Doğrusal Denklemler Özet

Bu yazımızda sizlere LGS Matematik konusu olan aynı zamanda  8. sınıf konuları arasında yer alan Doğrusal Denklemler hakkında bilgilendireceğiz. Aşağıda sizlere başlıklar halinde konularımızı anlattık. Üzerine tıklayarak ulaşabilirsiniz.

x ve y iki değişken olmak üzere ax + by + c = 0 şeklindeki denklemlere doğrusal denklem denir. Bu ifadedeki c sayısına sabit sayı, a, b ve c sayılarına kat sayı adı verilir. a ve b kat sayıları aynı anda 0 (sıfır) değerini alamaz.

Bir Bilinmeyenli Denklemler

a, b, c ∈ R olsun,

Bir eşitliğin her iki yanına aynı sayı eklenip çıkarılabilir. Bu durumda eşitlik değişmez.
a = b ise a+c = b+c ve a – c = b – c olur.
Bir eşitliğin her iki yanı sıfırdan farklı bir sayı ile çarpılabilir. Bu durumda eşitlik değişmez.
a=b ise a.c = b.c olur.
a ve b gerçek sayı ve a sıfırdan farklı olmak üzere ax+b=0 ifadesine birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Denklemi sağlayan x değerine denklemin kökü ve ve bu değerlerin oluşturduğu kümeye de denklemin çözüm kümesi denir.

x &#; 2 = 3 denklemini sağlayan tek bir x değeri vardır ve bu değer 5’tür.

Çözüm

x = 3 + 2
x = 5

Denklemin kökü: 5
Çözüm kümesi: Ç = { 5 }

Denklemler Çözülürken İzlenecek Yollar

Denklem Çözümleri 

Örnek

3x − 5 = x + 5 denklemini çözelim.

Bilinmeyenleri eşitliğin bir tarafına, diğer sayıları diğer tarafa toplarız.

3x − x = 5 + 5 (−5 sağa +3 olarak geçer, x sola −x olarak geçer.)

2x = 10 (x’in başındaki 2 katsayısını karşıya bölü olarak geçer.)

x =
x = 5

Örnek

2(3x − 5) = 8 − 3(x + 4) denklemini çözelim.

6x − 10 = 8 − 3x − 12 (Parantez önlerindeki 2 ve −3 parantezlere dağıtılır.)

6x + 3x = 8 − 12 + 10 (−3x sola +3x olarak, −10 sağa +10 olarak geçer.)

9x = 6 (x’in başındaki 9 katsayısını karşıya bölü olarak geçer.)

x =

Koordinat Sistemi

İki sayı doğrusunun 0 (sıfır) noktasında birbiriyle dik kesişmesiyle oluşan sisteme kartezyen koordinat sistemi denir. Burada iki sayı doğrusu yani iki boyut olduğu için iki boyutlu kartezyen koordinat sistemi de denir.

Koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni, dikey eksen y ekseni olarak isimlendirilir. x ve y eksenlerinin kesişim noktası başlangıç noktasıdır. Başlangıç noktası orijin olarak isimlendirilir.

Koordinat sistemini oluşturan ve dik kesişen x ve y eksenleri analitik düzlem üzerinde 4 bölge meydana getirirler. Bu bölgeler saat yönünün tersine doğru 1. bölge, 2. bölge, 3. bölge ve 4. bölge olarak adlandırılırlar.

Şekilde de verildiği gibi bileşenleri A(x, y) olan bir nokta,

*x ve y pozitif ise 1. bölgede,
*x negatif ve y pozitif ise 2. bölgede,
*x ve y her ikisi de negatif ise 3. bölge,
*x pozitif ve y negatif ise 4. bölgededir.

Örnek:

Koordinat sisteminde A(2,-5)  noktasının x eksenine olan uzaklığı kaç birimdir?

Doğrusal İlişki ve Doğrusal Denklemler

Doğrusal İlişki Nedir?

İki değişken arasındaki ilişkinin grafiği doğru şeklinde ise bu iki değişken arasında doğrusal ilişki vardır deriz.

Değişkenlerden değeri başka bir değişkene bağlı olarak değişen değişkene bağımlı değişken, değerini kendi belirlediğimiz değişkene bağımsız değişken denir.

Doğrusal Denklemler Nedir?

Doğrusal ilişkiyi ifade eden denklemlere doğrusal denklem denir. x ve y değişken, a ve b katsayı ve c sabit terim olmak üzere: ax + by + c = 0 biçiminde olan denklemlere doğrusal denklem denir. Doğrusal denklemde a ve b katsayılarının ikisi birden 0 olamaz. Yani denklemde en az bir tane bilinmeyen bulunmalıdır.

Örnek:

Tablodaki x ve y arasındaki ilişkiler nelerdir?

y değişkeni üçer arttığı için → y=3x

x=0 iken y=1 ise

Bu yüzden y=3x+1 olmalıdır.

Doğrusal Denklemlerin Grafikleri

1.Eğimi ve Bir Noktası Bilinen Doğru Denklemi

2. İki Noktası Bilinen Doğrunun Denklemi

İki noktası bilinen doğrunun denklemini yazmak için;

İki noktadan geçen doğrunun eğimi bulunur.
Bulunan eğim ve verilen noktalardan herhangi biri kullanılarak doğru denklemi yazılır.

3. Eksenleri Kestiği Noktaları Bilinen Doğrunun Denklemi

4.Eksenlere Paralel Doğruların Denklemi

5. Orjinden Geçen Doğru Denklemi

Orjin noktası olan O(0,0)&#;dan geçen ve eğimi m olan doğru denklemi

y-0=m(x-0)
y=mx&#;dir

Denklemi Verilen Doğrunun Grafiği

Eğim

Bir dik üçgende dikey uzunluğun, yatay uzunluğa oranına eğim denir. Eğim “m” harfi ile gösterilir.

Üçgenin eğimini bulalım

Doğrunun Eğimi

Bir doğrunun eğimi, doğru üzerinde bulunan iki nokta arasındaki dikey değişimin yatay değişime oranıdır. y eksenine göre sağa yatık doğruların eğimi pozitif, sola yatık doğruların eğimi negatiftir.

Örnek:

Orjinden  ve A(3,6) noktasından geçen  doğrunun denklemini yazalım.

LGS Matematik için Tıklayınız

8. Sınıf Doğrusal Denklemler

Doğrusal denklemler, birinci dereceden denklemlerdir. Bu denklemler koordinat sistemindeki çizgiler için tanımlanmıştır. 

Doğrusal denklemler aynı zamanda birinci derece denklemlerdir, çünkü 1 olarak en yüksek değişken üssüne sahiptir. 

Örnekler:

 2x - 3 = 0, 

 2y = 8

 m + 1 = 0,

 x / 2 = 3

 x + y = 2

 3x - y + z = 3

Denklem homojen bir değişkene (yani yalnızca bir değişken) sahip olduğunda, bu tür bir denklem tek değişkenli bir Doğrusal denklem olarak bilinir. Farklı bir deyişle, sıfır ile katsayıların elde edildiği herhangi bir alan üzerindeki doğrusal bir polinomla ilişkilendirilerek bir çizgi denklemi elde edilir. 

Doğrusal Denklemler Konu Anlatımı

Doğrusal denklemlerin çözümleri, bilinmeyen değerlerle değiştirildiğinde denklemi doğru kılan değerler üretecektir. Tek değişken durumunda, x + 2 = 0 gibi tek bir çözüm vardır. Ancak iki değişkenli doğrusal denklem durumunda, çözümler Öklid düzleminin bir noktasının Kartezyen koordinatları olarak hesaplanır.

Doğrusal denklem tanımı ve örneği nedir? En fazla 1 olan bir Denklem, Doğrusal denklem olarak bilinir.

Düz bir çizginin denklemi şu şekilde verilir:

 y = mx + b

 M, çizginin eğimidir,

 b y kesme noktasıdır 

 x ve y, sırasıyla x ekseni ve y ekseninin koordinatlarıdır.

 Düz bir çizgi x eksenine paralelse, x koordinatı sıfıra eşit olacaktır. Bu nedenle,

 y = b

 Çizgi y eksenine paralelse y koordinatı sıfır olacaktır.

 mx + b = 0

 x = -b / m

Eğim: Doğrunun eğimi, y koordinatlarındaki değişimin ve x koordinatlarındaki değişimin oranına eşittir. Şu şekilde değerlendirilebilir:

 m = (y 2 - y 1 ) / (x 2 -x 1 )

Bir doğrunun eğimi iki şeyi anlatır: doğrunun y eksenine göre ne kadar dik olduğu ve ona soldan sağa baktığınızda çizginin yukarı mı yoksa aşağı mı eğimli olduğu. Verileri çizerken, eğim size bağımlı değişkenin bağımsız değişkendeki değişime göre değişme oranını söyler.

Standart Doğrusal Denklem Formülü

Doğrusal denklemler, sabitlerin ve değişkenlerin birleşimidir. 

 Bir değişkendeki doğrusal denklemin standart biçimi, ax + b = 0 olarak temsil edilir, burada, a ≠ 0 ve x değişkendir.

 İki değişkenli bir doğrusal denklemin standart biçimi şu şekilde temsil edilir:

 ax + by + c = 0, burada, a ≠ 0, b ≠ 0, x ve y değişkenlerdir.

 Üç değişkenli bir doğrusal denklemin standart biçimi şu şekilde temsil edilir:

 ax + by + cz + d = 0 burada a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0, x, y, z değişkenlerdir.

 2 değişkenin değerlerini bulmak için 2 denklem seti seçmeliyiz. Ax + by + c = 0 ve dx + ey + f = 0 gibi, x ve y'nin iki değişken ve a, b, c, d, e, f'nin sabit olduğu iki değişkenli bir denklem sistemi olarak da adlandırılır, ve a, b, d ve e sıfır değildir. Aksi takdirde, tek denklemin sonsuz sayıda çözümü vardır.

Doğrusal ve doğrusal olmayan denklemler arasındaki fark nedir?

 Doğrusal denklem, düz çizgiler içindir.

 Doğrusal olmayan bir denklem düz bir çizgi oluşturmaz. Değişken eğim değerine sahip bir eğri olabilir.

 Doğrusal Denklemlerle İlgili Örnek Alıştırmalar ve Etkinlikler

 Örnek 1:

 x = 12 (x +2) 'yi çözün

Çözüm: 

 x = 12 (x + 1)

 x = 12x + 12

 Her iki taraftan 24 çıkarın

 x - 12 = 12x + 12 - 12

 x - 12 = 12x

 11x =

 Her iki tarafı 11'e bölerek x'i yalnız bırakın

 11x / 11 = /11

 x = /11

 Örnek 2:

 x - y = 12 ve 2x + y = 22'yi çözün

 Çözüm: 

 Denklemleri adlandırın

 x - y = 12 ———- (1)

 2x + y = 22 ———- (2)

 X için Denklemi yaz (1),

 x = y + 12

 (2) denklemindeki x yerine y + 12'yi koyun

 2 (y + 12) + y = 22

 3y + 24 = 22

 3y = -2

 veya 

 y = -2/3

 X = y + 12'de y'nin değerini değiştirin

 x = y + 12

 x = -2/3 + 12

 x = 34/3

 Cevap: x = 34/3 ve y = -2/3