Iki Katlı Integral Hacim Hesabı

iki katlı integral hacim hesabı

c ≤ y ≤ d, h1 (y) ≤ x ≤ h2 (y), u1 (x, y) ≤ z ≤ u2 (x, y)}
Örnek : E bölgesi x = 0, y = 0, z = 0 ve x + y + z = 1 olarak
olur ve Denklem 16 verilen dört
Z Z Z düzlem tarafından sınırlanan düzgün dörtyüzlü olmak
üzere , z dV integralini hesaplayınız.
ZZZ Zd hZ2 (y) u2Z(x,y)
E
f (x, y, z) dV = f (x, y, z) dz dx dy (18)
E c h1 (y) u1 (x,y)

biçimini alır.

Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 95/ 132 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 96/ 132
Örnek... Örnek...
Çözüm : Üç katlı bir integrali oluştururken biri E cismi (Şekil
18), diğeri E nin xy-düzlemi üzerine D izdüşümü (Şekil 19) olan
iki şekil çizmek yararlıdır.

Düzgün dörtyüzlünün alt sınırı z = 0 düzlemi, üst sınırı

x + y + z = 1 (ya da z = 1 − x − y) düzlemi olduğundan, Formül
17 de u1 (x, y) = 0 ve u2 (x, y) = 1 − x − y alırız. x + y + z = 1 ve
Şekil 19: z = 0 düzlemlerinin xy-düzlemindeki x + y = 1 (ya da y = 1 − x)
Şekil 18: doğrusunda kesiştiklerine dikkat ediniz.

Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 97/ 132 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 98/ 132

Örnek... Örnek...

E nin 1. tipte bir bölge olarak gösterimi, integrali

ZZZ 1−x 1−x−y

Z1 Z Z
zdV = z dz dy dx
E 0 0 0

olarak hesaplamamızı olanaklı kılar.

Dolayısıyla E nin izdüşümü üçgensel bir bölge olur ve

E = {(x, y, z) α ≤ θ ≤ β, h1 (θ) ≤ r ≤ h2 (θ)} f (x, y, z) dV = f (r cos θ, r sin θ, z)r dz dr dθ
E α h1 (θ) u1 (r cos θ,r sin θ)
olarak verilmek üzere,
(24)
E = {(x, y, z) α 6 θ 6 β, c 6 φ 6 d, g1 (θ, φ) 6 ρ 6 g2 (θ, φ)} birim küresi olmak üzere dV integralinin değerini
B
gibi daha genel küresel bölgeleri de kapsayacak şekilde bulunuz.
genişletebiliriz. Bu durumda formül, ρ nun sınırlarının g1 (θ, φ) ve
g2 (θ, φ)olması dışında (25) ile aynıdır. Çözüm : B nin sınırı bir küre olduğu için, küresel koordinatları
kullanırız:
Küresel koordinatlar genellikle üzerinde integral alınan cismin
B = {(ρ, θ, φ) 0 6 y 6 4, y 6 x 6 y} √
2 ZZ Z4 Z y
V = (x2 + y 2 )dA = (x2 + y 2 ) dxdy
D 0 1
y
2
Z4 Z4 ! 3/2 #
x3 2
ix=√y y 5/2 y3 y3
= +y x dy = +y − − dy
3 x= 12 y 3 24 2
0 0
4
2 5/2 2 7/2 13 4 216
= y + y − y = olur.
15 7 96 0 35
Şekil 5:
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 45/ 132 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 46/ 132
Örnek... Örnek
Şekil 6 hacmi hesaplanan katı cismi göstermektedir. Cisim, Örnek : D, y = x − 1 ve y 2 = 2x + 6 ile sınırlı bölge olmak üzere
xy-düzleminin üstünde z = x2 + y 2 paraboloidinin altında ve
RR
D xydA integralini hesaplayınız.
y = 2x düzlemi ile y = x2 parabolik silindiri arasındadır.
Çözüm : D bölgesi Şekilde gösterilmiştir.
Şekil 6:
Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 47/ 132 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 48/ 132
Örnek... Örnek...
D yine hem I. hem de II. tipdir, ancak D nin I. tip olarak
betimlenmesi daha karmaşıktır çünkü sınırın alt kenarı iki parçadan
oluşmuştur.

Bu nedenle D yi II. tip bir bölge olarak ifade etmeyi yeğleriz:

1 2
D = {(x, y)

nest...

273484 273485 273486 273487 273488