Iki Vektör Birbirine Paralel Ise
3 + 4 = A B \sin{\theta} \hspace3em \tag {} $$
ile verilir. Burada $\theta$ iki vektör arasındaki açıdır ($\leqslant ^o$).İki vektör birbirine paralel ise sonuç 0 olacaktır.
Peki sonuç vektörünün yönünü nasıl bulacağız? Kros çarpımın bir özelliği, sonuç vektörünün çarpım işlemine giren her iki vektöre de dik olduğudur. Şekil 'de gösterilen $\vec{A}$ ve $\vec{B}$ vektörlerini ele alalım ve $\vec{A} \times \vec{B}$ 'nin yönüne bakalım. İki vektörde gri ile gösterilen yatay düzlem (örneğin bir masanın üst yüzeyi) üzerindedir. (Not: Herhangi iki vektörü içerisinde barındıran bir düzlem bulunabilir. ) Kros çarpım bu düzleme dik olacaktır. Yani sonuç vektörü ya yukarı yada aşağı yönde olacaktır. Sağ el kuralı ile hangi yönde olacağına karar verebiliriz. Bunun için yapmamız gerekenler
1- 4 parmağımız ilk vektörün yönünü gösterecek şekilde elimizi düz olarak birinci vektörün üzerine koyuyoruz.
2- Elimiz hala düz iken, avucumuzun içi ile iki vektör arasındaki küçük açıyı tarayacağız.
3- Dört parmağımıza dik tuttuğumuz baş parmağımız sonuç vektörünün yönünü verir.
Yani sonuç vektörümüz yukarı doğru olacakmış. Büyük olasılıkla şu ana kadar bir kaçını zaten farketmişsinizdir ancak biz yine de burada kros çarpımın bir kaç özelliğini sıralayalım;
Değişme Özelliği Yoktur
$ {\vec{A} \times \vec{B}} = - \vec{B} \times \vec{A} \hspace1em $
Dağılma Özelliği
$\vec{A} \times( {\vec{B} + \vec{C}} ) = \vec{A} \times \vec{B} + \vec{A} \times \vec{C} \hspace1em$
Bir vektörün kendisi ile kros çarpımı
$\vec{A} \times \vec{A} = 0$
Kros Çarpımın Türevi
${d \over {dt}} \left(\vec{A} \times \vec{B}\right) = {d\vec{A} \over {dt}} \times \vec{B} + \vec{A} \times {d\vec{B} \over {dt}} $
Aslında burada \kros çarpım da çarpma işlemi olduğundaun kalkülüs (Matematik 1) dersinden bildiğimiz çarpımın türevini yapıyoruz (Birincinin türevi çarpı ikinci artı ikincinin türevi çarpı birinci dediğinizi duyar gibiyiz ). Ancak burada yön önemli olduğu için sıralamayı değiştirmiyoruz.
Peki iki vektör bize birim vektörler cinsinden verilir ise kros çarpımın sonucunu nasıl bulabiliriz?
$$ \vec{A} = A_x \hat{\imath} + A_y \hat{\jmath} + A_z \hat{k} \\ \vec{B} = B_x \hat{\imath} + B_y \hat{\jmath} + B_z \hat{k} $$
$ \vec{A} \times \vec{B}= ?$ Yapmamız gereken tıpkı skaler çarpımda olduğu gibi dağılma özelliğini kullanmak. Bunun için tabi birim vektörlerin bir biri ile kros çarpımının ne olduğuna biliyor olmamız lazım. Bir vektörün kendisi ile vektörel çarpımı sıfır ise, birim vektörlerin kendileri ile vektörel çarpımı da sıfır olacaktır.
$$\hat{\imath}\times\hat{\imath}=\hat{\jmath}\times\hat{\jmath}=\hat{k}\times\hat{k} = 0 $$
Peki bir birim vektörün başka bir birim vektör ile kros çarpımı neye eşit olacak? $\hat{\imath}$, $\hat{\jmath}$ ve $\hat{k}$ birbilerine dik büyüklüğü 1 olan üç vektördür. Denk. 09'a göre bu vektörlerini birbirleri ile çarpımlarının büyüklüğü de $=\sin{(\pi/2)}$ 'dan 1 olacaktır. Yani sonuçta bir birim vektör olacaktır. Peki yönü yada hangi birim vektör olacağını nasıl bulacağız? Burada Sağ El Kuralını kullanalım.
$$ \hat{\imath} \times \hat{\jmath} = - \hat{\jmath} \times \hat{\imath} = \hat{k} \\ \hat{\jmath} \times \hat{k} = - \hat{k} \times \hat{\jmath} = \hat{\imath} \\ \hat{k} \times \hat{\imath} = - \hat{\imath} \times \hat{k} = \hat{\jmath} $$
Bu durumda birim vektörler cinsinden verilen A ve B vektörlerinin vektörel çarpımı dağılma özelliğini doğrudan uygulayarak ya da determinant yöntemi ile hesaplanabilir.
$$ \begin{align} \vec{A} \times \vec{B} & = {\left
nest...