Rasyonel Ne Demek Matematik
Rasyonel Sayı Tanımı
Paydası sıfır olmamak şartıyla, iki tam sayının birbirine oranı şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir. Rasyonel sayılar kümesi \( \mathbb{Q} \) sembolü ile gösterilir.
\( \mathbb{Q} = \left\{ \dfrac{a}{b}: a, b \in \mathbb{Z}, b \ne 0 \right\} \)
Aşağıdaki kesirli ifadeler tanım gereği birer rasyonel sayıdır.
\( \dfrac{1}{2}, -\dfrac{4}{3}, 2\dfrac{4}{5} \)
Bir kesre dönüştürülebilen ondalık sayı ve yüzdeli ifadeler birer rasyonel sayıdır.
\( 1,5 = \dfrac{3}{2} \)
\( \%75 = \dfrac{3}{4} \)
Tam sayılar kesirli ifade şeklinde yazılabildikleri için aynı zamanda birer rasyonel sayıdır.
\( 0 = \dfrac{0}{1} \)
\( 1 = \dfrac{1}{1} = \dfrac{2}{2} = \dfrac{5}{5} \)
\( -2 = -\dfrac{2}{1} = -\dfrac{4}{2} = -\dfrac{10}{5} \)
Virgülden sonra sonlu sayıda basamağı olan ondalık sayılar, bir kesirli ifadeye dönüştürülebildikleri için birer rasyonel sayıdır.
\( 0, \) \( = \dfrac{}{} \)
Devirli ondalık sayılar ondalık basamakları tekrar ederek sonsuza gitse de, bir kesirli ifadeye dönüştürülebildikleri için birer rasyonel sayıdır.
\( 0, = 0,\overline{3} = \dfrac{1}{3} \)
\( 2, = 2,\overline{27} = \dfrac{25}{11} \)
Özetlemek gerekirse, rasyonel sayıların ya virgülden sonra sonlu sayıda basamağı vardır, ya da bu basamaklar sonsuza gidiyorsa bir basamaktan sonra kendini tekrar eder.
\( \pi \) ve \( e \) sayılarının virgülden sonraki basamakları tekrar etmeden sonsuza gittiği için rasyonel sayılar kümesine dahil değildirler. \( \pi \) sayısı her ne kadar bazı sorularda karşımıza \( 3,14 \) veya \( \frac{22}{7} \) olarak çıksa da, bu \( \pi \) sayısının gerçek değeri olmayıp, sorularda hesaplama kolaylığı açısından verilen yaklaşık bir değerdir.
\( \sqrt{2}, \sqrt[3]{15}, \sqrt[4]{95} \) gibi kökten çıkamayan ifadeler virgülden sonraki basamakları tekrar etmeden sonsuza gittiği için rasyonel sayılar kümesine dahil değildirler.
\( a \ne 0 \) olmak üzere, \( \frac{a}{0} \) biçimindeki ifadeler tanımsızdır ve ne rasyonel sayılar ne de herhangi diğer bir sayı kümesine dahil değildirler. Yine \( a \ne 0 \) olmak üzere, \( \frac{0}{a} \) biçimindeki ifadelerin ise 0'a eşit olduğunu unutmayalım.
Sayı doğrusu üzerinde işaretleyeceğimiz birbirinden farklı iki rasyonel sayı arasında sonsuz sayıda rasyonel sayı vardır.
\( a, b, c, d \in \mathbb{Z}, \quad b \ne 0, \quad d \ne 0 \),
\( \dfrac{a}{b} \lt \dfrac{c}{d} \) olmak üzere,
\( \dfrac{a}{b} \) ve \( \dfrac{c}{d} \) rasyonel sayılarının ortalamasını, yani sayı doğrusu üzerindeki orta noktalarını bulalım.
Ortalama: \( \dfrac{\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d}}{2} = \dfrac{ad + bc}{2bd} \)
\( a, b, c, d \) birer tam sayı olduğu için \( ad + bc \) ve \( 2bd \) ifadeleri de birer tam sayıdır, dolayısıyla bu orta noktanın karşılık geldiği sayı da bir rasyonel sayıdır.
Bu orta nokta ile rasyonel sayılardan herhangi biri ile bu işlemi ne kadar tekrarlarsak tekrarlayalım, elde edeceğimiz sayı yine bir rasyonel sayı olacaktır.
İspatta hata bildirin
Rasyonel Sayıların Gösterim Şekilleri
Rasyonel sayıları ifade etmek için üç farklı yöntem kullanabiliriz.
- Kesir gösterimi
- Ondalık sayı gösterimi
- Yüzde gösterimi
Kesirler, ondalık sayılar ve yüzdeler birbirinden farklı sayılar değil, rasyonel sayıları ifade etmekte kullanabileceğimiz üç farklı gösterim şeklidir. Dolayısıyla, herhangi bir rasyonel sayıyı bu üç gösterim şekliyle de gösterebiliriz, her bir gösterimin sayı doğrusu üzerinde karşılık geldiği nokta aynı olacaktır.
Paydaları eşit olan rasyonel sayılar[değiştir kaynağı değiştir]
İki rasyonel sayının eşitliği, o sayıların pay ve paydalarının rasyonel olmasıyla anlaşılır. olmak üzere
ve
iki rasyonel sayı ise bu iki sayı ancak
olduğunda eşittir.
Bu koşul, yukarıdaki tanımdan çıkartılabilir. İki rasyonel sayı aynı denklik sınıfındaysa birbirine eşittir, Denklik bağıntısı da zaten koşulunu içermekteydi.