Indirgeme Trigonometri

\( ° \) II. bölgededir ve sinüs bu bölgede pozitiftir.

\( \sin{°} = \sin(° - 70°) \)

\( = \sin{70°} \)

Tümler açıların sinüs ve kosinüs değerleri birbirine eşittir.

\( = \cos{20°} \)

\( = x \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( ° \)'nin esas ölçüsü \( + = ° \) olur.

\( \sin(°) = \sin{°} \)

\( ° \) III. bölgededir ve sinüs bu bölgede negatiftir.

\( = \sin( + 20°) = -\sin{20°} \)

Tümler açıların sinüs ve kosinüs değerleri birbirine eşittir.

\( = -\cos{70°} \)

\( = -x \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( ° \) II. bölgededir ve kosinüs bu bölgede negatiftir.

\( x = \cos{°} = \cos(° - 25°) \)

\( = -\cos{25°} \)

Buna göre \( \cos{25°} = -x \) olur.

\( ° \) III. bölgededir ve kosinüs bu bölgede negatiftir.

\( \cos{°} = \cos(° + 25°) \)

\( = -\cos{25°} = -(-x) = x \)

\( ° \)'nin esas ölçüsü \( - = ° \) olur.

\( \sin{°} = \sin{°} \)

\( ° \) IV. bölgededir ve sinüs bu bölgede negatiftir.

\( \sin{°} = \sin(° + 25°) \)

\( = -\cos{25°} = -(-x) = x \)

Soruda istenen ifadeyi \( x \) cinsinden yazalım.

\( \cos{°} + \sin{°} = x + x \)

\( = 2x \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( \tan(3x + 4y) = \tan(3(x + y) + y) \)

\( = \tan(\frac{3\pi}{2} + y) \)

Tanjant IV. bölgede negatiftir.

\( = -\cot{y} \)

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Üçgenin iç açıları toplamı °'dir.

\( a + b + c = ° \)

\( a + c = ° - b \)

Ölçüleri eşit açıların kosinüsleri de eşittir.

\( \cos(a + c) = \cos(° - b) \)

Kosinüs II. bölgede negatiftir.

\( \cos(a + c) = -\cos{b} \)

Sorudaki ifadenin değerini bulalım.

\( \cos(a + c) + \cos{b} = -\cos{b} + \cos{b} = 0 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( \cot(x - \frac{\pi}{2}) = \cot(x - \frac{\pi}{2} + 2\pi) \)

\( = \cot(\frac{3\pi}{2} + x) \)

\( \dfrac{\cos(\frac{3\pi}{2} + x)}{\cot(\frac{3\pi}{2} + x)} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \)

Kosinüs IV. bölgede pozitif, kotanjant IV. bölgede negatiftir.

\( \dfrac{\sin{x}}{-\tan{x}} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \)

\( \dfrac{\sin{x}}{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)

\( \cos{x} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)

Kosinüs I. ve IV. bölgelerde pozitiftir.

\( x \in \{\frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}\} \)

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Sinüs ve kosinüs ifadelerinin içine \( y \) ekleyip çıkararak parantez içinde \( 2x - 3y \) elde etmeye çalışalım.

\( \dfrac{\sin(2x - 4y + y - y)}{\cos(4x - 5y + y - y)} \)

\( = \dfrac{\sin(2x - 3y - y)}{\cos(4x - 6y + y)} \)

\( = \dfrac{\sin(2x - 3y - y)}{\cos[2(2x - 3y) + y]} \)

\( 2x - 3y = \pi \) yazalım.

\( = \dfrac{\sin(\pi - y)}{\cos(2\pi + y)} \)

Sinüs II. bölgede pozitiftir.

\( = \dfrac{\sin{y}}{\cos{y}} = \tan{y} \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Trigonometrik ifadelerin içindeki değerlerin esas ölçülerini yazalım.

\( \dfrac{\sin(\pi + x)}{\cos(\frac{3\pi}{2} + x)} + \dfrac{\tan(2\pi - x)}{\cot(x + \frac{\pi}{2})} \)

Bölgeler arası dönüşüm formüllerini kullanalım.

\( = \dfrac{-\sin{x}}{\sin{x}} + \dfrac{-\tan{x}}{-\tan{x}} \)

\( = -1 + 1 = 0 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Tanjant III. bölgede pozitiftir.

\( \tan(\frac{3 \pi}{2} - x) = \cot{x} = \dfrac{3}{4} \)

\( x \) açısının kotanjantı \( \frac{3}{4} \) ise komşu kenara \( 3k \), karşı kenara \( 4k \) diyebiliriz, bu durumda hipotenüs Pisagor teoreminden \( 5k \) olur.

\( \sin{x} = \dfrac{4}{5} \)

\( \cos{x} = \dfrac{3}{5} \)

Sorulan ifadenin değerini bulalım.

\( \csc(\frac{\pi}{2} + x) \cdot \cot(\pi - x) \)

Kotanjant II. bölgede negatiftir.

\( = \dfrac{1}{\sin(\frac{\pi}{2} + x)} \cdot (-\cot{x}) \)

Sinüs II. bölgede pozitiftir.

\( = \dfrac{1}{\cos{x}} \cdot (-\cot{x}) \)

\( = \dfrac{1}{\frac{3}{5}} \cdot (-\dfrac{3}{4}) = -\dfrac{5}{4} \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Üçgenin iç açıları toplamı °'dir.

\( a + b + c = ° \)

\( \dfrac{a}{2} + \dfrac{b}{2} + \dfrac{c}{2} = 90° \)

\( \dfrac{b + c}{2} = 90° - \dfrac{a}{2} \)

Sorudaki ifadedeki terimleri sadeleştirelim.

Sinüs II. bölgede pozitiftir.

\( \sin(90° + \frac{a}{2}) = \cos{\frac{a}{2}} \)

Tümler açıların sinüs ve kosinüs değerleri birbirine eşittir.

\( \cos(\frac{b + c}{2}) = \cos(90° - \frac{a}{2}) = \sin{\frac{a}{2}} \)

Bulduğumuz değerleri soruda verilen ifadede yerine koyalım.

\( \sin^2(90° + \frac{a}{2}) + \cos^2(\frac{b + c}{2}) \)

\( = \cos^2{\frac{a}{2}} + \sin^2{\frac{a}{2}} \)

Sinüs ve kosinüs kare toplamı özdeşliğinden sonuç 1 olur.

\( = 1 \)

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( \sqrt{5} + 2\sec{x} = 0 \)

\( \sec{x} = -\dfrac{\sqrt{5}}{2} \)

\( \cos{x} = \dfrac{1}{\sec{x}} = -\dfrac{2}{\sqrt{5}} \)

\( x \) açısının sinüs değerini bulalım.

\( \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 \)

\( \sin^2{x} + (-\dfrac{2}{\sqrt{5}})^2 = 1 \)

\( \sin^2{x} = \dfrac{1}{5} \)

\( x \) açısı II. bölgede bulunduğu için sinüs değeri pozitiftir.

\( \sin{x} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \)

\( x \) açısının kotanjant değerini bulalım.

\( \cot{x} = \dfrac{\cos{x}}{\sin{x}} \)

\( = \dfrac{-\frac{2}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{\sqrt{5}}} = -2 \)

Sorudaki ifadenin değerini bulalım.

\( \dfrac{\sin{x} - \cos{x}}{\cot{x}} \) \( = \dfrac{\frac{1}{\sqrt{5}} - (-\frac{2}{\sqrt{5}})}{-2} \)

\( = \dfrac{\frac{3}{\sqrt{5}}}{-2} = -\dfrac{3}{2\sqrt{5}} \)

Paydayı rasyonel hale getirelim.

\( = -\dfrac{3\sqrt{5}}{10} \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Sinüs III. bölgede negatiftir.

\( \cos{\alpha} - \sin{\alpha} = -2\sqrt{3}\cos{\alpha} \)

Tüm terimleri \( \cos{\alpha} \)'ya bölelim.

\( 1 - \dfrac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} = -2\sqrt{3} \)

\( 1 - \tan{\alpha} = -2\sqrt{3} \)

\( \tan{\alpha} = 1 + 2\sqrt{3} \) olarak bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( 1 - \sqrt{5}\cos{\alpha} = 0 \)

\( \cos{\alpha} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \)

Kosinüs I. ve IV. bölgelerde pozitiftir. \( \pi \lt \alpha \lt 2\pi \) olduğuna göre \( \alpha \) açısı IV. bölgededir.

İstenen trigonometrik değerleri bulmak için bir dik üçgen çizelim.

\( \alpha \) açısının komşu kenarına \( k \), hipotenüse \( \sqrt{5}k \) dersek Pisagor teoremi ile karşı kenar \( 2k \) olarak bulunur.

Sinüs, kosekant, tanjant ve kotanjant IV. bölgede negatiftir.

\( \csc{\alpha} = -\dfrac{\sqrt{5}}{2} \)

\( \tan{\alpha} = -2 \)

\( \cot{\alpha} = -\dfrac{1}{2} \)

Bu değerleri ifadede yerine koyalım.

\( (\sqrt{5}\csc{\alpha})^{-\tan{\alpha}} - \cot{\alpha} \)

\( = (\sqrt{5} \cdot (-\dfrac{\sqrt{5}}{2}))^{-(-2)} - (-\dfrac{1}{2}) \)

\( = \dfrac{25}{4} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{27}{4} \) olarak bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

İfadede tek bir trigonometrik fonksiyon bırakmak için \( 5\sin^2{x} \) yerine \( 3\sin^2{x} + 2\sin^2{x} \) yazalım.

\( 3\sin^2{x} + 2\sin^2{x} + 2\cos^2{x} = \dfrac{11}{3} \)

\( 3\sin^2{x} + 2(\sin^2{x} + \cos^2{x}) = \dfrac{11}{3} \)

\( 3\sin^2{x} + 2 = \dfrac{11}{3} \)

\( 3\sin^2{x} = \dfrac{5}{3} \)

\( \sin^2{x} = \dfrac{5}{9} \)

\( \sin{x} \in \{-\frac{\sqrt{5}}{3}, \frac{\sqrt{5}}{3}\} \)

\( x \) dar açı olduğu için sinüs değeri pozitiftir.

\( \sin{x} = \dfrac{\sqrt{5}}{3} \)

\( x \) açısının tanjant ve kotanjant değerlerini bulmak için bir dik üçgen çizelim.

\( x \) açısının komşu kenarı Pisagor teoremi ile \( 2k \) olarak bulunur.

\( (\sqrt{5}k)^2 + (2k)^2 = (3k)^2 \)

\( \tan{x} = \dfrac{\sqrt{5}}{2} \)

\( \cot{x} = \dfrac{2}{\sqrt{5}} \)

Bulduğumuz değerleri istenen ifadede yerlerine koyalım.

\( \cot{x} + \tan{x} = \dfrac{2}{\sqrt{5}} + \dfrac{\sqrt{5}}{2} \)

\( = \dfrac{4 + 5}{2\sqrt{5}} = \dfrac{9}{2\sqrt{5}} \)

\( = \dfrac{9\sqrt{5}}{10} \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( \abs{EB} = a \) diyelim

\( \abs{AE} = 3\abs{EB} = 3a \) olur.

\( \abs{AD} = \abs{AB} = a + 3a = 4a \)

Pisagor teoremi ile \( \abs{DE} \) uzunluğunu bulalım.

\( \abs{DE} = \sqrt{(4a)^2 + (3a)^2} \)

\( = 5a \)

\( m(\widehat{AED}) = y \)

II. bölgede sinüs pozitif olduğu için bütünler açılar olan \( x \) ve \( y \)'nin sinüs değerleri eşittir.

\( \sin{x} = \sin(° - y) = \sin{y} \)

\( = \dfrac{4a}{5a} = \dfrac{4}{5} \)

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( C \) noktasından \( [BD] \) köşegenine bir dik indirelim. Bir karede köşegenler birbirini dik kestiği için bu dik doğrunun uzantısı aynı zamanda karenin \( [AC] \) köşegenidir.

Bir karede köşegenler birbirini ortalar.

\( \abs{DF} = \dfrac{20 + 4}{2} = 12 \)

\( \abs{FE} = 20 - 12 = 8 \)

\( m(\widehat{BDC}) = 45° \) olduğu için oluşan dik üçgen ikizkenar üçgendir.

\( \abs{FC} = 12 \)

\( m(\widehat{FEC}) = a \) diyelim.

\( a = ° - x \)

Kotanjant dönüşüm formülünü kullanalım.

\( \cot{x} = \cot(° - a) = -\cot{a} \)

\( = -\dfrac{8}{12} = -\dfrac{2}{3} \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

tancotcos ? II. bölgede III. bölgede tanjant ( ) kota tan cot cos ? tan( 50) cot( : 40 Çözüm IV. bölgede njant ( ) kosinüs ( ) tan50 1 2 ) cos( 60) tan50 cot40 cos60 1 1 tan50 tan50 buluruz. 2 2 16
x y olmak üzere, 6 1 sin 3x 2y 3 olduğuna göre, cos y değeri kaçtır? 1 3 1 1 A) B) C) D) E) 2 3 3 2 3 1 6 seafoodplus.info y 2 x y ise her tarafı 3 ile çarpalım. 6 3x 3y olur. 2 Buna göre; 1 sin(3x 2y) : 3 Çözüm 1 sin y 2 3 1 cos y buluruz. 3 3
x y olmak üzere, 2 seafoodplus.info y siny toplamı kaçtır? A) 2 B) 1 C) 0 D) 1 E) 2 seafoodplus.info x y x y dir. 2 2 cotx cos y siny cosx cos y siny sinx cos y 2 cos y siny sin y 2 :    Çözüm siny cos y cos y siny siny siny 0 buluruz. 5
2sin1 50 ? cos II.bölge ( ) III.bölge (-) : seafoodplus.info( 30) cos( 60) 1 1 2 1 seafoodplus.info n30 cos60 2. 2 2 2 Çözüm 1 bulunur. 2 22
3 sin tan 2 10 ? 2.bölge 3.bölge sin (+) tan (+) (3) (2) : 3sin( 30) tan( 30) 1 3 9 3sin30 tan30 3. 2 3 Çözüm 2 3 bulunur. 6 25
seafoodplus.info tan cos ifadesinin değerini bulunuz. tan cot tan cos tan 60 cos tan cot tan 45 cot tan 60 cos tan 45 cot : 2 Çözüm 3.bölgede kosinüs 3.bölgede kotanjant 2 25 3 cos 30 1 cot 45 3 cos30 1 cot45 3 3 3 2 3 3 3 3 1 2 2 2 2 3 tür. 1 1 2 2 2 4 45
2 7 cos sin 3 6 5 5 tan cot 3 4 işleminin sonucu kaçtır? 3 1 1 3 1 A) B) C) 2 2 2 3 3 D) E) 3 2 seafoodplus.info 2.bölgede 3. bölgede kosinüs sin 60 30 2 7 cos sin 3 6 cos sin 5 5 tan cot 3 4 : Çözüm üs 60 45 4.bölgede 3.bölgede tanjant kotanjant 3 tan cot cos60 sin30 tan60 cot45 1 1 2 2 3 1 1 1 3 1 3 1 13 1 buluruz. 2 47
2 2 23 tan 32 tan 2 21 11 sin cos 2 2 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) sec .cos B) cosec .sec C) sec .cosec D) tan E) sin .cosec seafoodplus.info tan 32 tan tan dır. 23 3 tan tan 10 2 2 : Çözüm tanjant 3.bölgede pozitiftir. 4.bölgede negatiftir. 3 tan 2 3 tan cot dır. 2 21 sin sin 10 2 2 sin 2 4.bölgede pozitiftir. 2 2 cos 11 3 cos cos 4 2 2 3 cos sin 2 Buna göre; 23 tan 32 tan 2 tan cot 21 11 cos sin cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin sin cos sin cos tan cot cos sin sin cos cos sin cos sin cos sin 1 sec .cosec buluruz. sin cos Cevap: C seafoodplus.info 70
seafoodplus.info 8 tan ? 3 8 2 2 tan tan 2 tan 3 3 3 : t Çözüm 2.bölgede tan negatif an 3 tan 3 3 bulunur. 72
seafoodplus.info 2 2 sec x cosec( x) 2 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) cosec x B) sec x C)  2 sec x D) cosec2x E) sec2x II. bölgede kosinüs ( ) 1 1 sec x cosec( x) 2 sin( x) cos x 2 cos x 2 :   Çözüm II. bölgede sinüs (+) 2 2 sinx ve sin( x) sinx dir. Buna göre; 1 1 1 1 sin( x) sinx sinx cos x 2 1 cosec x tir. sin x  
seafoodplus.info 2 2 sin ( x) 3 1 sin x 2 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) cosx B) tanx C) 1 D) 0 E)1 II. bölgede sinüs ( ) IV. bölgede sinüs ( ) sin( x) sinx tir. 3 sin x cosx t . : ir 2 Çözüm 2 2 2 2 2 2 2 2 Buna göre; sin ( x) sin x 3 1 ( cosx) 1 sin x 2 sin x sin x 1 buluruz. 1 cos x sin x
6 f(x) sin x k 2 1 1 f 3 5 5 olduğuna göre, f değeri kaçtır? 3 6 6 6 sin x k 2 1 1 f ise; 3 5 1 1 1 sin k sin k tir. 2 3 : 5 6 5 Not : s  Çözüm 6 6 6 6 6 in( ) sin dır. 5 5 5 f sin k sin k 3 6 6 sin k sin k 6 6 1 sin k buluruz. 6 5 seafoodplus.info
seafoodplus.info tan20 m olmak üzere, tan cot tan cot ifadesinin m cinsinden eşiti aşağıd 2 2 3 2 3 2 3 akilerden hangisidir? m 1 m 2m A) B) C) 1 m m 1 m m m D) E) 1 m 1 2m 2.bölgede tanjant dir. 2.bölgede kotanjant tan tan 20 tan20 dir. cot cot 90 20 : Çözüm dir. 3.bölgede tanjant dır. 4.bölgede kotanjant dir. tan20 dir. tan tan 20 tan20 dir. cot cot 20 cot20 dir. Buna göre; tan cot tan20 tan20 tan cot tan20 cot 2 2 2 2 2 20 1 Not : tan20 m ise cot20 dir. m Buna göre; m m 2m 2m 2m dir. 1 m m 1 m 1 1 m m m seafoodplus.info
sin ? 1 1 3 A) B) 3 C) D) 3 E) 2 2 3 3. bölgede sinüs dir. Sin( ) Sin( ) Sin() Sin( ) Sin : Sin( 30) Çözüm 1 Sin30 2 2