Karekök Nerelerde Kullanılır

Sayılarla uğraşmak zorlu ve sabır gerektiren bir süreçtir. Bu konuyla ilgili en güzel deneyimim sayı doğrusu üzerinde sayıları bulmaya çalışmak olmuştur. Bu noktada, matematikte kendi kendime yeni bir keşif yaptığımı söyleyebilirim. O da “birim” meselesiyle ilgilidir. Matematiği diğer bilimlerden ayıran ve matematiğin kafamızın içinde delice dolaşmasını sağlayan şey, herhangi bir “birim” ile çalışma zorunluluğu olmamasıdır. Örneğin sayı doğrusu üzerine sayıları yerleştirirken herhangi bir tebeşir, kalem, metre ya da başka bir birim kullanabilirsiniz.

Şimdi elinize herhangi bir cisim, örneğin bir kalem alın. Bu kalemin boyunu bir birim olarak kabul edin ve kalemi bir doğrunun üzerine yerleştirin. Kalemin sol tarafına 0, sağ tarafına 1 yazdığınızda sayı doğrusuna tam sayıları yerleştirmeye başladınız demektir. Bundan sonrası diğer sayıları benzer şekilde sayı doğrusuna yerleştirmek olacaktır. Burada biriminizin kalem boyu olduğunu unutmayın!

Pisagor, ünlü dik üçgen bağıntısında dik kenarların karelerinin toplamının hipotenüsün (en uzun kenarın) karesine eşit olduğunu söylemiştir. Kendisi ile ilgili anlatılan hikâyeye göre,  sayısını asla bulamamış olduğu için (o zamanlar irrasyonel sayılar yok tabii) Pisagor bu sayıyı yok saymıştır.  irrasyonel bir sayıdır ve devretmeyen ondalık açılıma sahiptir. Yerini bulmak da kolay değildir! Öğrenciler gözlemlediğim kadarıyla sonuçların hep tam sayı olmasını ister. Hatta sonuç rasyonel bir sayı çıktığında sorunun doğru olup olmadığını sorgularlar. Ben buna Pisagor etkisi diyorum. Negatif sayılar, rasyonel ve irrasyonel sayılar tam sayılara göre daha az seviliyor sanki!

, sayı doğrusunda nerede yer alır? Bu soru sorulduğunda gelen ilk cevap 1 ile 2 arasında olduğudur. Doğru! Ancak şunu gözden kaçırmayın: o aralıkta sayı doğrusundaki sayılar kadar nokta vardır. Yani çoktur!

Sorumuz şöyle: sayısının tam olarak nerede olduğunu basitçe nasıl bulabiliriz? Ya da bulabilir miyiz?

Yukarıdaki şekli elde etmek için, az önce yaptığınız gibi, bir kalemle tam sayıları sayı doğrusuna yerleştirin. Kaleminizi 1 sayısını yerleştirdiğiniz noktaya dik olarak koyup 0 ile 1’i birleştirdiğinizde bir dik üçgen elde edersiniz. Bu üçgende hipotenüsün uzunluğu olacaktır. Şimdi pergelinizle merkezi 0 olan ve yarıçapı hipotenüs uzunluğunda olan bir çember çizin. Çemberin doğruyu kestiği noktalar  ve  - olacaktır! A noktasından 1 birim daha dik çıkıp yeni bir dik üçgen çizerseniz bu kez karşınıza  çıkacaktır. Artık gerisi size kalmış.

Not: Başlıktaki  sayısını denemeyi unutmayın! İyi eğlenceler.

Click here to toggle editing of individual sections of the page (if possible). Watch headings for an "edit" link when available.

Tüm sayfa kaynağını düzenlemeden içerik ekleyin.

Sayfanın geçmişini görmek için tıklayın.

If you want to discuss contents of this page - this is the easiest way to do it.

Bu sayfaya eklenmiş dosyaları izleyin ve yönetin.

Muhtelif araçlar.

Bu sayfaya bağlantı veren ve bu sayfayı içeren diğer sayfalara göz atın.

Sayfanın adını (ve Internet adresini) değiştirmek için tıklayın.

Düzenleme yapmaksızın sayfa içeriğine bak.

View/set parent page (used for creating breadcrumbs and structured layout).

Notify administrators if there is objectionable content in this page.

Beklendiği gibi çalışmayan birşey mi var? Ne yapabileceğini öğren.

Genel seafoodplus.info dokümantasyon ve yardım bölümü.

seafoodplus.info Hizmet Koşulları - haklar, yasaklar, vs.

seafoodplus.info Mahremiyet İlkesi.

Bu yazıyı ilk olarak 'de yazmıştım. Yazı sürekli okunduğu ve benim sürekli bu yazıya referans vermem gerektiğinden bir elden geçireyim istedim.

Bir yığın veriye bakıp karar vermek için gereken en temel bilgilerden birisi ortalama dır. Bir çok veri analiz yöntemi, makine öğrenme algoritmaları içerisinde ortalama hesabı barındırır. Günlük hayatta en çok ortanca ve aritmetik ortalama kullanılsa da iş veriyi anlamak olunca bir kaç farklı tür daha bulunmaktadır. Bu yazıda sık kullanılan ortalama türlerini nerede nasıl kullanmak gerektiğinden ve C# karşılıklarından bahsedeceğim.

Ortanca

Ortanca (Medyan,Median) bir dizinin tam ortasında bulunan elemana denilmektedir. Dizi çift sayıda eleman barındırıyorsa ortancanın seçimi analiz yapan kişinin tercihine kalmaktadır. Analizi yapan kişi dizide çift sayıda eleman olması durumunda şu yöntemleri tercih edebilir:

• Ortadaki iki eleman birden kabul edilmesi
• Küçük olanın tercih edilmesi
• Büyük olanın tercih edilmesi
• Ortadaki iki elemanın aritmetik ortalamasının kabul edilmesi

Ortanca aslında yazının konusuna pek uymaz, kendisi tam olarak bir ortalama değildir. Fakat fikir vermesi açısından ve özellikle sıralı dizilerde hesaplaması kolay olduğundan demetleme ve sınıflama algoritmalarında uzaklık hesabında kullanılmaktadır.

Ortanca kartillerin (IQR) hesaplanmasında da kullanılmaktadır. Kendisinden veri kalitesini anlattığım yazımda bahsetmiştim.

Ortanca için C# da hazır bir metot bulunmamaktadır. En temel medyan bulma yönteminde dizi önce sıralanır ve eleman sayısına göre ortadaki indisteki eleman(lar) alınır. Örnekleyelim:

Bu algoritma sıralama algoritmasına bağımlı olarak O(n * log n) karmaşıklığında olacaktır. Biraz araştırırsanız O(n) seviyesinde medyan bulan algoritmalar bulabilirsiniz. Bu yazıda hesaplaması ve anlaması kolay olduğu için ben bu yöntemi tercih ettim.

Aritmetik Ortalama

En çok bilinen ve anlaması en kolay ortalama türüdür. Tüm sayıları toplayıp eleman sayısına bölmemiz sonucunda bulunur. Average veya mean olarak karşımıza çıkabilir. İstatistiksel gösterimi eğer örnek ortalamasından söz ediyorsak vektörün üzerindeki düz çizgi; popülasyon ortlamasından söz ediyorsak μ (mu) şeklinde olmaktadır. İkisininde bulunma şekli aynı olduğundan tek formül yeterli olacaktır.

Duruma göre elemanlara ağırlık verilerek ağırlıklı aritmetik ortalama bulunabilir. Ağırlıklı ortalamada ilgili eleman, ağırlığı kadar fazla geçiyormuş gibi hesaplanır. Bu yöntemi kredili derslerin ortalamasının alınmasından hatırlayacaksınızdır.

C# da Linq kütüphanesi ile methodu aritmetik ortalamayı bulmak için kullanılır. Bunun için kod örneğine gerek yok sanırım 🙂 .

Ağırlıklı ortalamada ise ağırlıklı çarpımların toplamını ağırlıklar toplamına bölmek yeterlidir. Bunu örnekleyelim:

Bu örnek de O(2n) karmaşıklığında sonuç elde edilmiştir. Hesaplama şu şekilde yapılırsa daha iyi olacaktır:

Linq'deki Average veya son örnekte olduğu gibi genel toplamın eleman sayısına bölümüyle çalışan algortimalar küçük sayılar ile başarılı şekilde çalışmaktadırlar. Fakat eleman sayısının çoğalması veya büyük sayılar olması durumunda taşma hatası oluşacaktır. Şu örneği inceleyin:

Bu örneği çalıştırdığınızda aritmetik taşma hatası alacaksınız. Peki bunun önüne nasıl geçebiliriz? Burada iteratif ortalama alma algoritmasını kullanacağız, kendisi aşağıdaki gibidir.

Her sayı için, ilgili sayıdan bir önceki sonucu çıkartıp, kaçıncı sayıda olduğumuza bölerek ilerlediğimiz bir algoritma Sürekli bölme işlemi içermesinden dolayı görece daha yavaş çalışacaktır. Fakat veri kümesi büyük sayılar içeriyorsa veya çok fazla eleman içeriyorsa kullanılabilir.

Geometrik Ortalama

Geometrik ortalama, aritmetik kadar yaygın kullanılmasa da bir çok özel durumda kullanılmaktadır. Bu durumlar:

• Serinin elemanları oransal bir değişiklik gösterdiğinde kullanılmaktadır.
• Sapan elemanların etkisini azaltma amacıyla kullanılmaktadır.
• n boyutlu şeklin büyüklüğünün (2 boyut için alan, 3 boyut için hacim gibi) aynı kalarak her bir boyutunun eşit uzunluğa sahip olduğu durumda bir boyutunun olacağı uzunluğunu bulmak için kullanılır. Bu durum daha açıklayıcı şekilde yazının devamında bulunmaktadır.
• Özellikleri farklı ölçüm birimi ile hesaplanmış bilgileri normalizasyon yapmadan basitçe karşılaştırmakta kullanılmaktadır.

Oransal değişiklik konusunu ile başlayalım. Basit bir şekilde elimizdeki dizi şeklinde sürekli ikiye katlanarak artıyor olsun. Bu dizinin ortalamasına ne demeliyiz? Eğer aritmetik ortalama alırsak sonuç çıkacaktır. Fakat oransal artışa göre baktığımızda ortalama olmalıdır. Beş oranında artan durumuna da bakalım. Oransal artışın orta noktası dir. Ama sayıların ortalamasına baktığımızda sonuç çıkacaktır. Oran arttırdıkça aritmetik ortalama ve geometrik ortalama arasındaki farkın arttığına dikkat ediniz.

Diğer kullanım durumlarına değinmeden formülü vereyim. Bu iş için kullanılan iki formül var.

ve

Bunlardan ilki en sık kullandığımız yöntemdir. Her iki yöntem için C# kodu yazacak olsak şöyle olurdu :

İlk örnekteki yer alan Linq'in metodunun iki argümanı vardır.Döngünün ilk turunda dizinin ilk iki elemanı olmak üzere, diğer tüm turlarda bu argümanlardan birisi mevcut elemanı diğeri bir önceki hesaplamadan dönen değeri verir. Yani dizisi için durumunda sırasıyla {2,4}, {8,16} şeklinde 2 tur dönecektir. Ve sonuç 8 * 16 = olarak bulunacaktır. Bu metod diğer programlama dillerinde reduce olarak geçmektedir.

Bu yöntemlerden hangisini kullanmalıyız diye soracak olursanız benim tercihim 2. yöntem olacaktır. Aritmetik ortalamada bahsettiğimiz taşma hatası, çarpa işleminde çok daha kolay oluşabilir. İkinci yöntem ise ilkine göre bir miktar yavaş çalışmaktadır. Fakat önemsenecek bir fark olmadığından ikincide kalmakta fayda var.

Sapan (outlier) veri olduğunda geometrik ortalama ile bu verilerin etkisi azaltılabilir. Fakat bu amaçla genellikle birazdan değineceğim harmonik ortalama kullanılmaktadır. Yine de harmonik ortalamanın hesaplanamadığı durumlarda bu amaçla kullanılabilir.

İşin gerçekten geometri ile ilgili olan kullanımına gelirsek, 3'e 9 luk bir dikdörtgen düşünün. Bu şeklin alanı 27dir. Peki alanı 27 olan karenin bir kenar boyutu kaçtır? 27 ise bunun karekökünü almak yeterli olacaktıseafoodplus.info da geometrik ortalama yaptığımızda sonuç ~ çıkacaktır. Zaten geometrik ortalama 2 boyut için düşünürsek bir dikdörtgenin alanını bulup daha sonra karekökünü almaktır. Bunu her boyut için uygulamak mümkündür.

Normalizasyon tüm özelliklerin aynı birimden ifade edilmesidir. Fakat pratik kullanımda, karşılaştırmalarda geometrik ortalama kullanılabilir. Örneğin sınırlı miktarda paranız var ve bir bilgisayar oyunu alacaksınız. İki farklı oyun yorum sitesi buldunuz, sitelerden birisi 5 üzerinden diğeri üzerinden puanlama yapıyor olsun. A oyunu için (7 - 85); B oyunu için (6 - 90) gibi puanlama yapılmış olsun. Eğer aritmetik ortalamalarını karşılaştırmak isterseniz sonuç A oyunu için 46, B için 48 çıkacaktır. Fakat geometrik ortalama da sonuçlar A için 24, B için 23 olduğundan tercih edilmesi gereken A olacaktır. Eğer normalizasyon yapsaydık sonuç A, B çıkacaktı ve sonuç değişmeyecekti.

Harmonik Ortalama

Eleman sayısının, elemanların çarpma işlemine göre tersinin toplamına bölümüne denir. Harmonik ortalamada dizinin elemanları bir bütünün eleman sayısı kadar eşit bölünmüş parçalarındaki ortalamalardır. Amacımızda genel ortalamayı bulmaktır.

Genellikle zamansal ortalamalar alındığında kullanılır. En tipik örnekler sürat ile konularda verilir. Başarımın ölçüldüğü hesaplamalarda da kullanılmaktadır.

A,B şehirleri arasındaki mesafenin yarısı 50km/s ile kalan yarısı km/s ile katedilmiş ise ortalama sürat ne kadardır?

Mesafeyi bilmiyoruz ama sürelerin eşit olduğunu biliyoruz. Bu durumda ortalamaları alırken mesafenin ne olduğu sonucu değiştirmeyecektir. Mesafeye km diyelim. Bu durumda ilk yarısını / 50 = 2 saat , kalan yarısını / = 1 saat de seafoodplus.info varsayıma göre yolculuk 3 saat sürmüştür. / 3 = 66 km/s ortalama sürat olarak bulunur. Mesafeyi ne alırsak alalım sonuç değişmeyecek demiştik. Bu durumda yerine parça sayısı olan 2 yi alalım ki kesirlerin tepesine 1 yazmış olalıseafoodplus.infouk (1/50 + 1/) saat sürecektir. 2 / (1/50 + 1/) de bize 66 verecektir. Bu durumu formülleştirirsek:

elde ederiz. Bunu C# ile yazmak istersek :

Şeklinde yazabiliriz. Geometrik ortalamada sapan elemanlar (outlier) dan bahsetmiştim kendileri veri kümesinin içerisinde diğer elemanlardan uyumsuz değerlere sahip olanlardır. Bu değerler doğruda olabilir, yanlış da fakat her türlü bilginin yorumlanmasına etkileri olacaktır. Özellikle örneklem boyutu azaldıkça bu etki doğrudan sonucu etkileyecektir.

Yaşlara göre gelir dağılımı alınıyor olsun ve bunun için kişi seçilmiş olsun. Eğer bu kişinin içerisine 20 yaşında bir milyarder denk gelirse yapılacak yorumlamalarda problem çıkacağı açıktır. 20 yaşa sahip 10 kişi ve gelirleri şu şekilde olsaydı : bu işlem için aritmetik ortalama bize sonucunu verecektir. Bu durumda 20 yaş için ortalama kazanç 18bindir demek pek mantıklı olmayacaktır. Fakat eğer işlemi geometrik ortalama ile yapacak olsaydık sonuç ile biraz daha mantıklı hale gelmiş olacaktı. Genellikle kullanılan harmonik ortalama ise bize değerini verecektir ki bu eleman listede olmasa aritmetik ortalama olacağından oldukça başarılı bir sonuç elde etmiş oluruz. Yine de gerçek senaryolarda mümkünse sapan değerler alınmazlar.

Sapan değerleri tespit etmek içinde girişteki "ortanca" değerden faydalanabiliriz.

Bölme işleminden dolayı harmonik ortalama 0 ve küçük olan değerlerde kullanılamaz. Yine sapan değer düşük değerlikli ise ortalamayı daha fazla etkilemektedir. Örneğin bir önceki değerler şeklinde olmuş olsunlar. Bir katılımcının geliri yanlışlıkla üç sıfır eksik yazılıp 2 olarak kayda geçtiğinde ortalamalar : değerlerini alır ki sonuç oldukça etkilenmiştir.

Kareli Ortalama

Kareli ortalama (root-mean-square , rms veya quadratic mean) her elemanın karelerinin aritmetik ortalamasının karekökü olarak hesaplanır.

Kareli ortalama bir çeşit uzaklıkların ortalamasını almayı sağlar. İstatistik de her bir elemanın ortalamadan uzaklığının kareli ortalamasının alınması standart sapmayı bulmayı sağlar ve istatistik standart sapmayı oldukça fazla kullandığı için bilinmesinde ben fayda görüyorum.

Kuvvet Ortalaması (Hölder mean)

Tek bir formülle tüm pisagorik ortalamaların (aritmetik,geometrik,harmonik,kareli) bulunmasını sağlar:

Sonuç

Konuda bahsi geçenler dışında daha bir çok ortalama türü bulunmaktadır. Fakat pisagorik ortalamalar genellikle yeterli olmaktadır.