Eksponansiyel Fonksiyon
kaynağı değiştir]
Gerçel değişkenli üstel fonksiyon için birbirine eşdeğer olan birkaç tanım verilebilir. Bunlardan bazıları şöyledir:
&#; ve &#;
Bu tanımların geçerli ve eşdeğer oldukları pek çok matematiksel analiz kaynağında gösterilir. İlk üç tanım, hiçbir değişiklik yapmadan, karmaşık değişkenli üstel fonksiyon için de verilebilir.
Özellikler[değiştir Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların Türevi
Üstel Fonksiyonlar
Üstel fonksiyonların türev alma kuralları aşağıdaki gibidir.
\( f(x) = a^x \)
\( f'(x) = a^x \cdot \ln{a} \)
\( f(x) = a^{g(x)} \)
\( f'(x) = a^{g(x)} \cdot \ln{a} \cdot g'(x) \)
ÖRNEK:
\( f(x) = 2^{3x + 1} \)
\( f'(x) = 2^{3x + 1} \cdot \ln{2} \cdot (3x + 1)' \)
\( = 2^{3x + 1} \cdot \ln{2} \cdot 3 \)
İSPATI GÖSTERİspatı türevin limit tanımını kullanarak yapalım.
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \)
\( f(x) = a^x \)
\( f(x + h) = a^{x + h} \)
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{a^{x + h} - a^x}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \dfrac{a^xa^h - a^x}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \dfrac{a^x(a^h - 1)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} a^x\dfrac{a^h - 1}{h} \)
\( a^x \) ifadesi \( h \) cinsinden olmadığı için sabit sayı olarak limitin dışına alabiliriz.
\( = a^x \cdot \lim_{h \to 0} \dfrac{a^h - 1}{h} \)
Aşağıdaki limit \( \ln{a} \) formülüdür.
\( \lim_{h \to 0} \dfrac{a^h - 1}{h} = \ln{a} \)
\( = a^x \cdot \ln{a} \)
Buna göre, \( f(x) = a^x \) fonksiyonunun türevi \( f'(x) = a^x \cdot \ln{a} \) fonksiyonudur.
İspatta hata bildirin
\( e \) tabanındaki üstel fonksiyonun türevi kendisine eşittir.
\( f(x) = e^x \)
\( f'(x) = e^x \)
\( f(x) = e^{g(x)} \)
\( f'(x) = e^{g(x)} \cdot g'(x) \)
ÖRNEK:
\( f(x) = e^{2x^3} \)
\( f'(x) = e^{2x^3} \cdot (2x^3)' \)
\( = e^{2x^3} \cdot 6x^2 \)
İSPATI GÖSTER\( f(x) = a^x \) fonksiyonunda ve ispatını yaptığımız türevinde \( a = e \) koyarak türevini bulalım.
\( f(x) = e^x \)
\( f'(x) = e^x \cdot \ln{e} \)
\( = e^x \cdot 1 \)
\( = e^x \)
Buna göre, \( f(x) = e^x \) fonksiyonunun türevi \( f'(x) = e^x \) fonksiyonudur (yani fonksiyonun kendisidir).
İspatta hata bildirin
SORU 1:
\( f(x) = x^3 \cdot e^x \) olduğuna göre, \( f'(1) \) kaçtır?
Çözümü GösterÇarpma kuralını kullanarak fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = (x^3)' \cdot e^x + x^3 \cdot (e^x)' \)
\( = 3x^2 \cdot e^x + x^3 \cdot e^x \)
Türev fonksiyonunda \( x = 1 \) yazalım.
\( f'(1) = 3 \cdot 1^2 \cdot e^1 + 1^3 \cdot e^1 \)
\( = 4e \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 2:
\( f(x) = x^2 \cdot 5^{x} \cdot \ln{x} \)
olduğuna göre, \( f'(x) \) nedir?
Çözümü GösterÜç fonksiyonlu çarpma kuralını kullanarak fonksiyonun türevini alalım.
\( [f \cdot g \cdot h]' = f' \cdot g \cdot h \) \( + f \cdot g' \cdot h \) \( + f \cdot g \cdot h' \)
\( = (x^2)' \cdot 5^x \cdot \ln{x} \) \( + x^2 \cdot (5^x)' \cdot \ln{x} \) \( + x^2 \cdot 5^x \cdot (\ln{x})' \)
\( = 2x \cdot 5^x \cdot \ln{x} \) \( + x^2 \cdot 5^x \cdot \ln{5} \cdot \ln{x} \) \( + x^2 \cdot 5^x \cdot \dfrac{1}{x} \)
\( = 2x \cdot 5^x \cdot \ln{x} \) \( + x^2 \cdot 5^x \cdot \ln{5} \cdot \ln{x} \) \( + x \cdot 5^x \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
Logaritmik Fonksiyonlar
Logaritmik fonksiyonların türevlenebilir oldukları aralıklarda türev alma kuralları aşağıdaki gibidir.
\( f(x) = \log_a{x} \)
\( f'(x) = \dfrac{1}{x \cdot \ln{a}} \)
\( f(x) = \log_a{g(x)} \)
\( f'(x) = \dfrac{g'(x)}{g(x) \cdot \ln{a}} \)
ÖRNEK:
\( f(x) = \log_5(4x^2 - 1) \)
\( f'(x) = \dfrac{(4x^2 - 1)'}{(4x^2 - 1) \cdot \ln{5}} \)
\( f'(x) = \dfrac{8x}{(4x^2 - 1) \cdot \ln{5}} \)
İSPATI GÖSTERİspatı kapalı fonksiyonların türevi yöntemini kullanarak yapalım.
\( f(x) = y = \log_a{x} \)
\( x \)'i \( y \) cinsinden yazalım.
\( x = a^y \)
İki tarafın türevini alalım. \( y \) \( x \)'e bağlı bir fonksiyon olduğu için \( y \)'nin türevini \( \frac{dy}{dx} \) ile de çarpmamız gerekir.
\( \dfrac{d}{dx} (x) = \dfrac{d}{dx} (a^y) \)
\( 1 = a^y \cdot \ln{a} \cdot \dfrac{dy}{dx} \)
\( \dfrac{dy}{dx} \) türev ifadesini yalnız bırakalım.
\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{a^y \cdot \ln{a}} \)
\( x = a^y \) olduğu için \( a^y \) yerine \( x \) yazalım.
\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{x \cdot \ln{a}} \)
Buna göre, \( f(x) = \log_a{x} \) fonksiyonunun türevi \( f'(x) = \dfrac{1}{x \cdot \ln{a}} \) fonksiyonudur.
İspatta hata bildirin
\( f(x) = \ln{x} \)
\( f'(x) = \dfrac{1}{x} \)
\( f(x) = \ln{g(x)} \)
\( f'(x) = \dfrac{g'(x)}{g(x)} \)
ÖRNEK:
\( f(x) = \ln(2x^3) \)
\( f'(x) = \dfrac{(2x^3)'}{2x^3} \)
\( f'(x) = \dfrac{6x^2}{2x^3} = \dfrac{3}{x} \)
İSPATI GÖSTER\( f(x) = \log_a{x} \) fonksiyonunda ve ispatını yaptığımız türevinde \( a = e \) koyarak türevini bulalım.
\( f(x) = \log_e{x} = \ln{x} \)
\( f'(x) = \dfrac{1}{x \cdot \ln{a}} \)
\( = \dfrac{1}{x \cdot \ln{e}} = \dfrac{1}{x} \)
Buna göre, \( f(x) = \ln{x} \) fonksiyonunun türevi \( f'(x) = \dfrac{1}{x} \) fonksiyonudur.
İspatta hata bildirin
SORU 3:
\( f(x) = x^2 \cdot \ln{x} \) olduğuna göre,
\( \dfrac{d^3f(x)}{dx^3} \) ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü Göster\( \dfrac{d^3f(x)}{dx^3} \) ifadesi \( f(x) \) fonksiyonunun 3. dereceden türevidir.
Çarpma kuralını kullanarak fonksiyonun birinci türevini alalım.
\( f'(x) = 2x \cdot \ln{x} + x^2 \cdot \dfrac{1}{x} \)
\( = 2x \cdot \ln{x} + x \)
\( f''(x) = 2 \cdot \ln{x} + 2x \cdot \dfrac{1}{x} + 1 \)
\( = 2 \cdot \ln{x} + 3 \)
\( f'''(x) = \dfrac{2}{x} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 4:
\( f(x) = \log_2{x} + \log_x{2} \) fonksiyonunun türevi nedir?
Çözümü GösterLogaritma türev kuralını kullanabilmek için ikinci terime logaritma taban değiştirme kuralını uygulayalım.
\( f(x)= \log_2{x} + \dfrac{1}{\log_2{x}} \)
Fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = (\log_2{x})' + (\dfrac{1}{\log_2{x}})' \)
\( = \dfrac{1}{x \cdot \ln{2}} - \dfrac{(\log_2{x})'}{(\log_2{x})^2} \)
\( = \dfrac{1}{x \cdot \ln{2}} - \dfrac{1}{(\log_2{x})^2 \cdot x \cdot \ln{2}} \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
\( f(x)^{g(x)} \) Formundaki Fonksiyonlar
Bu formdaki fonksiyonların türevini almak için üç yöntem kullanabiliriz. Birinci yöntemde iki tarafın logaritması alınır.
ÖRNEK 1:
\( y = x^{\ln{x}} \) fonksiyonunun türevini bulalım.
Her iki tarafın doğal logaritmasını alalım.
\( \ln{y} = \ln{x^{\ln{x}}} \)
Logaritma üs kuralını uygulayalım.
\( \ln{y} = \ln{x} \cdot {\ln{x}} = (\ln{x})^2 \)
Her iki tarafın türevini alalım.
\( \dfrac{y'}{y} = 2\ln{x} \cdot (\ln{x})' = \dfrac{2\ln{x}}{x} \)
\( y' = y \cdot \dfrac{2\ln{x}}{x} \)
\( y \) yerine fonksiyonun kendisini yazalım.
\( y' = x^{\ln{x}} \cdot \dfrac{2\ln{x}}{x} = 2x^{\ln{x} - 1} \cdot \ln{x} \)
İkinci yöntemde ifade üstel fonksiyona dönüştürülür ve türevi alınır.
\( y = f(x)^{g(x)} = e^{g(x) \cdot \ln{f(x)}} \)
ÖRNEK 2:
\( y = x^{\ln{x}} \) fonksiyonunun türevini bulalım.
İfadeyi üstel fonksiyon şeklinde yazalım.
\( y = x^{\ln{x}} = e^{\ln{x} \cdot \ln{x}} \)
\( = e^{(\ln{x})^2} \)
Üstel fonksiyonun türevini alalım.
\( y' = e^{(\ln{x})^2} \cdot ((\ln{x})^2)' \)
\( = e^{(\ln{x})^2} \cdot 2 \cdot \ln{x} \cdot (\ln{x})' \)
\( = (e^{\ln{x}})^{\ln{x}} \cdot 2 \cdot \ln{x} \cdot \dfrac{1}{x} \)
Logaritma tanımı gereği \( e^{\ln{x}}= x \) olur.
\( y' = x^{\ln{x}} \cdot \dfrac{2\ln{x}}{x} = 2x^{\ln{x} - 1} \cdot \ln{x} \)
İSPATI GÖSTER\( y = f(x)^{g(x)} \)
Logaritma tanımı gereği bu ifadeyi \( e \) tabanında aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( y = e^{\ln {f(x)^{g(x)}}} \)
Üsteki logaritma ifadesine üs kuralını uygulayalım.
\( y = e^{g(x) \cdot \ln {f(x)}} \)
İspatta hata bildirin
Alternatif olarak aşağıdaki formülü kullanarak türev alınabilir.
\( y = f(x)^{g(x)} \) olmak üzere,
\( y'_1 = \) tabanı sabit düşünerek (\( a^{g(x)} \)) fonksiyonun türevi
\( y'_2 = \) üssü sabit düşünerek (\( f(x)^a \)) fonksiyonun türevi
\( y' = y'_1 + y'_2 \)
ÖRNEK 3:
\( y = x^{\ln{x}} \) fonksiyonunun türevini bulalım.
Tabanı sabit olarak düşünerek fonksiyonun türevini alalım.
\( y'_1 = x^{\ln{x}} \cdot (\ln{x})' \cdot \ln{x} \)
\( = x^{\ln{x}} \cdot \dfrac{1}{x} \cdot \ln{x} \)
\( = x^{\ln{x} - 1} \cdot \ln{x} \)
Üssü sabit olarak düşünerek fonksiyonun türevini alalım.
\( y'_2 = \ln{x} \cdot x^{\ln{x} - 1} \)
Bulduğumuz iki türevin toplamını alırsak birinci yöntemde bulduğumuz sonucu elde ederiz.
\( y' = y'_1 + y'_2 \)
\( y' = 2x^{\ln{x} - 1} \cdot \ln{x} \)
SORU 5:
\( f(x) = x^x \) fonksiyonunun türevi nedir?
Çözümü Göster\( y = f(x)^{g(x)} = e^{g(x) \cdot \ln{f(x)}} \)
Yukarıdaki eşitliği kullanarak ifadeyi üstel fonksiyona dönüştürelim.
\( f(x) = x^x = e^{x \cdot \ln{x}} \)
Üstel fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = e^{x \cdot \ln{x}} \cdot (x \cdot \ln{x})' \)
\( = e^{x \cdot \ln{x}} \cdot (\ln{x} + x \cdot \dfrac{1}{x}) \)
\( = e^{x \cdot \ln{x}} \cdot (\ln{x} + 1) \)
Birinci çarpan yerine orijinal fonksiyon tanımını yazabiliriz.
\( = x^x \cdot (\ln{x} + 1) \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
kaynağı değiştir]
Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların Türevi
Üstel Fonksiyonlar
Üstel fonksiyonların türev alma kuralları aşağıdaki gibidir.
\( f(x) = a^x \)
\( f'(x) = a^x \cdot \ln{a} \)
\( f(x) = a^{g(x)} \)
\( f'(x) = a^{g(x)} \cdot \ln{a} \cdot g'(x) \)
ÖRNEK:
\( f(x) = 2^{3x + 1} \)
\( f'(x) = 2^{3x + 1} \cdot \ln{2} \cdot (3x + 1)' \)
\( = 2^{3x + 1} \cdot \ln{2} \cdot 3 \)
İSPATI GÖSTER
İspatı türevin limit tanımını kullanarak yapalım.
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \)
\( f(x) = a^x \)
\( f(x + h) = a^{x + h} \)
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{a^{x + h} - a^x}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \dfrac{a^xa^h - a^x}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \dfrac{a^x(a^h - 1)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} a^x\dfrac{a^h - 1}{h} \)
\( a^x \) ifadesi \( h \) cinsinden olmadığı için sabit sayı olarak limitin dışına alabiliriz.
\( = a^x \cdot \lim_{h \to 0} \dfrac{a^h - 1}{h} \)
Aşağıdaki limit \( \ln{a} \) formülüdür.
\( \lim_{h \to 0} \dfrac{a^h - 1}{h} = \ln{a} \)
\( = a^x \cdot \ln{a} \)
Buna göre, \( f(x) = a^x \) fonksiyonunun türevi \( f'(x) = a^x \cdot \ln{a} \) fonksiyonudur.
İspatta hata bildirin
\( e \) tabanındaki üstel fonksiyonun türevi kendisine eşittir.
\( f(x) = e^x \)
\( f'(x) = e^x \)
\( f(x) = e^{g(x)} \)
\( f'(x) = e^{g(x)} \cdot g'(x) \)
ÖRNEK:
\( f(x) = e^{2x^3} \)
\( f'(x) = e^{2x^3} \cdot (2x^3)' \)
\( = e^{2x^3} \cdot 6x^2 \)
İSPATI GÖSTER
\( f(x) = a^x \) fonksiyonunda ve ispatını yaptığımız türevinde \( a = e \) koyarak türevini bulalım.
\( f(x) = e^x \)
\( f'(x) = e^x \cdot \ln{e} \)
\( = e^x \cdot 1 \)
\( = e^x \)
Buna göre, \( f(x) = e^x \) fonksiyonunun türevi \( f'(x) = e^x \) fonksiyonudur (yani fonksiyonun kendisidir).
İspatta hata bildirin
SORU 1:
\( f(x) = x^3 \cdot e^x \) olduğuna göre, \( f'(1) \) kaçtır?
Çözümü GösterÇarpma kuralını kullanarak fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = (x^3)' \cdot e^x + x^3 \cdot (e^x)' \)
\( = 3x^2 \cdot e^x + x^3 \cdot e^x \)
Türev fonksiyonunda \( x = 1 \) yazalım.
\( f'(1) = 3 \cdot 1^2 \cdot e^1 + 1^3 \cdot e^1 \)
\( = 4e \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 2:
\( f(x) = x^2 \cdot 5^{x} \cdot \ln{x} \)
olduğuna göre, \( f'(x) \) nedir?
Çözümü GösterÜç fonksiyonlu çarpma kuralını kullanarak fonksiyonun türevini alalım.
\( [f \cdot g \cdot h]' = f' \cdot g \cdot h \) \( + f \cdot g' \cdot h \) \( + f \cdot g \cdot h' \)
\( = (x^2)' \cdot 5^x \cdot \ln{x} \) \( + x^2 \cdot (5^x)' \cdot \ln{x} \) \( + x^2 \cdot 5^x \cdot (\ln{x})' \)
\( = 2x \cdot 5^x \cdot \ln{x} \) \( + x^2 \cdot 5^x \cdot \ln{5} \cdot \ln{x} \) \( + x^2 \cdot 5^x \cdot \dfrac{1}{x} \)
\( = 2x \cdot 5^x \cdot \ln{x} \) \( + x^2 \cdot 5^x \cdot \ln{5} \cdot \ln{x} \) \( + x \cdot 5^x \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
Logaritmik Fonksiyonlar
Logaritmik fonksiyonların türevlenebilir oldukları aralıklarda türev alma kuralları aşağıdaki gibidir.
\( f(x) = \log_a{x} \)
\( f'(x) = \dfrac{1}{x \cdot \ln{a}} \)
\( f(x) = \log_a{g(x)} \)
\( f'(x) = \dfrac{g'(x)}{g(x) \cdot \ln{a}} \)
ÖRNEK:
\( f(x) = \log_5(4x^2 - 1) \)
\( f'(x) = \dfrac{(4x^2 - 1)'}{(4x^2 - 1) \cdot \ln{5}} \)
\( f'(x) = \dfrac{8x}{(4x^2 - 1) \cdot \ln{5}} \)
İSPATI GÖSTER
İspatı kapalı fonksiyonların türevi yöntemini kullanarak yapalım.
\( f(x) = y = \log_a{x} \)
\( x \)'i \( y \) cinsinden yazalım.
\( x = a^y \)
İki tarafın türevini alalım. \( y \) \( x \)'e bağlı bir fonksiyon olduğu için \( y \)'nin türevini \( \frac{dy}{dx} \) ile de çarpmamız gerekir.
\( \dfrac{d}{dx} (x) = \dfrac{d}{dx} (a^y) \)
\( 1 = a^y \cdot \ln{a} \cdot \dfrac{dy}{dx} \)
\( \dfrac{dy}{dx} \) türev ifadesini yalnız bırakalım.
\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{a^y \cdot \ln{a}} \)
\( x = a^y \) olduğu için \( a^y \) yerine \( x \) yazalım.
\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{x \cdot \ln{a}} \)
Buna göre, \( f(x) = \log_a{x} \) fonksiyonunun türevi \( f'(x) = \dfrac{1}{x \cdot \ln{a}} \) fonksiyonudur.
İspatta hata bildirin
\( f(x) = \ln{x} \)
\( f'(x) = \dfrac{1}{x} \)
\( f(x) = \ln{g(x)} \)
\( f'(x) = \dfrac{g'(x)}{g(x)} \)
ÖRNEK:
\( f(x) = \ln(2x^3) \)
\( f'(x) = \dfrac{(2x^3)'}{2x^3} \)
\( f'(x) = \dfrac{6x^2}{2x^3} = \dfrac{3}{x} \)
İSPATI GÖSTER
\( f(x) = \log_a{x} \) fonksiyonunda ve ispatını yaptığımız türevinde \( a = e \) koyarak türevini bulalım.
\( f(x) = \log_e{x} = \ln{x} \)
\( f'(x) = \dfrac{1}{x \cdot \ln{a}} \)
\( = \dfrac{1}{x \cdot \ln{e}} = \dfrac{1}{x} \)
Buna göre, \( f(x) = \ln{x} \) fonksiyonunun türevi \( f'(x) = \dfrac{1}{x} \) fonksiyonudur.
İspatta hata bildirin
SORU 3:
\( f(x) = x^2 \cdot \ln{x} \) olduğuna göre,
\( \dfrac{d^3f(x)}{dx^3} \) ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü Göster\( \dfrac{d^3f(x)}{dx^3} \) ifadesi \( f(x) \) fonksiyonunun 3. dereceden türevidir.
Çarpma kuralını kullanarak fonksiyonun birinci türevini alalım.
\( f'(x) = 2x \cdot \ln{x} + x^2 \cdot \dfrac{1}{x} \)
\( = 2x \cdot \ln{x} + x \)
\( f''(x) = 2 \cdot \ln{x} + 2x \cdot \dfrac{1}{x} + 1 \)
\( = 2 \cdot \ln{x} + 3 \)
\( f'''(x) = \dfrac{2}{x} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 4:
\( f(x) = \log_2{x} + \log_x{2} \) fonksiyonunun türevi nedir?
Çözümü GösterLogaritma türev kuralını kullanabilmek için ikinci terime logaritma taban değiştirme kuralını uygulayalım.
\( f(x)= \log_2{x} + \dfrac{1}{\log_2{x}} \)
Fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = (\log_2{x})' + (\dfrac{1}{\log_2{x}})' \)
\( = \dfrac{1}{x \cdot \ln{2}} - \dfrac{(\log_2{x})'}{(\log_2{x})^2} \)
\( = \dfrac{1}{x \cdot \ln{2}} - \dfrac{1}{(\log_2{x})^2 \cdot x \cdot \ln{2}} \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
\( f(x)^{g(x)} \) Formundaki Fonksiyonlar
Bu formdaki fonksiyonların türevini almak için üç yöntem kullanabiliriz. Birinci yöntemde iki tarafın logaritması alınır.
ÖRNEK 1:
\( y = x^{\ln{x}} \) fonksiyonunun türevini bulalım.
Her iki tarafın doğal logaritmasını alalım.
\( \ln{y} = \ln{x^{\ln{x}}} \)
Logaritma üs kuralını uygulayalım.
\( \ln{y} = \ln{x} \cdot {\ln{x}} = (\ln{x})^2 \)
Her iki tarafın türevini alalım.
\( \dfrac{y'}{y} = 2\ln{x} \cdot (\ln{x})' = \dfrac{2\ln{x}}{x} \)
\( y' = y \cdot \dfrac{2\ln{x}}{x} \)
\( y \) yerine fonksiyonun kendisini yazalım.
\( y' = x^{\ln{x}} \cdot \dfrac{2\ln{x}}{x} = 2x^{\ln{x} - 1} \cdot \ln{x} \)
İkinci yöntemde ifade üstel fonksiyona dönüştürülür ve türevi alınır.
\( y = f(x)^{g(x)} = e^{g(x) \cdot \ln{f(x)}} \)
ÖRNEK 2:
\( y = x^{\ln{x}} \) fonksiyonunun türevini bulalım.
İfadeyi üstel fonksiyon şeklinde yazalım.
\( y = x^{\ln{x}} = e^{\ln{x} \cdot \ln{x}} \)
\( = e^{(\ln{x})^2} \)
Üstel fonksiyonun türevini alalım.
\( y' = e^{(\ln{x})^2} \cdot ((\ln{x})^2)' \)
\( = e^{(\ln{x})^2} \cdot 2 \cdot \ln{x} \cdot (\ln{x})' \)
\( = (e^{\ln{x}})^{\ln{x}} \cdot 2 \cdot \ln{x} \cdot \dfrac{1}{x} \)
Logaritma tanımı gereği \( e^{\ln{x}}= x \) olur.
\( y' = x^{\ln{x}} \cdot \dfrac{2\ln{x}}{x} = 2x^{\ln{x} - 1} \cdot \ln{x} \)
İSPATI GÖSTER
\( y = f(x)^{g(x)} \)
Logaritma tanımı gereği bu ifadeyi \( e \) tabanında aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( y = e^{\ln {f(x)^{g(x)}}} \)
Üsteki logaritma ifadesine üs kuralını uygulayalım.
\( y = e^{g(x) \cdot \ln {f(x)}} \)
İspatta hata bildirin
Alternatif olarak aşağıdaki formülü kullanarak türev alınabilir.
\( y = f(x)^{g(x)} \) olmak üzere,
\( y'_1 = \) tabanı sabit düşünerek (\( a^{g(x)} \)) fonksiyonun türevi
\( y'_2 = \) üssü sabit düşünerek (\( f(x)^a \)) fonksiyonun türevi
\( y' = y'_1 + y'_2 \)
ÖRNEK 3:
\( y = x^{\ln{x}} \) fonksiyonunun türevini bulalım.
Tabanı sabit olarak düşünerek fonksiyonun türevini alalım.
\( y'_1 = x^{\ln{x}} \cdot (\ln{x})' \cdot \ln{x} \)
\( = x^{\ln{x}} \cdot \dfrac{1}{x} \cdot \ln{x} \)
\( = x^{\ln{x} - 1} \cdot \ln{x} \)
Üssü sabit olarak düşünerek fonksiyonun türevini alalım.
\( y'_2 = \ln{x} \cdot x^{\ln{x} - 1} \)
Bulduğumuz iki türevin toplamını alırsak birinci yöntemde bulduğumuz sonucu elde ederiz.
\( y' = y'_1 + y'_2 \)
\( y' = 2x^{\ln{x} - 1} \cdot \ln{x} \)
SORU 5:
\( f(x) = x^x \) fonksiyonunun türevi nedir?
Çözümü Göster\( y = f(x)^{g(x)} = e^{g(x) \cdot \ln{f(x)}} \)
Yukarıdaki eşitliği kullanarak ifadeyi üstel fonksiyona dönüştürelim.
\( f(x) = x^x = e^{x \cdot \ln{x}} \)
Üstel fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = e^{x \cdot \ln{x}} \cdot (x \cdot \ln{x})' \)
\( = e^{x \cdot \ln{x}} \cdot (\ln{x} + x \cdot \dfrac{1}{x}) \)
\( = e^{x \cdot \ln{x}} \cdot (\ln{x} + 1) \)
Birinci çarpan yerine orijinal fonksiyon tanımını yazabiliriz.
\( = x^x \cdot (\ln{x} + 1) \)
Soru sorun Soruda hata bildirin