Kütle Hacim Formülü

ŞekilHacim formülüDeğişkenler Küpa = kenar uzunluğu Silindirr = tabanın yarıçapı, h = yükseklik PrizmaB = taban alanı, h = yükseklik Dikdörtgenler prizmasıl = en, w = boy, h = yükseklik Küre veya r= yarıçap ve D=çap Elipsoita, b, c = eksenler PiramitB = taban alanı, h = yükseklik Konir = taban yarıçapı, h = yükseklik Düzgün dörtyüzlü^[1]kenar uzunluğu Herhangi bir dönel şekil ve Şeklin alt ve üst sınırlarını belirleyen fonksiyon

Özkütle nedir sorusunun fizikte yanıtı bir cismin kütlesininhacmine oranıdır. Bir maddenin birim hacmine ne kadar kütle sıkıştırılmış, yani yoğun olduğunun göstergesidir. Bu yüzden yoğunluk da denir. Matematiksel olarak özkütle ya da yoğunluk şöyle gösterilir (Özkütlenin veya yoğunluğun formülü):

d=\frac{m}{V}

m cismin kütlesini, V hacmini gösterir.

Özkütlenin birimi kg/m³&#;tür, g/cm³ olarak da verilebilir. Kütle ve hacim skaler olduğu için özkütle de skalerdir, ayrıca türetilmiş bir büyüklüktür.

Yoğunluk sabit sıcaklık ve basınçta sabittir, ama sıcaklık ya da basınç değişirse o da değişir. Çünkü hacim, sıcaklık ve basınca göre değişir (oysa kütle değişmez). Özkütle maddenin ayırt edici bir özelliğidir, sabit sıcaklık ve basınçta tüm maddelerin özkütleleri birbirinden farklıdır.

Grafiklerden Özkütle Hesaplama

Bir öğrenci 5 cam bilye ile bir deney yapıyor. Odanın sıcaklığının ve basıncının sabit olduğunu kabul ediyor. Amacı cam için kütle ve hacim ilişkisini araştırmak. Bunun için cam bilyelerin kütlelerini ölçüyor, sonra birer birer su dolu dereceli silindirin içine atarak hacimlerini ölçüyor. Ölçüm sonuçları aşağıdaki tabloda verilmiş. Son sütunda kütlenin hacme oranını hesaplayıp yazmış.

Kaç bilye	Kütle &#; m (g)	Hacim &#; V (cm3)	m / V (g / cm3)
1	5	2	2,5
2	10	4	2,5
3	15	6	2,5
4	20	8	2,5
5	25	10	2,5

Bu verileri kullanarak üç grafik çizebiliriz:

Kütle hacim grafiğinden yoğunluk

Tablodaki verilerden eğer kütle ve hacim sayı çiftlerini kullanırsak bir grafik çizebiliriz. Bu grafik şöyle görünür.

Kütlenin hacme bağlı olarak nasıl değiştiğini gösteren fonksiyon bir doğrudur (mavi çizgi). Bu doğrunun eğimi kütlenin hacme oranını yani özkütleyi verir. Kütle hacim grafiği bize kütle arttıkça hacmin de arttığını ve özkütlenin sabit kaldığını gösteriyor. Bu grafiğe göre özkütleyi, mavi doğrunun üstündeki herhangi bir noktayı kullanarak hesaplayabiliriz. Örneğin (m,V)=(15 g, 6 cm³) noktasını alalım:

d=\frac{m}{V} = \frac{15 \space g}{ 6 \space cm^3}= 2,5 \space g/cm^3

Özkütle hacim grafiği

Tablodaki verilerden son sütunda yer alan özkütle ile buna karşılık gelen hacim sayı çiftlerini kullanarak bir grafik daha çizebiliriz.

Özkütlenin hacme göre nasıl değiştiğini gösteren fonksiyon hacim eksenine paralel bir doğrudur (yeşil çizgi), eğimi sıfırdır. Hacim artsa da özkütle sabit kalıyor. Bu, özkütle hacme göre değişmez anlamına gelir. Hacim artmasına rağmen cam bilyelerin özkütlesi 2,5 g/cm³ kalmış.

Özkütle kütle grafiği

Tablodaki verilerden özkütle ile buna karşılık gelen kütle sayı çiftlerini kullanarak son bir grafik daha çizebiliriz.

Özkütlenin kütleye göre değişimini gösteren fonksiyon kütle eksenine paralel bir doğrudur (mor çizgi), eğimi sıfırdır. Kütle artsa da özkütle değişmiyor. Bu, özkütle kütleye göre değişmez demektir. Kütle artsa da cam bilyelerin özkütlesi hep 2,5 g/cm³ olmuş.

Farklı maddelerin kütle hacim grafikleri ile özkütle karşılaştırması

Aşağıdaki tabloda farklı dört metalin eşit hacimleri için (V = 10 cm³) kütle ve özkütle değerleri verilmiş.

Madde türü	Kütle &#; m (g)	Hacim &#; V (cm3)	m/V (g / cm3)
Demir	78	10	7,8
Kurşun		10	11,3
Cıva		10	13,6
Altın		10	19,3

Bu değerlerin kütle hacim grafiğinde gösterimi şöyledir:

Özkütle arttıkça kütle hacim grafiğinin eğimi artar. Üstteki grafikte en dik eğimin altının, sonra cıvanın, sonra kurşunun, en son da demirin eğimi olduğu görülüyor.

Saf maddeler için özkütle hesaplanması

Saf maddeler tek bir element ya da bileşikten oluşur, yapılarında yabancı başka madde bulunmaz. Örneğin, saf su, altın, gümüş, cıva ya da kurşun saf maddedir. Saf maddelerde özkütle hesaplanırken tanımda verdiğimiz matematik modeli kullanılır.

Örnek soru 1 &#; Özkütle ve hacimden kütle hesaplama

Özkütlesi 2,7 g/cm³ olan saf alüminyumdan yapılmış hacmi 20 cm³ olan bir bloğun kütlesi kaç gramdır?

Çözüm:

Özkütlenin tanımını hatırlayalım.

d = \frac{m}{V}

Buradan kütleyi çekebiliriz. Eşitliğin iki tarafını da V ile çarpalım.

V \times d =\frac{m}{\cancel{V}} \times \cancel{V}m = d \times V

Artık sayıları yerleştirebiliriz.

m= 2,7 \space g/cm^3 \times 20 \space cm^3 = 54 \space g

Örnek soru 2 &#; Özkütle ve kütleden hacim hesaplama

Kütlesi g, özkütlesi 0,8 g/cm³ olan saf etil alkolün hacmi kaç cm³&#;tür?

Çözüm:

Yine tanımdan başlayalım:

d = \frac{m}{V}

Bu kez hacmi çekelim. Eşitliğin iki tarafını da önce V ile çarpalım, sonra d&#;ye bölelim.

V \times \cancel{d} \times \frac{1}{\cancel{d}} = \frac{m}{\cancel {V}} \times \cancel{V} \times \frac{1}{d}V=\frac{m}{d}

Şimdi sayıları yerleştirebiliriz.

V=\frac{ \space g}{0,8 \space g/cm^3} = \space cm^3

Karışımlar ve alaşımlar için özkütle hesaplanması

İki ya da daha fazla saf maddenin bir araya gelmesiyle oluşan maddelere karışım denir. Şekerli su, tuzlu su ve hava karışımdır. Biri metal olmak üzere iki ya da daha fazla maddenin bir araya gelmesinden oluşan maddelere alaşım denir. Örneğin tunç, bakır ve kalay metallerinin oluşturduğu bir alaşımdır. Aşağıdaki örnek soru sadece Fen Lisesi öğrencileri için, bunu isterseniz geçebilirsiniz.

Örnek soru 3 &#; Etil alkol ve su karışımının özkütlesi

Özkütleleri sırasıyla 0,8 g/cm³ ve 1 g/cm³ olan etil alkol ve saf su karıştırılarak homojen bir karışım elde ediliyor. Kullanılan etil alkolün hacmi 50 cm³, saf suyunki 70 cm³ ise, karışımın özkütlesi kaç g/cm³ olur?

Çözüm:

Tanım tanım tanım. Hepsi tanımdan çözülür. Son kütleyi son hacme bölünce karışımın özkütlesi bulunur. Kütleleri hesaplayıp toplayacağız, sonra hacimleri hesaplayıp toplayacağız. Toplam kütlenin toplam hacme oranı özkütleyi verecek.

d_{karisim}=\frac{m_{toplam}}{V_{toplam}}m_{toplam} = m_{etil \space alkol} + m_{su}m_{etil \space alkol} = d_{etil \space alkol} \times V_{etil \space alkol}m_{etil \space alkol} = 0,8 \space g/cm^3 \times 50 \space cm^3 = 40 \space gm_{su} = d_{su} \times V_{su}m_{su} = 1 \space g/cm^3 \times 70 \space cm^3 = 70 \space gm_{toplam} = 40 \space g + 70 \space g = \space gV_{toplam} = V_{etil \space alkol} + V_{su} V_{toplam} = 50 \space cm^3 + 70 \space cm^3 = \space cm^3d_{karisim}=\frac{ \space g}{ \space cm^3} = 0,92 \space g/cm^3

Bu sorunun sonucu önemli. Bize karışımın özkütlesinin karışımı oluşturan maddelerin özkütleleri arasında olduğunu gösteriyor. d_su > d_karışım > d_{etil alkol}. Aşağıdaki grafik bu sonucun özeti.

Eşit hacimli ya da eşit kütleli iki maddenin homojen karışımının özkütle formüllerini çıkarabilirsiniz, ama kesinlikle ezberlemeyin. Hangisi hangisiydi unutursunuz, tanımdan çözmek her zaman daha kolaydır ve garantilidir.

Günlük hayatta özkütle

• Kuyumcular altının kaç ayar olduğunu belirlemek için getirilen takıların özkütlesini hesaplar. Örneğin, 22 ayar altın bir alaşımdır, %91,6 saf altın içerir, gerisi bakır gibi başka metallerden oluşur.
• Porselen yapımında, farklı sertlik ve dayanıklılıkta malzeme üretmek için hangi maddeden ne kadar koymak gerektiği özkütleler hesaplanarak belirlenir.

Özkütle Problemleri

1. Yarıçapı 10 cm olan küre şeklindeki bir bakır topun kütlesi ne kadardır? (d_bakır = 8,96 g/cm³)
2. Bir ayrıtı 20 cm olan küp şeklinde bir tahta bloğun kütlesi 5,6 kg olduğuna göre, özkütlesi kaç g/cm³&#;tür?

Özkütle ile ilgili Fizik dersi Kazanımları

Özkütleyi, kütle ve hacimle ilişkilendirerek açıklar.

• Sabit sıcaklık ve basınçta ölçüm yapılarak kütle-hacim grafiğinin çizilmesi; kütle, hacim ve özkütle kavramları arasındaki matematiksel modelin çıkarılması sağlanır.
• Kütle-özkütle, hacim-özkütle grafiklerinin çizilmesi ve yorumlanması sağlanır.
• Karışımların özkütlelerine değinilir. Matematiksel hesaplamalara girilmez.
• Archimedes ve el-Hazini’nin özkütle ile ilgili yaptığı çalışmalara kısaca değinilir.

Günlük hayatta saf maddelerin ve karışımların özkütlelerinden faydalanılan durumlara örnekler verir.

• Kuyumculuk, porselen yapımı, ebru yapımı gibi özkütleden faydalanılan çalışma alanlarına değinilir.

Hacim nedir sorusunun cevabı bir cismin uzayda yani boşlukta kapladığı yerdir. Uzay üç boyutludur bu yüzden hacim her zaman üç boyutludur. V simgesiyle gösterilir. Katıların, sıvıların ve gazların; genel olarak maddenin ortak özelliğidir. Belirli bir basınçta ve sıcaklıkta katıların ve sıvıların belirli bir sabit hacmi vardır, gazlar ise içine konuldukları kabın hacmini alırlar, hacimleri değişkendir.

Hacim birimleri ve birim dönüşümleri

Hacim skalerdir ve türetilmiş bir niceliktir. Hacmin birimi metreküptür (m³). Bir metreküp, ayrıtları 1 m olan bir kübün hacmine eşittir. Metreküp cinsinden birimler biner biner azalır ve artar. Aşağıdaki tablo bunu gösteriyor:

Birim	m3 karşılığı
metreküp (m3)	1
desimetreküp (dm3)	10-3
santimetreküp (cm3)	10-6
milimetreküp (mm3)	10-9

Ayrıca özellikle sıvıların hacmini ölçerken litre (L) sıklıkla hacim birimi olarak kullanılır.

1 litre = 1 dm³ = cm³ = 10^-3 m³

Litre&#;nin askatları onar onar azalır. Aşağıdaki tabloda bu görülüyor:

Birim	Litre karşılığı
litre (L)	1
desilitre (dL)	10-1
santilitre (cL)	10-2
mililitre (mL)	10-3

Örnek soru &#; Hacim birim dönüşümü litreden metreküpe

Bir insan ömrü boyunca ortalama L tükürük salgılar. Salgılanan tükürüğün hacmi (a) kaç m³&#;tür (b) kaç cm³&#;tür?

Çözüm:

(a) Önce 1 litreyi (L) 1 m³&#;e dönüştürelim.

1 L = 10^-3 m³

Şimdi eşitliğin iki tarafını da ile çarpalım.

L = x 10^-3 m³

= 24,5 x 10³

Öyleyse derli toplu yazınca:

L = 24,5 x 10³ x 10^-3 m³ = 24,5 m³

(b) Artık elimizde kaç metreküp tükürük olduğunu biliyoruz. Şimdi metreküpü santimetreküpe dönüştürelim.

Öncelikle 1 cm³ = 10^-6 m³ olduğunu üstteki tablodan biliyoruz.

Eşitliğin iki tarafını da 10⁶ ile çarpalım.

10⁶ cm³ = 10⁶ x 10^-6 m³

10⁶ cm³ = 1 m³

Şimdi 24,5 m³&#;ü cm³ cinsinden yazalım.

24,5 m³ = 24,5 x 10⁶ cm³

Düzgün Geometrik Cisimlerin Hacimleri nasıl hesaplanır?

Küp

Küpün hacmi bir kenarının üç kez kendisiyle çarpılmasıyla hesaplanır.

V_küp = a x a x a = a³

a küpün her ayrıtının uzunluğudur.

Kare prizma

Kare prizmanın hacmi taban alanıyla yüksekliğinin çarpımıyla bulunur. Taban alanı bir karedir.

V_{kare prizma} = a x a x h = a²h

a tabandaki karenin bir kenarının, h yüksekliğin uzunluğudur.

Dikdörtgenler prizması

Dikdörtgenler prizmasının hacmi taban alanıyla yüksekliğin çarpımıyla hesaplanır.

V_{dikdörtgenler prizması} = a x b x h = abh

a ve b tabandaki dikdörtgenin kenar uzunlukları, h yüksekliğin uzunluğudur.

Silindir

Silindirin hacmi taban alanıyla yüksekliğin çarpımıyla bulunur. Taban alanı dairedir.

V_silindir = πr² x h = πr²h

r tabandaki dairenin yarıçapının, h silindirin yüksekliğinin uzunluğudur.

Küre

Kürenin hacmi şöyle bulunur:

V_{kure} = \frac{4}{3} \pi r^3

r kürenin yarıçapının uzunluğudur.

Koni

Koninin hacmi şöyle bulunur:

V_{koni} = \frac{1}{3} \pi r^2h

r tabandaki dairenin yarı çapıdır, h koninin yüksekliğidir.

Hacim nasıl ölçülür?

Katıların, sıvıların ve gazların hacimlerini ölçmek için çeşitli yöntemler kullanabiliriz.

Katıların hacmi nasıl ölçülür?

Düzgün geometrik şekilli katıların hacmi hesaplanabilir, ama hesaplamakla ölçmek aynı şey değildir.

Dereceli Silindir

Düzgün şekli olan ve olmayan tüm katı cisimlerin hacmini dereceli silindirin içine konulmuş bir sıvının silindirin içinde yükselme miktarından bulabiliriz. Su, içine cisim girince yükselir çünkü cismin hacmi kadar yer değiştirir. Ancak bu sadece sıvıda batan cisimler için geçerlidir. Örneğin, tahta bir bloğun hacmini dereceli silindirin içinde su kullanarak ölçemeyiz.

1. Önce dereceli silindirin içine su koymalısınız. Ölçmek istediğiniz cismin hacminden daha fazla su koymalısınız, yoksa ölçemezsiniz.
2. Ölçmek istediğiniz cisim suda yüzmemeli, tamamen batmalı, yoksa hacmini eksik ölçersiniz.
3. Önce sadece su dolu silindirin suyun yüzeyindeki işaretinin kaç mL olduğunu okuyun ve kaydedin.
4. Sonra cismi dereceli silindirin içine dikkatlice bırakın. Çok hızlı atarsanız su silindirin dışına sıçrayabilir, ölçümünüzde hata olur.
5. Şimdi içinde cisim ve su olan silindirdeki suyun yüzeyinin denk geldiği çizgiyi okuyun ve kaydedin.
6. Artık cismin hacmini bulabilirsiniz: 5. adımdaki hacim değerinden 3. adımdaki hacim değerini çıkarın.

Resimdeki örnekte dereceli silindirin içinde yalnız su varken hacim değeri mL, cismi attıktan sonra mL olmuş. Öylese bu cismin hacmi mL &#; mL = 60 mL.

Taşırma Kabı

Taşırma kabı (Evreka kabı da denir) üstünde bir boru olan kavanoz gibi bir şeydir. Borunun seviyesine kadar su doldurursunuz ve borunun altına da bir başka boş kavanoz ya da beher yerleştirirsiniz. Hacmini ölçmek istediğiniz şeyi taşırma kabının içine bırakırsınız, yine dışarı su sıçratmamaya dikkat etmeniz gerekir. Sonra içine cisim girince taşırma kabındaki su yükselir (taşar) ve borudan akmaya başlar. Borudan su akışı kesilinceye kadar beklersiniz, bitince ikinci kavanozda biriken suyun hacmini ölçersiniz ve katı cismin hacmini ölçmüş olursunuz.

Sıvıların hacmi nasıl ölçülür?

Sıvıların hacmi dereceli kaplarla ölçülür, dereceli silindir örneğinde bunu gördük. Aşağıda bir kaç dereceli kap (bunlara beher de denir) resmi görülüyor.

Birbirine karışmayan sıvılarda sıvıların ayrı ayrı hacimlerini ölçeriz, toplam hacim ikisinin toplamı olur. Birbirine karışan sıvılarda hacim ayrı ayrı ölçüldüğünden biraz daha az olur.

Gazların hacmi nasıl ölçülür?

Gazların hacmi sıcaklığa ve basınca göre değişir. Bir gazın hacminden bahsederken daima hangi sıcaklıkta ve hangi basınçta ölçümün yapıldığı söylenmek zorundadır. Aşağıdaki resimde kimyasal tepkime sonucu ortaya çıkan bir gaz borudan geçerek içi sıvı dolu bir dereceli silindiri dolduruyor. Sıvı gazla yer değiştiriyor. Böylece dereceli silindirde biriken gazın hacmini okumamız mümkün oluyor.

Hacim ile ilgili Fizik dersi Kazanımları

Özkütleyi, kütle ve hacimle ilişkilendirerek açıklar.

• Düzgün geometrik şekilli cisimlerden küp, dikdörtgenler prizması, silindir, küre ve şekli düzgün olmayan cisimler için hacim hesaplamaları yapılır. Kum-su problemlerine girilmez.