde olduğu gibi, yamuğun kenar orta noktalarını birleştiren doğru parçalarının oluşturduğu paralelkenarın alanı, yamuğun alanının yarısına eşittir.
\( A(KLMN) = \dfrac{A(ABCD)}{2} \)
Paralel olmayan kenarları eşit uzunlukta olan yamuğa ikizkenar yamuk denir.
Normal yamuğa ek olarak, ikizkenar yamuğun aşağıdaki özellikleri vardır.
İkizkenar yamuğun köşegenlerinin uzunlukları birbirine eşittir. Benzer şekilde, bir yamuğun köşegenlerinin uzunlukları eşitse bu yamuk bir ikizkenar yamuktur.
\( \abs{AC} = \abs{BD} \)
İkizkenar yamuğun taban açıları ve üst açıları kendi aralarında birbirine eşittir. Benzer şekilde, bir yamuğun taban ya da üst açılarının eşit olduğu biliniyorsa bu yamuk bir ikizkenar yamuktur.
\( m(\widehat{A}) = m(\widehat{B}) \)
\( m(\widehat{D}) = m(\widehat{C}) \)
Yan kenarlarından biri tabanlara dik olan yamuğa dik yamuk denir.
Dik yamuk normal yamuğun sahip olduğu tüm özelliklere sahiptir.
SORU 1:
Şekilde verilenlere göre \( ABCD \) dik yamuğunun alanı kaç \( \text{ br}^2 \) olur?
Çözümü GösterDik yamuğun \( B \) ve \( D \) köşelerini birleştirelim ve \( D \) köşesinden \( [BC] \) kenarına bir dik indirelim (mavi kesikli çizgiler).
Pisagor teoremini kullanarak \( \abs{BD} \) uzunluğunu bulalım.
\( \abs{BD}^2 = 5^2 + 12^2 \)
\( \abs{BD} = 13 \) br
\( ABED \) bir dikdörtgen olduğu için karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir.
\( \abs{DE} = \abs{AB} = 12 \) br
\( \abs{BE} = \abs{AD} = 5 \) br
Pisagor teoremini kullanarak \( \abs{EC} \) uzunluğunu bulalım.
\(15^2 = 12^2 + \abs{EC}^2 \)
\( \abs{EC} = 9 \) br
Bu noktada dik yamuğun alanını \( [BD] \) doğru parçasının oluşturduğu iki üçgenin alanlarını toplayarak bulabiliriz.
\( A(ABCD) = A(\overset{\triangle}{ABD}) + A(\overset{\triangle}{BCD}) \)
\( = \dfrac{5 \cdot 12}{2} + \dfrac{(9 + 5) \cdot 12}{2} \)
\( = 30 + 84 = \text{ br}^2 \) bulunur.
Alternatif olarak alanı yamuk alan formülü ile de bulabiliriz.
\( A(ABCD) = \dfrac{(5 + 5 + 9) \cdot 12}{2} \)
\( = \text{ br}^2 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
Etkinliğin Adı : Çokgenlerin Açıları ve Köşegenleri Sınıf : 7 Kazanımlar : a) Kenarların oluşturduğu açılarla birlikte eşkenar dörtgen, kare ve dikdörtgende köşegenlerin oluşturduğu açılar da incelenir. b) Kare, dikdörtgenin ve eşkenar dörtgenin özel bir durumu olarak ele alınır. Bunun yanı sıra dikdörtgen ve eşkenar dörtgen, paralelkenarın özel hâlleri olarak ele alınır. Ayrıca dikdörtgen, eşkenar dörtgen ve paralelkenar da yamuğun özel durumları olarak ele alınır. Öğrenci Sayısı : Tüm Sınıf Süre : 40 Dakika Ortam : Sınıf Araç-Gereç : Kareli Defter, Kalem, Geogebra Etkinliği Etkinliğin Uygulanma Süreci : 1) Öğrencilere bu dersteki kazanımlar hakkında bilgi verilir. 2) Hazırlanan geogebra etkinliği açılır ve öğretmen öncülüğünde kazanımın üstünden geçilir.Örnek soru beraber çözülür. 3) Etkinlik sonundaki sorular öğrenciler tarafından çözülür ve öğretmen son kontrolü yaparak çözülmekte zorlanılan soruları çözer.
Karşılıklı kenarları eş ve paralel olan dörtgenlere “paralelkenar” denir. lADl = lBCl , lABl= lDCl lADl // lBCl, lABl //lDCl *Paralelkenarın karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşit ve karşılıklı kenarları paraleldir. *Paralelkenarın karşılıklı açıları eştir. *Paralelkenarda ardışık açılar bütünlerdir yani ardışık açıların toplamı derecedir. m(A)+ m(B) =, m(C)+m(D)= m(A)+m(D)= ,m(C)+m(B)= *Paralelkenarda köşegenler ait olduğu köşelerdeki açıların açıortayı değildir. *Paralelkenarın köşegenleri birbirini ortalar.
Karşılıklı kenarları paralel ve eş olup tüm iç açıları 90 derece olan dörtgene “dikdörtgen” denir. Dikdörtgenin: *Karşılıklı kenarları paralel ve eşit uzunluktadır. lADl , lBCl, lABl , lDCl; AD = BC , AB = DC *İç açılarının ölçüsü 90derecedir. m( A)=m(B)=m(C)=m(D) =90 *Köşegen uzunlukları birbirine eşittir ve bu köşegenler birbirini ortalar. lAOl =lOCl= lBOl = lODl
Karşılıklı kenarları paralel, tüm kenar uzunlukları eşit olup tüm iç açıları 90 derece olan dörtgene “kare” denir. Karenin: * Karşılıklı kenarları paraleldir. Tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir. lADl // lBCl, lABl // lDCl ve lABl = lBCl= lCDl = lDAl * İç açılarının ölçüsü 90 derecedir. m(A) =m(B)= m(C)= m(D)= 90derece * Köşegen uzunlukları birbirine eşittir. Köşegenler birbirini ortalar ve dik kesişir. * Köşegenler açıortaydır.
Tüm kenar uzunlukları eşit ve karşılıklı kenarları paralel olan dörtgene “eşkenar dörtgen” denir. *Eşkenar dörtgenin karşılıklı açılarının ölçüleri eşittir. lABl=lCDl=lBCl=lDAl lABl//lDCl ve lADl=lBCl *Eşkenar dörtgende ardışık açılar bütünlerdir. m(A)+ m(B)= m(B)+m(C)= m(C )+m(D)= m(D)+m(A)= *Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirini dik ortalar. *Eşkenar dörtgende köşegenler ait olduğu köşelerdeki açıların açıortaylarıdır.
Karşılıklı kenar çiftlerinden en az biri paralel olan dörtgene “yamuk” denir. *Yamukta paralel olmayan kenarlara ait taban ve tepe açılarının toplamı derecedir. a+b= c+d=
Yukarıdaki şekilde ABCD eşkenar dörtgendir. m(ACG)=55 derece, m(DBE)=15 derece olduğuna göre m(EBG)=x'in kaç derece olduğunu bulalım.
Görselde gördüğünüz tüm dörtgenlerin özelliklerini öğrenmiştik. Tavşanla hareket ettiğiniz her dörtgenin özelliğini belirtiniz.
Sınıfınızda tartıştığınız özellikleri değerlendiriniz. Ve şekilde boşta bırakılmış açıları doldurunuz. Açıları neye göre yazdığınızı belirtiniz.
Tavşanımız gittiği yol hangi çokgendir? Önceki sorularda doldurduğunuz açılara göre m(NEL)=x değeri kaçtır?
1) Aşağıdaki ifadelerin yanına doğruysa “D”, yanlışsa “Y” yazınız. Karenin köşegen uzunlukları birbirine eşittir. () Eşkenar dörtgenin köşegen uzunlukları birbirine eşittir. () Dikdörtgenin köşegenleri açıortaydır. () Eşkenar dörtgenin köşegenleri açıortaydır. () Yamuğun köşegenleri birbirine diktir. () Paralelkenarın köşegenleri birbirine diktir.()
Yukarıda eşkenar dörtgen şeklinde verilen uçurtmanın üzerindeki a ve b açılarını bulunuz.
Yukarıdaki yamukta CD//AB'dir. m(C)=3x+40, m(A)=2x+20 olduğuna göre m(D) değeri kaçtır?