Eski Uygarlıkların Kullandıkları Sayı Ve Sistemleri Nelerdir

Tarih Öncesi Ça&#;larda Aritmetik

Say&#; ve biçime ili&#;kin kavramlarla tan&#;&#;mam&#;z yontma ta&#; devri’ne kadar uzan&#;r. Yüz binlerce y&#;l boyunca insanlar, hayvanlar&#;n ya&#;ad&#;&#;&#; ko&#;ullardan pek farkl&#; olmayan bir biçimde ma&#;aralarda ya&#;ad&#;lar. Enerjilerinin ço&#;unu nerede yiyecek bulurlarsa onu toplamaya harc&#;yorlard&#;.

Avlanmak ve bal&#;k tutmak için silahlar&#;, birbirleriyle anla&#;mak için konu&#;ma dilini geli&#;tirdiler. Yontma ta&#; devri’nin sonlar&#;na do&#;ru da yarat&#;c&#; sanatlarla heykelcikler ve resimler yaparak ya&#;amlar&#;n&#; renklendirdiler. Fransa ve &#;spanya’daki yakla&#;&#;k y&#;l öncesinin ma&#;ara duvar resimlerinin ayinsel bir anlam&#; olabilir, ama bunun ötesinde de üstün bir biçim anlay&#;&#;&#; gösteriyorlard&#;.

Maden Devrinde ise bunun aksine ticaret öylesine geli&#;mi&#;ti ki, yüzlerce mil uzakl&#;ktaki köyler aras&#;ndaki ili&#;kilerin izleri fark edilebiliyordu. Önce bak&#;r&#;n daha sonra da tuncun eritilmesiyle bu metallerden araçlar ve silahlar yap&#;ld&#;. Bu da ticaretin ve yeni dillerin daha da geli&#;mesine yol açt&#;. Bu dillerdeki nesnelerin ço&#;unlukla somut; yani elle tutulur ve gözle görülür nesneleri belirtmesine ve az say&#;da olmas&#;na kar&#;&#;n baz&#; say&#;sal terimler ortaya ç&#;kt&#;. Benim dü&#;üncelerime göre matemati&#;in ilk kez ortaya ç&#;kt&#;&#;&#; ça&#; maden ça&#;&#;d&#;r.

Ünlü bir matematikçi olan Adam Smith’in “insan akl&#;n&#;n ürünü en soyut dü&#;ünceler” olarak tan&#;mlad&#;&#;&#; say&#;sal terimlerin kullan&#;lmaya ba&#;lanmas&#; çok yava&#; oldu. Bunlar ilk ortaya ç&#;kt&#;klar&#;nda bir cismin say&#;s&#;n&#; de&#;il niteli&#;ini gösteriyordu. Örne&#;in; “bir insan” de&#;il sadece “insan” kavram&#;n&#; gösteriyordu. Say&#;sal kavramlar&#;n bu niteliksel kökenlerinin izleri hala Yunanca ve Keltçe gibi baz&#; dillerdeki ikili terimlerde görülebilir. Say&#; kavram&#; geli&#;tikçe toplama yoluyla daha büyük say&#;lar olu&#;turuldu: 2 ile 1 toplanarak 3, 2 ile 2 toplanarak 4, 2 ile 3 toplanarak 5 bulundu.

&#;&#;te baz&#; Avustralya kabilelerinden örnek:

Murray Nehri: 1 =enea, 2 =petcheval, 3 =petcheval-enea, 4 =petcheval – petcheval

Kamilaraoi: 1 =ma, 2 =bulan, 3 =guliba, 4 =bulan bulan, 5 =bulan guliba, 6 =guliba guliba

Zanaatlerin ve ticaretin geli&#;mesi say&#; kavram&#;n&#;n netle&#;mesine yard&#;m etti. Say&#;lar, ticaret yaparken do&#;al bir yöntem olan bir ya da iki elin parmaklar&#; kullan&#;larak daha büyük birimlerin içinde gösterildi. Buna örnek olarak &#;imdiki okullarda okuyan küçük s&#;n&#;flarda ki çocuklar&#;n sayma yöntemini verebilirim. Bu olay&#;n sonucunda önce 5 sonra 10 tabanl&#; say&#; sistemleri olu&#;turulup, bunlar toplama ve bazen ç&#;karma ile tamamland&#;. Böylece 12, 10 + 2 olarak ya da 9 , olarak alg&#;land&#;. Bazen de taban olarak el ve ayak parmaklar&#;n&#;n toplam say&#;s&#; olan 20 kullan&#;ld&#;. Yap&#;lan ara&#;t&#;rmalara göre Amerikan yerlilerinin kulland&#;&#;&#; say&#; siteminden ’s&#; onluk, ’s&#; onluk, onikilik ve yirmilik say&#; sistemlerinin kar&#;&#;&#;m&#;yd&#;. Ço&#;u ki&#;i taraf&#;ndan yamyam olarak bilinen Amerikan yerlilerinin bu kadar çok say&#; sisteminin olmas&#; önce bana biraz garip geldi. Fakat sonra, onlar&#;n da en az bizim kadar zeki olduklar&#;n&#; anlad&#;m. Yirmili say&#; sisteminin en tipik biçmi Meksika’da Mayalar ve Avrupa’da Keltler taraf&#;ndan kullan&#;ld&#;.

Say&#;lar kümelere ayr&#;larak, tahtan&#;n üstüne çentik, ipin üstüne dü&#;üm at&#;larak ya da deniz kabuklar&#;n&#;n be&#;li y&#;&#;&#;nlar biçiminde düzenlenmesiyle say&#;sal kay&#;tlar tutuldu. Bu yöntemler eski zaman hanc&#;lar&#;n&#;n çetele tutma yöntemlerine benziyordu. Böyle yöntemlerden 5, 10, 20 gibi özel simgelere geçilmesi çok kolay oldu. Benzer simgeler uygarl&#;&#;&#;n do&#;u&#;u da denen yaz&#;l&#; tarihin ba&#;lang&#;c&#;ndan beri kullan&#;lm&#;&#;t&#;r.

Yontama Ta&#; Devri’ne kadar uzanan en eski çetele çubu&#;u ’de Vestonica’da bulunmu&#;tur. Bu; genç bir kurdun 7 inç uzunlu&#;undaki ön kol kemi&#;iydi ve üzerinde ilk 25’i be&#;li gruplar halinde düzenlenmi&#; 55 çentik bulunmaktayd&#;. Dizinin sonunda, önceki çentiklerden iki kat uzun bir çentik vard&#;. Yeni dizinin ba&#;&#;ndaki çentik yine 2 kat uzundu ve bunu 30 çentikten olu&#;an bir dizi izliyordu.

Böylece, s&#;k s&#;k söylenen “eski zamanlarda sayma parmaklara dayal&#;yd&#;.” görü&#;ü geçerlili&#;ini kaybetmi&#; oldu. Yaz&#; olmamas&#;na ra&#;men yontma ta&#; devrin’deki insanlar&#;n çetele çubuklar&#;n&#; duymak ilginç gelebilir. Fakat gerçek.

Parmaklar kullan&#;larak say&#; saymak yani 5’erli 10’arl&#; saymak ancak toplumsal geli&#;imin belirli bir a&#;amas&#;nda ortaya ç&#;kar. Bu a&#;amadan sonra say&#;lar bir tabana göre ifade edildi ve bu da büyük say&#;lar&#;n ortaya ç&#;kmas&#;na yard&#;m etti. Böylece ilkel bir aritmetik ortaya ç&#;kt&#;. 14 bazen 10+4, bazen de olarak gösteriliyordu. 20’nin 10+10 de&#;il de 2´10 olarak gösterilmesiyle çarpma ba&#;lad&#;. Bölme, 10’un “vücudun yar&#;s&#;” olarak gösterilmesiyle ba&#;lad&#;, ama kesirlerin bilinçli bir &#;ekilde olu&#;turulmas&#; hala çok enderdi. Kuzey Amerika’da kabilelerin ancak birkaç&#;nda böyle kesirler biliniyordu, ço&#;u durumda bu ½’ydi. Bazen 1/3 ya da ¼’de kullan&#;l&#;yordu. Bir ba&#;ka ilginç durum çok büyük say&#;lara duyulan ilgidir. Bu belki de tümüyle insana ait bir tutku olan sürünün büyüklü&#;ü ya da öldürülen dü&#;manlar&#;n çoklu&#;unu abartma iste&#;inin sonucudur. Bu e&#;ilimin kal&#;nt&#;lar&#; &#;ncil’de ve di&#;er kutsal metinlerde de ortaya ç&#;kar.

Tarih Öncesi Ça&#;larda Geometri 

Cisimlerin uzunluklar&#;n&#; ve içindekileri ölçmek gerekince, genelde insan vücudunun bölümleri kullan&#;larak; parmak, ayak, kar&#;&#; gibi basit ölçüler kullan&#;ld&#;. Ar&#;&#;n, kulaç adlar&#; bize bu gelene&#;i hat&#;rlat&#;r. Ev yaparken Hint köylüleri de, Orta Avrupa’da kutup evi yapanlar da yap&#;lar&#; düz çizgiler boyunca ve yere göre dik aç&#;yla yapmak için kurallar geli&#;tirdiler. Örne&#;in ; “Düz sözcü&#;ü “germek” sözcü&#;ü ile ilgilidir ve iple yap&#;lan i&#;lemleri gösterir. ”Do&#;ru” ve “Keten kuma&#;” sözcükleri, dokumac&#;l&#;k ile geometrinin ba&#;lang&#;c&#; aras&#;ndaki ba&#;lant&#;y&#; gösterir. Dokumac&#;l&#;k ölçmeye ili&#;kin ilginin ba&#;lama yollar&#;ndan biriydi.

Cilal&#; ta&#; devri insan&#; geometrik desenlere büyük bir ilgi duyuyordu. Çömleklerin pi&#;irilmesi ve boyanmas&#;, sazlar&#;n örülmesi, sepet yap&#;m&#; ve kuma&#; dokumac&#;l&#;&#;&#;, daha sonra da metallerin i&#;lenmesi, düzlemsel ve alansal ili&#;kilerin kavranmas&#;n&#; geli&#;tirdi. Dans figürleri de bunda rol oynam&#;&#; olmal&#; ki Cilal&#;ta&#; devri’nde yap&#;lan süslemelerde benzerlik ve simetri görülür; e&#; &#;ekiller kullan&#;l&#;rd&#;. Baz&#; tarih öncesi desenler de üçgensel say&#;lar, baz&#;lar&#;nda ise “kutsal” say&#;lar yer al&#;yordu. Pisagor matemati&#;inde önemli rol oynayan üçgensel say&#;lar&#;n olu&#;turulma çabalar&#; yans&#;maktad&#;r.

Bu tür desenler tarih boyunca yayg&#;n olarak kullan&#;lm&#;&#;t&#;r. Bunlar&#;n çok güzel örneklerine Girit’teki Minos ve erken dönem Yunan vazolar&#;nda, daha sonra Bizans ve Arap moziklerinde, Pers ve Çin duvar hal&#;lar&#;nda rastlan&#;r. Bu ilk desenlerin dinsel ya da büyüsel bir anlam&#; olabilir, ama zamanla görsel çekicilikleri ön plana ç&#;km&#;&#;t&#;r.

Ta&#; Devri dinlerinde, do&#;a güçlerine egemen olma çabas&#;n&#;n ilkel bir biçimini fark edebiliriz. Dinsel törenler büyü ile iç içeydi. Büyü ö&#;esi de o zamanlar var olan say&#; ve biçime ili&#;kin kavramlarda, heykel, müzik ve resimlerde içeriliyordu. 3,4,7 gibi sihirli say&#;lar, Pentalpha ve Swastika gibi sihirli biçimler vard&#;. Matemati&#;in toplumsal kökenleri modern zamanlarda silikle&#;mi&#;se de insanl&#;k tarihinin ilk dönemlerinde bu kökler aç&#;kça görülebilmektedir ve baz&#; yazarlar, matemati&#;in bu yönünün onun geli&#;iminde belirleyici oldu&#;u görü&#;ündedir. ”Modern” say&#; bilimi, Cilal&#; hatta belki de Yontma Ta&#; Devri’nin büyü törenlerinin miras&#;d&#;r.

Zaman Kavram&#;

En ilkel kabilelerde bile bir “zaman” kavram&#;na rastlan&#;r ve bunun sonucu olarak da Güne&#; Ay ve y&#;ld&#;zlar&#;n hareketleriyle ilgili baz&#; bilgileri edinmi&#;lerdi. Bu bilgiler, çiftçilik ve ticaret geli&#;tikçe daha bilimsel bir nitelik kazanmaya ba&#;lad&#;. Bitkilerdeki de&#;i&#;imlerin Ay’daki de&#;i&#;imlerle ili&#;kilendirildi&#;i Ay takviminin kullan&#;lmas&#;, insanl&#;k tarihinin çok erken dönemlerine kadar uzan&#;r. &#;lkel insanlar gün dönümünü ya da &#;afakta yedi y&#;ld&#;zl&#; Süreyya burcunun yükseli&#;ini ilgiyle izliyordu. &#;lk uygarl&#;klar&#; kuran insanlar&#;n astronomi bilgilerinin kökeni tarih öncesi dönemlerden gelen bilgilere dayan&#;yordu. &#;lk insanlar, tak&#;m y&#;ld&#;zlar&#;ndan denizcilikte yararland&#;lar. Astronomiye ili&#;kin bu gözlemlerinin sonunda kürenin, dairenin ve aç&#;sal yönlerin özellikleri hakk&#;nda bilgi edinildi.

Matemati&#;in ba&#;lang&#;c&#;na ili&#;kin bu birkaç örnek bir bilimin tarihsel geli&#;iminin, &#;imdi bu alandaki ö&#;retimde geli&#;tirdi&#;imiz a&#;amalarla çak&#;&#;mayabilece&#;ini göstermektedir. &#;nsanlarca bilinen en eski geometrik biçimler olan dü&#;ümlere ve desenlere ancak son y&#;llarda bilimsel bir ilgi gösterilmi&#;tir. Öte yandan, grafikle gösterim ya da istatistik gibi matemati&#;in temel dallar&#;n&#;n ba&#;lang&#;c&#; modern zamanlardad&#;r.

Bir matematikçi olan A. Speiser bu konuda &#;öyle dü&#;ünmektedir:

“Matemati&#;e giri&#;in do&#;as&#;nda var olan s&#;k&#;c&#;l&#;&#;&#;n ön plana ç&#;kma e&#;iliminin geç ba&#;lang&#;c&#;n&#;n sonucu oldu&#;u söylenebilir; çünkü yarat&#;c&#; bir matematikçi ilgi çekici ve güzel problemlerle u&#;ra&#;may&#; ye&#;ler.”

ESK&#; UYGARLIKLARIN MATEMAT&#;KLER&#;

Do&#;u Matemati&#;i

Do&#;u matemati&#;i uygulamal&#; bilim kökenliydi. Takvimin hesaplanmas&#;, tar&#;msal üretim ve bay&#;nd&#;rl&#;kla ilgili i&#;lerin örgütlenmesi, vergilerin toplanmas&#; uygulamal&#; aritmetik ve ölçme sorunlar&#;na öncelikle a&#;&#;rl&#;k verilmesini gerektirdi. Bununla birlikte , yüzy&#;llar boyunca özel bir zanaat olarak geli&#;en bilim yaln&#;zca uygulamaya yönelik de&#;ildi; s&#;rlar ö&#;retilirken, soyutlamaya yönelik e&#;ilimler de ortaya ç&#;kt&#;. Aritmeti&#;in cebire dönü&#;mesi yaln&#;zca daha pratik hesaplamalar sa&#;lad&#;&#;&#; için olmad&#;; bu, ayn&#; zamanda yaz&#;c&#; okullar&#;nda ö&#;retilen bir bilimin do&#;al bir geli&#;imiydi. Ayn&#; nedenlerle ölçme ile ilgili bilgiler kuramsal geometrinin ba&#;lang&#;c&#;n&#; olu&#;turdu.

M&#;s&#;r Matemati&#;i

M&#;s&#;r matemati&#;ine ili&#;kin bilgilerimizin ço&#;u iki kayna&#;a dayan&#;r. Bunlar 85 problemi içeren Rhind Papirüsü ve bundan belki de y&#;l öncesine ait olan ve 25 problemi kapsayan Moscow Papürüsü’dür. Bu elyazmalar&#; düzenlenirken, içerdikleri problemler zaten eskiden beri biliniyordu; ama yak&#;n dönemden, hatta Roma döneminden kalma az say&#;daki papirüsteki yöntemler de bundan farkl&#; de&#;ildi. Kulland&#;klar&#; matematik onlu say&#; sistemine dayan&#;yordu ve 10’dan büyük her 10’lu birim için özel simgeler kullan&#;l&#;yordu. Bu tür sistemleri Roma rakamlar&#;ndan biliyoruz: MDCCCLXXVII = Bu sistemi kullanan M&#;s&#;rl&#;lar, çarpmay&#; ard&#;&#;&#;k toplamalara indirgeyen, toplama a&#;&#;rl&#;kl&#; bir aritmetik geli&#;tirdi. Örne&#;in, bir say&#;y&#; 13 ile çarpmak için onu önce 4 ve 8’le çarp&#;yorlard&#; daha sonra ç&#;kan sonucu say&#;n&#;n kendisine ekliyorlard&#;. Bu i&#;lemi yaparak inceleyelim:

Normal çarpma i&#;lemi :3×13=39

M&#;s&#;rl&#;lar&#;n kulland&#;&#;&#; yöntem:

3×4 =12

3×8 =24

24+12 =36

36+3 =39

Görüldü&#;ü gibi sonuç ayn&#;. M&#;s&#;r matemati&#;inin en önemli yönü kesirlerle yap&#;lan hesaplamalard&#;r. Bütün kesirler, pay&#; bir olan birim kesirlerin toplam&#; olarak yaz&#;l&#;rd&#;.

Baz&#; problemlerin teorik yanlar&#; a&#;&#;r bas&#;yordu. Örne&#;in somun ekme&#;i 5 ki&#;i aras&#;nda, her birine dü&#;en pay aritmetik olarak artarak ve en büyük 3 pay&#;n toplam&#;n&#;n yedide biri en küçük iki pay&#;n toplam&#;na e&#;it olacak biçimde bölü&#;türülmesi problemi böyleydi. 7 evin her birinin 7 kedisi, her kedinin kovalad&#;&#;&#; 7 farenin oldu&#;u problem, geometrik olarak artan bir serinin toplam&#;n&#;n formülünü bildiklerini gösteriyordu.

Böyle problemler için yaz&#;lm&#;&#; &#;iirler, &#;ark&#;lar bile vard&#;r.

&#;u &#;iiri an&#;msayal&#;m:

“St. Ives’e giderken

7 kar&#;s&#; olan bir adamla kar&#;&#;la&#;t&#;m

Her kar&#;s&#;n&#;n yedi sepeti Her sepetin yedi kedisi

Her kedinin yedi yavrusu vard&#; Her yavrununda yedi ç&#;ng&#;ra&#;&#; vard&#;

Yavrular, kediler, sepetler, kad&#;nlar ve ç&#;ng&#;raklar

Kaç tanesi St. Ives’e gidiyordu?

Mezopotamya Matemati&#;i

Mezopotamya matemati&#;i , M&#;s&#;r matemati&#;inin hiçbir dönemde ula&#;amad&#;&#;&#; bir düzeye eri&#;ti. Burada yüzy&#;llar içinde bile ilerlemeyi fark edebiliriz. M.Ö ’deki en eski metinlerde bile geli&#;mi&#; hesap izleri bulunur .Bu metinlerde 10’lu sistemin üzerine 60’l&#; sistemin eklendi&#;i çarp&#;m tablolar&#; bulunmaktayd&#;. 1, 60, ; hatta 60 üstü ve 60 üstü 2’yi gösteren çiviyaz&#;s&#; simgeler kullan&#;lm&#;&#;t&#;. Ama bu onlar&#;n matemati&#;inin tipik özelli&#;i de&#;ildi. M&#;s&#;rl&#;lar daha büyük her say&#;y&#; yeni bir simge ile gösterirken, Sümerliler ayn&#; simgeyi kullan&#;p de&#;erini bulundu&#;u yere göre belirliyorlard&#; .

Ayr&#;ca 60’l&#; say&#; sistemi insanl&#;&#;&#;n kal&#;c&#; bir kazan&#;m&#; oldu .Günümüzde kulland&#;&#;&#;m&#;z saatin 60 dakika ve saniyeye bölünmesinin de, dairenin dereceye, her derecenin 60 dakikaya, her dakikan&#;n da 60 saniyeye bölünmesinin kökeni de Sümerliler’e kadar uzan&#;r .Birim olarak 10 yerine 60’&#;n al&#;nmas&#;n&#;n sebebi ölçme sistemlerini birle&#;tirmek olabilece&#;i gibi 60’&#;n birçok böleninin olmas&#; da nedenlerden biri olabilir .

MISIR H&#;YEROGL&#;FLER&#;

E&#;er yaz&#;lar&#;n&#;z&#; eski M&#;s&#;r hiyeroglifleriyle yazarsan&#;z ço&#;u ki&#;i bunlar&#; okumaya çal&#;&#;maktan vaz geçecektir .

Eski M&#;s&#;r Hiyeroglifleri’nden M&#;s&#;r rakamlar&#;n&#; ö&#;renmek çok kolayd&#;r; çünkü hepsinin bir görsel anlam&#; vard&#;r .Büyük bir olas&#;l&#;kla yaz&#; yazmaya ba&#;lamadan once M&#;s&#;rl&#;lar, say&#; saymak için parmaklar&#;n&#; kullan&#;yorlard&#; .Ba&#;ka birinin okumas&#; için say&#; düzenlemeleri gerekti&#;inde de, yine büyük bir olas&#;l&#;kla, yan yana s&#;ralanm&#;&#; yapraklar, ip parçalar&#; ve çiçekler b&#;rak&#;yorlard&#;. Neden mi böyle dü&#;ünüyoruz? Çünkü daha sonradan hiyeroglif yaz&#; sistemini geli&#;tirdiklerinde, yaprak ip parçalar&#;, çiçek ve hatta y&#;lan ve iriba&#;lar kullanm&#;&#;lar.