Geometrik Cisimler Formülleri 8 Sınıf

Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde Geometrik cisimler konusunu öğreneceğiz.

Prizmalar

Prizma tabanları, karşılıklı iki yüzü paralel ve eş olan çokgenlerdir.
Dik prizmada, tabanlarının karşılıklı köşelerini birleştiren ayrıtlar tabana diktir.
Dik prizmalar karşılıklı paralel yüz çiftlerine (tabanlarına) göre isimlendirilir. Örneğin, prizma dik ve tabanları düzgün altıgen ise prizma, “düzgün altıgen dik prizma” olarak adlandırılır.

Üçgen prizmanın tabanları eşkenar üçgenlerden oluşuyorsa prizma, “eşkenar üçgen prizma” adını alır.
Prizmaların yüksekliği, tabanla arasındaki uzaklıktır. “Yükseklik”, tabanlardan birinin bir noktasından diğer tabana inilen dikme şeklinde de ifade edilir.

Aşağıdaki üçgen dik prizma modelinin temel elemanlarını belirleyelim ve
üçgen dik prizmanın yüzey açınımını çizelim.

Üçgen dik prizmanın temel elemanları; taban, yan yüz, ayrıt, köşe ve yüksekliktir.

ABC ve A’B’C’ üçgensel bölgeleri prizmamızın tabanlarıdır.
A’ACC’, B’BCC’ ve A’ABB’ dikdörtgensel bölgeleri prizmamızın yan yüzleridir.

[AA’], [AB], [AC], [BC], [BB’], [CC’], [C’B’], [C’A’] ve [B’A’] prizmamızın ayrıtlarıdır.

A, B, C, A’, B’ ve C’ prizmamızın köşeleridir.
[AA’], [CC’] ve [BB’] ayrıtları da dik prizmamızın yüksekliğidir.
Üçgen prizmanın açınımı, aşağıdaki gibidir.

Dik Dairesel Silindir

Dik dairesel silindirde birbirine eş ve paralel iki daireden oluşan tabanlar ve yan yüz vardır. Taban yarıçapı silindirin yarıçapıdır.

Dik dairesel silindirde, tabanları oluşturan dairelerin merkezlerini birleştiren doğru parçasına “eksen” denir.

Dik dairesel silindirde tabanların karşılıklı iki noktasını birleştiren tabanlara dik ve eksene paralel olan doğrulara “ana doğrular” denir. Eksen de bir ana doğrudur.

Tabanlardan birinin bir noktasından diğer tabana inilen dikmeye “silindirin yüksekliği” denir. Yükseklik de bir ana doğrudur.

Aşağıda verilen dik dairesel silindirin yüzey açınımını çizerek silindiri oluşturan
geometrik şekilleri belirleyelim.

Bir silindirin açık şekli, açınımı olarak adlandırılır. Dik dairesel silindirin açınımını çizelim.

Dik dairesel silindir, tabanları oluşturan paralel ve birbirine eş iki daire ve bir dikdörtgensel bölgeden oluşmaktadır.
Dikdörtgensel bölgenin kenar uzunlukları, tabanı oluşturan dairenin çevre uzunluğu ve silindirin yüksekliğine eşittir.

Dik Dairesel Silindirin Yüzey Alanı

Dik dairesel silindirin alanı, alt ve üst tabanların alanları ve yan yüz alanı toplamına eşittir.
Yüzey alanı: Alt ve üst taban alanları toplamı + yan yüz alanı
Alan: 2 π r² + 2 π r . h

Aşağıda verilen dik dairesel silindirin yüzey alanını bulalım (π = 3).

Dik dairesel silindirin yüzey alanı: Taban alanları toplamı + Yan yüz alanı
Alan = 2 π r²+ 2 π r . h
= 2 • 3 •
+ 2 • 3 • 10 • 6
= 6 • + 6 • 60 • 6 = +
= cm² olur.

Dik Dairesel Silindirin Hacmi

Yarıçapı r, yüksekliği h olan dik dairesel silindirin hacmi, silindirin taban alanı ile yüksekliğinin çarpımına eşittir. O halde,
V = π r² . h’dir.

A ve B tencereleri dik dairesel silindir şeklinde eşit hacimli iki tenceredir. A tenceresinin taban yarıçapı 8 cm, yüksekliği 25 cm’dir. B tenceresinin yarıçapı 10 cm ise yüksekliği kaç cm’dir?

A tenceresinin yarıçapını yuvarlama yaparak 10 cm ve yüksekliğini 25 cm olarak alalım.
A tenceresinin hacmi Va = π • 10² • 25 • π

Va = π

B tenceresinin yarıçapı 10’dur. Yüksekliğine h diyelim.

B tenceresinin hacmi Vb = 10² • hπ = πh

Her iki tencerenin hacmi eşit olduğu için π = πh

Her iki tencerenin hacmi eşit olduğu için h = 25 cm’dir.

İşlem yaparak sonucu bulalım:
A tenceresinin hacmi: Va = π • r² • h = π • 8² • 25 = π
B tenceresinin hacmi: VA = π • r² • h = π • 10² • h = πh
Her iki tencerenin hacimlerinin eşitliğinden;
Va = Vb
π = πh
h = 16 cm’dir

Dik Piramid, Temel Elemanları ve Açınımı

Bir çokgensel bölgenin her noktasını, bu çokgenden geçen düzlemin dışındaki T noktasına birleştiren doğru parçalarının oluşturduğu cisme “piramit” denir.

Piramidin temel elemanları, tepe noktası, tabanı, yan yüzleri, ayrıtları ve yüksekliğidir.
Çokgensel bölgeye “piramidin tabanı”, dışındaki noktaya “piramidin tepesi” denir.
Tepe noktasından taban düzlemine inen dikmeye (ya da dikmenin uzunluğuna) piramidin yüksekliği denir. Piramitte yükseklik, aynı zamanda tepenin taban düzlemine olan uzaklığıdır.
• Bir köşesi piramidin tepesi olan üçgensel bölgelere, dik piramidin “yanal yüzleri” denir. Yanal yüzler, ortak bir tepe noktası olan ikizkenar üçgenlerdir. Yanal ayrıt uzunlukları birbirine eşittir.
• Yanal yüzlerden birine ait yükseklik, piramidin “yan yüksekliği”dir.

Aşağıdaki şekil üzerinde, kare piramidin tepe, ayrıt, köşe, cisim yüksekliği ve yan yüz yüksekliğini inceleyelim.

*** Piramitler, taban çokgenlere göre adlandırılır. Tabanı üçgen olan piramide “üçgen piramit”, tabanı dörtgen olan piramide “dörtgen piramit”, tabanı beşgen olan piramide “beşgen piramit”denir.

Tabanı düzgün çokgen, yan ayrıtları eş olan ve cisim yükseklikleri tabanın merkezinden geçen piramitlere “düzgün piramit” denir. Tabanı eşkenar üçgen olan düzgün piramide “eşkenar üçgen düzgün piramit” denir. Tabanı kare olan düzgün piramide “düzgün kare piramit” denir.

Aşağıdaki piramit çeşitlerini inceleyelim.

Dik Koni, Temel Elemanları ve Açınımı

Merkezi “O” olan bir daireyle daire düzlemine “O” noktasında dik olan doğru
üzerinde ve daire dışında bir T noktası veriliyor. Dairenin her noktasını, T noktasına birleştiren doğru parçalarının oluşturduğu cisme “dik koni” denir.

*** Koninin temel elemanları, taban, tepe noktası, eksen, yanal yüzey ve ana doğru (doğuran)dır.
Aşağıda verilen dik dairesel konide;
• “O” merkezli daire, koninin tabanıdır.
• TO doğru parçası, koninin cisim yüksekliğidir.
• T, koninin tepe noktasıdır.
• Taban dairesinin çemberi üzerindeki noktaları tepe noktasına birleştiren TA ve TC gibi doğru parçalarına koninin ana doğruları denir.
• Tepe noktası ve taban merkezinden geçen doğruya koninin ekseni denir. Koninin yüksekliği koni ekseni üzerindedir.
• Tepeden geçen ve tabanının kenarı olan çembere dayanan doğrunun süpürdüğü yüzeye yanal yüzey denir.

*** Ekseni tabana dik olan koniye “dik koni” ya da “dönel koni”denir.
Dik koniler eksen etrafındaki dönmelerde “dönme simetrisi”ne sahiptirler. Eksen etrafındaki dönmelerde koni değişmez.

Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.

Geometrik Cisimler

Aşağıda E ve P paralel düzlemlerdir. Bu düzlemler üzerindeki eş çokgenlerin karşılıklı köşeleri birleştirilerek elde edilen cisme prizma seafoodplus.infoardaki karşılıklı köşeleri birleştiren ayrıtlar (yanal ayrıtlar) tabana dik ise bu prizmalara dik prizma, tabanlardaki karşılıklı köşeleri birleştiren ayrıtlar (yanal ayrıtlar) tabana dik değil ise bu prizmalara eğik prizma denir.

DİK PRİZMALAR

• Tüm prizmalar üç boyutlu şekillerdir.
• Prizmalarda tabanlar daima birbirine eş çokgensel bölgelerdir.
• Prizmaların tabanları arasındaki en kısa mesafe prizmanın yüksekliğidir.
• Prizmalarda yan yüzlerin veya yan yüzlerle tabanların kesiştiği kısımlara prizmanın ayrıtı denir.
• Prizmaların yan yüz ayrıtları birbirine paralel ve eşit uzunluktadır.
• Prizmalarda ayrıtların kesim noktaları köşeleri oluşturur.
• Prizmaların köşe sayısı, tabanını oluşturan çokgenin köşe sayısının 2 katıdır.
• Bir prizmanın köşe sayısı en az 6&#;dır.
• Dik prizmaların yanal ayrıtlarının uzunluğu, prizmanın yüksekliğine eşittir.
• Dik prizmanın yanal yüzleri dikdörtgensel bölgelerdir.
• Prizmalar tabanlarını oluşturan çokgenin ismine göre isimlendirilir. Örneğin dik prizmalardan tabanı kare şeklinde olan prizmalar kare dik prizma, tabanı üçgen olan dik prizma üçgen dik prizma şeklinde İsimlendirilir.
• Dik prizmaların temel elemanları taban, yan yüz, ayrıt, köşe ve yüksekliktir.

Aşağıda bazı prizmalar, bu prizmaların açılımlarından biri ve prizmaya ait bazı bilgiler verilmiştir.

DİK DAİRESEL SİLİNDİR

Dairesel silindir, birbirine eş ve paralel iki daire olan tabanlar ile bir yanal yüzden oluşmaktadır. Bu silindirde tabanların merkezlerini birleştiren doğruya eksen seafoodplus.infoarın karşılıklı iki noktasını birleştiren ve eksene paralel olan doğrulara ise silindirin ana doğruları veya doğuranları denir.

Tabanlardan birinin bir noktasından, diğer tabanın düzlemine inilen dikme, silindirin yüksekliği, taban yarıçapı da silindirin yarıçapıdır. Dairesel silindirin ekseni tabanlara dik ise silindir dik dairesel silindir olarak adlandırılmaktadır. Dairesel silindirin temel elemanları taban, yan yüz, yükseklik ve ana doğrudur. Aşağıdaki şekilde bir dik dairesel silindir, ekseni ve ana doğruları verilmiştir.

Dik dairesel silindirde eksen ile ana doğrular aynı zamanda silindirin yüksekliğidir. Dairesel silindirin ekseni tabanlara dik değilse silindir eğik dairesel silindir olarak adlandırılmaktadır. Aşağıdaki şekilde bir eğik dairesel silindir, ekseni, yüksekliği ve ana doğruları verilmiştir.

Bilgi: Bir dikdörtgensel bölge bir kenarı etrafında ⁰ döndürüldüğünde dik dairesel silindir oluşur. Hangi kenarı etrafında döndürülüyorsa o kenar dik dairesel silindirin yüksekliği, diğer kenar da dik dairesel silindirin yarıçapıdır.

Verilen dikdörtgensel bölge kısa kenarı etrafında ° döndürüldüğünde yarıçapının uzunluğu 3 cm, yüksekliği 1 cm olan dik dairesel silindir oluşur.

Verilen dikdörtgensel bölge uzun kenarı etrafında ” döndürüldüğünde yarıçapının uzunluğu 1 cm, yüksekliği 3 cm olan dik dairesel silindir oluşur.

Dik dairesel silindirin açılımında yanal yüz bir dikdörtgensel (veya karesel) bölge ve tabanlar da birer dairedir.

Görüldüğü gibi yanal yüzün kenarlarından birinin uzunluğu silindirin taban çevresinin uzunluğuna, diğerinin uzunluğu silindirin yüksekliğine eşittir. Silindirin açılımında tabanlar birbirine eş dairelerdir.

DİK DAİRESEL SİLİNDİRİN YÜZEY ALANI

Bir gıda fabrikası, yeni çıkarttığı bir lokum çeşidini, dik dairesel silindir biçimindeki plastik kutularda satacaktır. Bu kutulardan bir tanesinin yarıçap uzunluğu 6 cm ve yüksekliği 24 cm olacağına göre, bu gıda fabrikasının bir plastik kutu için kaç cm² lik plastik kullanacağını π yi 3 alarak bulalım.

Bir kutu için kullanılacak plastik miktarını bulmak için, dik dairesel silindir biçimindeki bir kutunun yüzey alanını bulmalıyız. Önce bir kutunun ölçülerini belirterek açılımını çizelim. Açılımda tabanlar daire, yanal yüz ise dikdörtgensel bölgedir.

Bu plastik kutunun alanını bulmak için dikdörtgenin alanı ile iki dairenin alanlarını bulup toplamalıyız. Bir dairenin alanı π . r² olduğundan, iki eş dairenin alanları toplamı;

DİK DAİRESEL SİLİNDİRİN HACMİ

Aşağıda kareli kâğıtta yüksekliği 7 br olan dik silindirin taban dairesi verilmiştir. Bu silindirin hacmini tahmin edelim.

Silindirin tabanı 16 tam, 20 tam olmayan birim karelerden oluştuğundan 20 tam olmayan birim kareyi 10 tam birim kare olarak alabiliriz. Bu durumda tabanın alanı tahmini olarak,

16+ 10 = 26 br² olur.

Bu şekilde silindirin tabanına ayrıt uzunluğu 1 br olan birim küplerden bir sıra dizildiğinde oluşan hacim tahmini olarak 26 br³ olur.

Silindirin yüksekliği 7 br olduğundan, silindirin içine üst üste bir ayrıt uzunluğu 1 br olan 7 sıra birim küp yerleştirilebilir. Bu durumda silindirin tahmini hacmi, 26 . 7 = br³ olur.

Silindir şeklindeki bir kütüğün taban dairelerinden karşılıklı olarak 60⁰ lik kısımları işaretlenerek kütükten şekildeki gibi bir parça alınıyor.

DİK PİRAMİT

Piramitler tabanını oluşturan çokgene göre İsimlendirilir. Piramidin temel elemanları tepe noktası, tabanı, yan yüzleri, ayrıtları ve yüksekliğidir. Piramitte yükseklik tepenin taban düzlemine olan uzaklığıdır. Piramidin tepe noktasını taban merkezine (ağırlık merkezi) birleştiren doğru parçası tabana dik ise dik piramit, eğik ise eğik piramit olarak adlandırılır. Aşağıdaki şekilde bir kare dik piramit ve bir üçgen dik piramit üzerinde bazı kısımlar belirtilmiştir.

Dik Koni

Koni, tabanını oluşturan bir daire ve yan yüzünü oluşturan bir daire diliminden oluşur. Ekseni tabana dik olan koni dik koni veya dönel koni, eğik olan ise eğik koni olarak adlandırılır. Koninin temel elemanları, bir dairesel bölge olan &#;taban&#;, tabanın dışında bir &#;tepe noktası&#;, tepe noktasını taban merkezine birleştiren doğru parçası olan &#;eksen&#;, tepeden geçen ve tabanın kenarı olan çembere dayanan &#;ana doğru (doğuran)&#; ve bu doğrunun süpürdüğü &#;yanal yüzey&#;dir. Dik konide eksen aynı zamanda koninin yüksekliğidir.

Bu yazımızda sizlere LGS Matematik konusu olan aynı zamanda  8. sınıf konuları arasında yer alan Geometrik Cisimler hakkında bilgilendireceğiz. Aşağıda sizlere başlıklar halinde konularımızı anlattık. Üzerine tıklayarak ulaşabilirsiniz.

Prizmaların Temel Elemanları ve Açınımı

Düzlemler üzerindeki eş çokgenlerin karşılıklı köşeleri birleştirilerek elde edilen cisme prizma denir. Tabanlardaki karşılıklı köşeleri birleştiren ayrıtlar (yanal ayrıtlar) tabana dik ise bu prizmalara dik prizma, tabanlardaki karşılıklı köşeleri birleştiren ayrıtlar (yanal ayrıtlar) tabana dik değil ise bu prizmalara eğik prizma denir.

Prizmanın Temel Elemanları

-Dik prizmaların tabanları birbirine eş ve paraleldir.
-Dik prizmaların yanal yüzleri dikdörtgenlerden oluşur.
-Yüzeylerin kesiştikleri doğru parçaları prizmanın ayrıtlarıdır.
-Ayrıtların kesiştikleri noktalar prizmanın köşeleridir.
-Üst tabanın bir noktasından alt tabana indirilen dikmeye yükseklik denir ve “h” ile gösterilir.
-Dik prizmalarda yan ayrıtlar aynı zamanda yüksekliktir.

Üçgen Dik Prizma Açınımı

Üçgen dik prizmanın açınımında 2 adet eş üçgen ve 3 adet dikdörtgen bulunur. Yanal yüzleri oluşturan dikdörtgenlerin birer kenarının uzunluğu prizmanın yüksekliğine eşittir. Bu dikdörtgenlerin diğer kenarlarının her birinin uzunluğu ise üçgenin bir kenar uzunluğuna eşittir.

Kare Dik Prizma Açınımı

Kare dik prizmanın açınımında 2 adet eş kare ve 4 adet eş dikdörtgen bulunur. Yanal yüzleri oluşturan eş dikdörtgenlerin bir kenar uzunluğu prizmanın yüksekliğine, diğer kenar uzunluğu karenin kenar uzunluğuna eşittir.

Beşgen Dik Prizma Açınımı

Beşgen dik prizmanın açınımında adet eş beşgen ve  adet eş dikdörtgen bulunur. Yanal yüzleri oluşturan eş dikdörtgenlerin bir kenar uzunluğu prizmanın yüksekliğine, diğer kenar uzunluğu karenin kenar uzunluğuna eşittir. Bu dikdörtgenlerin diğer kenarlarının her birinin uzunluğu ise tabanın bir kenar uzunluğuna eşittir.

Altıgen Dik Prizma Açınımı

Altıgen dik prizmanın açınımında 2 adet eş altıgen ve 6 adet dikdörtgen bulunur. Tabanlardaki altıgenler düzgün altıgen ise yanal yüzleri oluşturan dikdörtgenler birbirine eş olur. Dikdörtgenlerin bir kenar uzunluğu prizmanın yüksekliğine eşittir. Bu dikdörtgenlerin diğer kenarlarının her birinin uzunluğu ise tabanın bir kenar uzunluğuna eşittir.

Piramidin Temel Elemanları ve Açınımı

Piramidin Temel Elemanları

Piramidin temel elemanları; taban, yanal yüz, ayrıt, tepe noktası ve yüksekliktir.

Dik piramitlerin tabanı piramide ismini veren çokgensel bölgedir.
Dik piramitlerin yanal yüzleri ikizkenar üçgenlerden oluşur.
Yüzeylerin kesiştikleri doğru parçaları piramidin ayrıtlarıdır.
Yanal ayrıtların kesiştikleri nokta tepe noktasıdır.
Ayrıtların kesiştikleri noktalar piramidin köşeleridir.
Tepe noktasından tabana indirilen dikmeye piramidin yüksekliği denir ve “h” ile gösterilir.
Dik piramitlerde piramidin yüksekliği taban merkezine iner.
Tepe noktasından tabana kenarlarına çizilen dikmelere yan yüz yüksekliği denir.
Bir dik piramitte farklı yüzlerdeki yan yüz yüksekliklerinin uzunlukları birbirinden farklı olabilir.

Dik Piramidin Açınımı

Dik piramidin açınımında; tabanı oluşturan çokgen, yanal yüzleri oluşturan ve tabanın kenar sayısı kadar ikizkenar üçgen yer alır.

Üçgen Dik Piramidin Açınımı

Üçgen dik piramidin açınımında taban üçgeni ve yanal yüzleri oluşturan 3 adet ikizkenar üçgen bulunur.

Kare Dik Piramidin Açınımı

Kare dik piramidin açınımında bir kare ve yanal yüzleri oluşturan 4 adet eş ikizkenar üçgen bulunur.

Koninin Temel Elemanları ve Açınımı

Tabanı daire ve yan yüzü daire dilimi olan geometrik cisme koni denir.

Resimde dondurma külahı ve  şapka koniye örnektir.

Koninin Temel Elemanları

Koninin tepe noktasını taban merkeziyle birleştiren doğru parçasına eksen denir.
Eksen aynı zamanda dik koninin yüksekliğidir.
Tepe noktası ile tabanını çevreleyen çember üzerindeki noktaları birleştiren doğru parçalarına ana doğru denir. Koninin ana doğrularının oluşturduğu yüzeye yanal yüzey denir.

Dik Koninin Açınımı

Dik dairesel koninin açınımında; tabanı oluşturan daire, yanal yüzleri oluşturan daire dilimi yer alır.

Dik bir konide cisim yüksekliği (h), taban yarıçapı (r) ve ana doğru (a) arasında aşağıdaki bağıntı vardır.
h² + r² = a²‘dir.

Dik konide ana doğru uzunluğu (a), daire diliminin merkez açısı (a) ve taban yarıçapı arasında aşağıdaki gibi bir eşitlik vardır.

Silindirin Temel Elemanları ve Açınımı

Tabanları birbirine eş ve paralel iki daireden oluşan geometrik cisme silindir denir. Silindiresalça kutuları konserve kutularını örnek olarak verebiliriz.

Silindirin Temel Elemanları

-Dairesel silindirde tabanların merkezini birleştiren doğru parçasına eksen denir.
-Tabanların herhangi bir noktasını birleştiren ve tabanlara dik olan doğru silindirin yüksekliğidir.
-Tabanların karşılıklı iki noktasını birleştiren ve silindirin eksenine paralel olan doğrulara silindirin ana doğruları denir.
-Silindirin ekseni tabanlara dik ise silindire dik dairesel silindir, dik değilse eğik dairesel silindir denir.

Dik Dairesel Silindir Açınımı

Silindirin açınımında; tabanları oluşturan 2 adet eş daire, yanal yüzeyi oluşturan 1 adet dikdörtgen yer alır.

Silindirin yanal yüzeyini oluşturan dikdörtgenin bir kenarının uzunluğu silindirin yüksekliği uzunluğunda, diğer bir kenarı ise silindirin tabanının çevresi uzunluğundadır.

Bir silindirin tabanı daire olduğundan taban çevresi 2πr, taban alanı πr2 ile bulunur. Silindirin temel elamanları tabanlar, yan yüz, eksen, ana doğrular ve yüksekliktir.

Dik Dairesel Silindirin Yüzey Alanı

Dik dairesel silindirin alanı hesaplanırken açınımından faydalanılır.

Dik Dairesel Silindirin Hacmi

Dik dairesel silindirin hacmini hesaplamak için dik dairesel silindirin taban alanını ve yüksekliğini  kullanarak buluruz.

LGS Matematik için Tıklayınız