SORU 1:
\( ! \) sayısı arka arkaya kaç kez kalansız \( 3 \)'e bölünebilir?
Çözümü GösterBir sayı belirli bir çarpanı içerdiği sayıda o çarpana kalansız bölünebilir, bunun sebebi sayıyı o çarpana her böldüğümüzde sayının asal çarpanları biçiminde yazılışında o çarpanın kuvvetinin bir azalacak olmasıdır.
Buna göre \( ! \) sayısının içinde:
3'ün her katı için \( \floor{ / 3} = 33 \) tane
9'un her katı için \( \floor{33 / 3} = 11 \) tane daha
27'nin her katı için \( \floor{11 / 3} = 3 \) tane daha
81'in her katı için \( \floor{3 / 3} = 1 \) tane daha
Toplamda \( 33 + 11 + 3 + 1 = 48 \) tane 3 çarpanı vardır.
Dolayısıyla \( ! \) sayısı arka arkaya 48 kez 3'e kalansız bölünebilir.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 2:
\( x \) ve \( y \) doğal sayı olmak üzere,
\( 30! = 6^x \cdot y \)
eşitliğini sağlayan \( x \) değeri en çok kaç olabilir?
Çözümü Göster\( 30! = 6^x \cdot y \)
\( 6 = 2 \cdot 3 \)
Her 6 çarpanı birer tane 2 ve 3 çarpanından oluştuğu için \( 30! \) sayısı içinde 2 ve 3 çarpanlarından hangisi daha az sayıda ise o kadar sayıda 6 çarpanı içerir. Bir faktöriyelin içinde daha büyük bir sayı olan 3 çarpanı 2 çarpanından daha az sayıda bulunur.
Buna göre, \( 30! \) sayısının içinde:
3'ün her katı için \( \floor{30 / 3} = 10 \) tane
9'un her katı için \( \floor{10 / 3} = 3 \) tane daha
27'nin her katı için \( \floor{3 / 3} = 1 \) tane daha
Toplamda \( 10 + 3 + 1 = 14 \) tane 3 çarpanı vardır.
Buna göre, \( 30! \) sayısının içinde 14 tane 3 çarpanı, dolayısıyla 14 tane 6 çarpanı vardır.
O halde, verilen eşitlikte \( x \) doğal sayısı en çok 14 olabilir.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 3:
\( n, A \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( 88! = 24^n \cdot A \)
denkleminde \( n \)'in alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözümü GösterBu soru \( 88! \) sayısı \( 24 \)'e en çok kaç kez kalansız bölünebilir sorusu ile özdeştir, çünkü \( n \)'nin alabileceği en büyük değer \( 88! \) içindeki \( 24 \) çarpan sayısına eşittir.
\( 24 \)'ü asal çarpanlarına ayıralım.
\( 24 = 2^3 \cdot 3^1 \)
\( 88! \) içinde 3 adet 2 çarpanı ve 1 adet 3 çarpanı grup olarak kaç adet bulunuyorsa o kadar 24 çarpanı bulunuyordur. Buna göre önce \( 88! \) içindeki 2 ve 3 çarpan sayılarını bulalım.
\( 88! \) içindeki \( 2 \) çarpan sayısı \( = 44 + 22 + 11 + 5 + 2 + 1 = 85 \)
\( 88! \) içindeki \( 3 \) çarpan sayısı \( = 29 + 9 + 3 + 1 = 42 \)
Verilen denklemde 24'ü çarpanları cinsinden yazalım.
\( 88! = (2^3 \cdot 3^1)^n \cdot A \)
\( 88! \) içindeki 85 adet 2 çarpanı ve 42 adet 3 çarpanını aşmayacak şekilde \( n \)'ye verebileceğimiz en büyük değer 28 olur. Bu durumda, kalan 1 adet 2 çarpanı ve 14 adet 3 çarpanı \( A \) değişkenine dahil olur.
\( 88! = (2^3 \cdot 3^1)^{28} \cdot A \)
\( 88! = 2^{84} \cdot 3^{28} \cdot A \)
Buna göre, sorunun cevabı \( n = 28 \)'dir.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 4:
\( M \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( 5! \cdot 9! \cdot M \)
ifadesinin bir tam kare sayı olması için \( M \) sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözümü GösterBir sayının tam kare olabilmesi için (1, 4, 9, 16, ) asal çarpanları biçiminde yazılışında tüm asal çarpanlarının kuvveti birer çift sayı olmalıdır.
\( A = (x^a \cdot y^b \cdot z^c)^2 \)
\( = x^{2a} \cdot y^{2b} \cdot z^{2c} \)
\( 5! \) ve \( 9! \) sayılarını asal çarpanlarına ayıralım.
\( 5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \)
\( = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \)
\( 9! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \)
\( = 2^7 \cdot 3^4 \cdot 5^1 \cdot 7^1 \)
Bu iki sayının çarpımını alalım.
\( 5! \cdot 9! = 2^{10} \cdot 3^5 \cdot 5^2 \cdot 7^1 \)
Bu çarpımda 2 ve 5'in kuvvetlerinin çift, 3 ve 7'nin kuvvetlerinin tek olduğunu görüyoruz, dolayısıyla ifadenin bir tam kare olması için ihtiyacımız olan en azından 1'er adet 3 ve 7 çarpanıdır. Buna göre, \( M \)'nin alması gereken en küçük değer \( M = 3 \cdot 7 = 21 \) olur.
\( 5! \cdot 9! \cdot M \)
\( = (2^{10} \cdot 3^5 \cdot 5^2 \cdot 7^1) \cdot (3 \cdot 7) \)
\( = 2^{10} \cdot 3^6 \cdot 5^2 \cdot 7^2 \)
\( = (2^5 \cdot 3^3 \cdot 5^1 \cdot 7^1)^2 \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 5:
\( 0! + 2! + 4! + 6! + \ldots + ! \)
sayısının 24 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözümü Göster\( 4! = 24 \) olduğu için 4'ten büyük tüm sayıların faktöriyelleri de 24 çarpanını içerir ve 24'e kalansız bölünür.
Dolayısıyla verilen toplamın 24 ile bölümünden kalan \( 0! + 2! \) toplamının 24 ile bölümünden kalana eşittir.
\( 0! + 2! = 1 + 2 = 3 \)
Buna göre ifadenin 24 ile bölümünden kalan 3 olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
Project Euler 3: sayısının asal çarpanları 5, 7, 13 ve 29'dur. sayının en büyük asal çarpanı nedir?Project Euler 3 sorusunda karşımıza yine bir algoritma klasiği çıkıyor: Asal sayılar.
Alıntı Yap
Okundu Olarak İşaretle
Paylaş
Sonra Oku
Notlarım
Yazdır / PDF Olarak Kaydet
Bize Ulaş
Yukarı Zıpla
İçeriklerimizin bilimsel gerçekleri doğru bir şekilde yansıtması için en üst düzey çabayı gösteriyoruz. Gözünüze doğru gelmeyen bir şey varsa, mümkünse güvenilir kaynaklarınızla birlikte bize ulaşın!
Bu içeriğimizle ilgili bir sorunuz mu var? Buraya tıklayarak sorabilirsiniz.
Soru & Cevap Platformuna GitBu İçerik Size Ne Hissettirdi?
Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?
Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:
seafoodplus.info seafoodplus.info
Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 25/06/ tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: seafoodplus.info
İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.
Aklımdan Geçen
Aklımdan Geçen
Fark Ettim ki
Bugün Öğrendim ki
İşe Yarar İpucu
Bilim Haberleri
Hikaye Fikri
Video Konu Önerisi
Bugün Türkiye'de bilime ve bilim okuryazarlığına neler katacaksın?
Daha Fazla İçerik Göster
Evrim Ağacı'na Destek Ol
Evrim Ağacı'nın % okur destekli bir bilim platformu olduğunu biliyor muydunuz? Evrim Ağacı'nın maddi destekçileri arasına katılarak Türkiye'de bilimin yayılmasına güç katmak için hemen buraya tıklayın.
Popüler Yazılar
EA Akademi
Evrim Ağacı Akademi (ya da kısaca EA Akademi), yılından beri ürettiğimiz makalelerden oluşan ve kendi kendinizi bilimin çeşitli dallarında eğitebileceğiniz bir çevirim içi eğitim girişimi! Evrim Ağacı Akademi'yi buraya tıklayarak görebilirsiniz. Daha fazla bilgi için buraya tıklayın.
Etkinlik & İlan
Bilim ile ilgili bir etkinlik mi düzenliyorsunuz? Yoksa bilim insanlarını veya bilimseverleri ilgilendiren bir iş, staj, çalıştay, makale çağrısı vb. bir duyurunuz mu var? Etkinlik & İlan Platformumuzda paylaşın, milyonlarca bilimsevere ulaşsın.
Podcast
Evrim Ağacı'nın birçok içeriğinin profesyonel ses sanatçıları tarafından seslendirildiğini biliyor muydunuz? Bunların hepsini Podcast Platformumuzda dinleyebilirsiniz. Ayrıca Spotify, iTunes, Google Podcast ve YouTube bağlantılarını da bir arada bulabilirsiniz.
Alıntı Yap
Evrim Ağacı Formatı
APA7
MLA9
Chicago
Ö. Kayalı. Project Euler 3: En Büyük Asal Çarpan. (30 Aralık ). Alındığı Tarih: 25 Haziran Alındığı Yer: seafoodplus.info
Kayalı, Ö. (, December 30). Project Euler 3: En Büyük Asal Çarpan. Evrim Ağacı. Retrieved June 25, from seafoodplus.info
Ö. Kayalı. “Project Euler 3: En Büyük Asal Çarpan.” Edited by Ögetay Kayalı. Evrim Ağacı, 30 Dec. , seafoodplus.info
Kayalı, Ögetay. “Project Euler 3: En Büyük Asal Çarpan.” Edited by Ögetay Kayalı. Evrim Ağacı, December 30, seafoodplus.info
Bilim, hep birlikteyken güzel. 'te Evrim Ağacı'na destek olun!
Bu yıl sayfamızda gezdiniz.
Yeni yıl, yeni fırsatlar demek ve 'ten beklentimiz, bilimin Türkiye'nin her köşesine yayılması ve daha erişilebilir olması. Evrim Ağacı olarak, bu görevi yerine getirmek için gece gündüz demeden çalışıyoruz ve çalışmaya devam edeceğiz. Bizim milyarder sahiplerimiz yok, koca koca şirketler arkamızda durmuyor, herhangi bir elçilikten fon almıyoruz. Bizim sorumlu olduğumuz tek kişi var: Sizsiniz! Ve tabii ki sizin gibi yüz binlerce bilimsever. Biz, siz gibi bilimseverlerin maddi destekleri sayesinde Türkiye'nin en büyük popüler bilim platformu olduk ve aynen bu çizgide devam etmek istiyoruz. Eğer bize destek olursanız, bu yıl da bilimin Türkiye geneline yayılmasına katkı sağlamış olacaksınız. Tek seferlik destek olun veya daha iyisi, aylık destekçilerimiz arasına şimdi katılın.
Kreosus (₺)YoutubePatreonDiğer Yöntemler
Evrim Ağacı
Türkiye'deki bilimseverlerin buluşma noktasına hoşgeldiniz!
Şifrenizi mi unuttunuz? Lütfen e-posta adresinizi giriniz. E-posta adresinize şifrenizi sıfırlamak için bir bağlantı gönderilecektir.
Geri dön
Eğer aktivasyon kodunu almadıysanız lütfen e-posta adresinizi giriniz. Üyeliğinizi aktive etmek için e-posta adresinize bir bağlantı gönderilecektir.
Geri dön
“ Eğer görelilik teorim ispatlanırsa Almanya beni Alman ilan edecek, Fransızlar ise Dünya vatandaşı Teorim yanlışlanırsa, Fransızlar beni Alman ilan edecek, Almanlar ise Yahudi”
Albert Einstein
Bilim İçin 30 Saniyeniz Var mı?
Evrim Ağacı, tamamen okur ve izleyen desteğiyle sürdürülen, bağımsız bir bilim oluşumu. Ücretsiz bir Evrim Ağacı üyeliği oluşturmanın çok sayıda avantajından biri, sitedeki reklamları %50 oranında azaltmak (destekçilerimiz arasına katılarak reklamların %'ünü kapatabilirsiniz). Evrim Ağacı'nda geçirdiğiniz zamanı zenginleştirmek için, sadece 30 saniyenizi ayırarak üye olun (üyeyseniz, giriş yapmanızı tavsiye ederiz).
Üye Ol
Giriş Yap
Üyeliğin AvantajlarıAsal sayılar 2, 3, 5, 7… gibi sayılar olarak karşımıza çıkar. Bir sayının asal çarpanları ise bu sayıyı bölen asal sayılar olarak karşımıza çıkmaktadır. 48 sayısının 10 adet çarpanı bulunur ve bunlardan yalnızca 2 tanesi asal çarpan olarak karşımıza çıkmaktadır.
Asal çarpan, verilen bir sayının asal olan çarpanlarına verilen isimdir. Bu sebep ile bir sayının asal çapanlarını bulabilmek için öncelikle o sayının tüm çarpanlarını bulmalıyız. Daha sonra bu çarpanlar arasından asal olanları bulmalıyız. Örnek olarak 12 sayısının çarpanları karşımıza 1, 2, 3, 4, 6 ve 12 sayıları olarak çıkmaktadır. Bu sayılardan yalnızca 2 ve 3 sayısı 12 sayısının asal çarpanıdır.
48 sayısının 10 adet çarpanı bulunmaktadır. Bu çarpanlar 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 sayılarıdır. Bu sayılardan yalnızca 2 ve 3 sayısı 48 sayısının asal çarpanıdır. 48 sayısının asal çarpanlar şeklinde yazılışı ise 24.3 şeklindedir.
Bir sayının asal çarpanlarını bulabilmek için öncelikle o sayının çarpanlarını bulmak gerekmektedir. Çarpanlarını bulmak istediğimiz sayıdan daha büyük bir sayı buluncaya dek 2 sayısından başlayarak doğal sayıların karesini almamız gerekmektedir. Daha sonra ise çarpanlarını bulmak istediğimiz sayıyı karelerini aldığımız sayıya bölmemiz gerekmektedir. Bu işlemler 48 sayısı için şu şekildedir:
Daha sonra 7 sayısı hariç diğer tüm sayıları 48 sayısına böleriz.
Bu işlemlerden yola çıkarak 48 sayısının çarpanlarını şu şekilde yazarız:
Bu sayılardan ise yalnızca 2 ve 3 sayısı 48 sayısının asal çarpanıdır.