Terim Sayısı Formülü

Genellikle testlerde yanlış bulduğunuz değer de zaten seçenekler arasında yer alıyordur. Terim sayısı meselesini anlamak için temel kavramlar konusuna çalışmanız gerekir. Bu yazıda aşağıdaki sorulara cevap verilecektir.

Terim sayısı nedir

Matematikte artan bir dizideki eleman sayısı terim sayısı ile ifade edilir. Birçok soruda dizide geçen eleman sayısı bizim için önemli olmaktadır. Örneğin 4, 6, 8, ... 100 dizisinde kaç terim olduğu bilgisi soruda bize lazım olabilir. Bunun için birazdan anlatılan yöntemler kullanılarak hesaplama yapılabilir.

Dizilerdeki eleman sayısının yanında bir aralıkta ya da bir kümede kaç tane eleman olduğu da yine aynı mantık ile bulunur. Mesela 7 ile bölünebilen 3 basamaklı doğal sayılar kaç tanedir tarzında bir soruyla karşılaştığımızda yine terim sayısı mantığını kullanacağız.

Terim sayısı nasıl bulunur?

Terim sayısını bulmak için geçerli bir formül vardır. Bu formül birçok derde deva olmaktadır.

Terim sayısı = (son terim - ilk terim) / artış miktarı + 1

Yukarıdaki formülle birçok soruyu rahatlıkla çözebiliriz.

Örneğin yukarıda verdiğimiz örnek üzerinden gidelim. 4, 6, 8, ... 100 dizisindeki terim sayısını bulalım.

Soruda ilk terim = 4, son terim = 100 artış miktarı = 2'dir. Öyleyse terim sayısı [(100 - 4) / 2] + 1 = 49 şeklinde kolaylıkla bulunur.

Terim sayısı toplamı nasıl hesaplanır

Bir dizide yer alan sayıların toplamını bulmak için genel bir formül kullanılır. Sayılar 1'den başlıyor ve ardışık ise n.(n + 1) / 2 formülü işimize yarayacaktır.

Bu formülle birçok basit soruyu rahatlıkla çözebiliriz. Örneğin 1'den 10'a kadar olan sayıların toplamı istendiği zaman n = 10 olur. Buradan 10.11/2 = 55 bulunacaktır.

Ancak daha karışık sorularda bu formül yeterli olmayabilir. Çünkü bu formül sayıların ardışık olduğu varsayımına dayalıdır. Formül zaten şuradan gelmektedir. 1'den 10'a kadar sayıları toplarsak 5 tane 11 elde ederiz. 1 + 10, 2 + 9, 3 + 8, 4 + 7, 5 + 6 bu şekilde bütün sayıları toplamış oluyoruz.

Terim sayısı toplamı için bütün koşullarda işe yarayacak formülü de verelim.

Toplam = (son terim + ilk terim).(son terim - ilk terim + artış miktarı) / (2.artış miktarı)

Yukarıdaki formül sayılar ardışık olmadığında ve farklı artış düzenine sahip olduğunda kullanılabilecek en genel formüldür. Bu formülü aklınızda tutarsanız bütün soruları çözersiniz.

Terim sayısı problemleri nasıl çözülür

Terim sayısı problemleri bilgiyle birlikte matematik pratikliği gerektirmektedir. Yukarıda verilen formüller bütün sorular için yeterlidir ancak formülleri kullanmayı bilmemiz gerekir.

Örneğin ilk başta verdiğimiz örnek üzerinden devam edelim. 4, 6, 8, ... 100 dizisindeki terim sayısını 49 olarak bulmuştuk. Şimdi de bu terimlerin toplamını bulalım.

Artış miktarı 1 olmadığı için ilk formülü değil de ikinci formülü kullanmanız gerekiyor. Ancak ikinci formül uzun olduğundan pratik çözüm için birinci ve basit formülü kullanabiliriz. Terim toplamı için n.(n + 1)/2 formülünü kullanmak istiyoruz. Ancak soru o formatta değil. Öncelikle 1'den başlamıyor ve de 1'er artmıyor.

Soruda diziyi 2 parantezine alırsak eğer 2.(2 + 3 + 4 + 5 ... 50) şeklinde dönüşecektir. Şimdi n.(n + 1)/2 formülü parantezin içi için kullanabiliriz. Ancak parantezin içi 1'den başlamıyor. Öyleyse 1'den başlıyor gibi muamele edip sonra toplamdan 1 çıkarabiliriz. Bu durumda parantezin içi 50.51/2 - 1 olacaktır. Bu da bize 1274 değerini verecektir. Şimdi de parantezin başındaki 2 ile çarpalım. 1274 x 2 = 2548 bulunur.

Gördüğünüz gibi soruyu basit hale getirip çözme seçeneği mevcuttur.

Yukarıda terim sayısını 49 bulmuştuk. Bunu formül kullanmadan da yapabiliriz. Şöyle ki, her terimi 2'ye böldüğümüzde terim sayısı değişmeyecektir. Öyleyse dizimiz 2, 3, 4, ... 50 olacaktır. Burada düşünmemiz gereken şudur. Eğer dizi 1 ile başlasaydı yani 1, 2, 3 ... 50 şeklinde olsaydı 50 terim olacaktı. Öyleyse 1 terim eksik olduğuna göre 49 terim vardır.

Terim sayısı, artan bir dizideki eleman sayısını temsil eder. Pozitif yönde artışın yaşanması ile beraber terim sayısı oluşmaktadır. Belirli aralıklarda, pozitif yönde artış gösteren bir dizilişte terim sayısını bulmak için formülün bilinmesi gerekecektir. Terim sayısını bulmanın yanı sıra terimlerin toplamı da ayrı bir işleme tabi tutulur. Terimler toplamı da bu doğrultuda farklı bir formülle karşımıza çıkar. Matematik sorularında sıklıkla karşımıza çıkan bu konunun iyi bilinmesi, soruların çözülmesini kolaylaştıracaktır. Terim sayısının formülünü bilmeden, soruları çözmek mümkün değildir. Sınavlarda sıklıkla karşımıza çıkan terim sayısının formülü merak edilmekte ve sıklıkla araştırılmaktadır.

Terim Sayısı Formülü

Matematikte önemli bir yere sahip terim sayısı, sınavlarda çokça karşımıza çıkar. Bu tarz soruları çözebilmek için, terim sayısının formülünü bilmek gerekecektir. Terim sayısının bilinen tek formülü şu şekilde karşımıza çıkar:

Terim sayısı = (Son terim - ilk terim) / artış miktarı + 1

Artış miktarı aynı oranda olan sayıların ilk ve son terimi biliniyorsa, terim sayısı kolayca bulunacaktır. Terim sayısının formülünü ezberlemek, bu noktada büyük avantaj sağlayacaktır.

Terim Sayısı Bulma

Terim sayısını bulmak için öncelikle formülünü bilmek gerekir. Belirli bir diziliş şeklinde artan sayıların hesaplanması için, son terimin ve ilk terimin verilmiş olması gerekir.

Standart bir artışın olduğu bu dizilimde, terim sayısını bulmak için formülü uygulamak gerekecektir. Örneğin, 2,4,6,…96 şeklinde giden bir dizilimde formülden yararlanarak ((96-2)/2) +1 şeklinde bir işlem yapılır.

Terim Sayısı Toplam Formülü

Terim sayısının yanı sıra, verilen terim sayılarının toplamını bilmek de önemlidir. Özellikle problemlerde karşımıza çıkan sorularda terimler toplamını iyi bilmek gerekecektir.

Terim sayısına göre daha karmaşık görünen bu formülü bilmek, birçok soruyu rahatlıkla çözmemize yardımcı olur. Terim sayısının toplam değerini bulmak için formüle ihtiyacımız vardır. Terim sayısının toplam formülü şu şekildedir:

Terimler toplamı = (son terim + ilk terim).(son terim - ilk terim + artış miktarı) / (2. artış miktarı)

Terim Sayısı Nasıl Bulunur?

Terim sayısını bulmak için formüle ihtiyacımız olacaktır. Ardışık olarak giden sayı düzeninde son terim- ilk terim/ artış miktarı +1 şeklinde bir çözüm yapılır. Örnek vermek gerekirse; 4,6,8…100 dizisindeki terim sayısını bulmak için son terim 100 ve ilk terim 4'ün farkı alınır. Artış miktarı 2 olan bu terimlerin formülü şu şekilde olur:

((100-4)/2+1 )

Terim Sayısı : Matematik Terimleri Sözlüğünde artan bir dizideki eleman sayısı olarak ifade edilmektedir. Sınavlarda karşımıza gelen sorularda dizide geçen eleman sayısını bulmayı gerektiren çok fazla durum karşımıza çıkmaktadır. Terimler Toplamı ile alakalı bölümümüzü inceleyerek Terimler Toplamı Formülü hakkında detaylı bilgilere ulaşabilirsiniz.

Terim Sayısı Soruları Çözümleri

✓ Soru 1 :  4, 6, 8, … 100 dizisinde kaç terim vardır?

Terim Sayısı Formülü = {(Son Terim — İlk Terim)/ Artış Miktarı} + 1

= {(100 — 4)/ 2} + 1

= {(96)/ 2} + 1

= {48} + 1

 = 49

✓ Soru 2 : 3 ile bölünebilen iki basamaklı kaç doğal sayı vardır?

Sorulan soru karşımıza iki basamaklı doğal sayılardan kaç tanesi 3 ile tam olarak yani kalansız olarak bölünebilmektedir şeklinde de gelebilmektedir.

3 ile bölünebilen iki basamaklı sayılar : 12 , 15 , 18 , 21 , ….. , 99

Terim Sayısı Formülü = {(Son Terim — İlk Terim)/ Artış Miktarı} + 1

= {(99 — 12)/ 3} + 1

= {(87)/ 3} + 1

= {29} + 1

= 30

✓ Soru 3 :  7 ile bölünebilen üç basamaklı kaç doğal sayı vardır?

Sorulan soru karşımıza üç basamaklı doğal sayılardan kaç tanesi 7 ile tam olarak yani kalansız olarak bölünebilmektedir şeklinde de gelebilmektedir.

7 ile bölünebilen üç basamaklı sayılar : 105 , 112 , 119 , 126 , ….. , 994

Terim Sayısı Formülü = {(Son Terim — İlk Terim)/ Artış Miktarı} + 1

= {(994 — 105)/ 7} + 1

= {(889)/ 7} + 1

= {127} + 1

= 128

✓ Soru 4 :  25 ile bölünebilen dört basamaklı kaç doğal sayı vardır?

Sorulan soru karşımıza dört basamaklı doğal sayılardan kaç tanesi 25 ile tam olarak yani kalansız olarak bölünebilmektedir şeklinde de gelebilmektedir.

25 ile bölünebilen dört basamaklı sayılar : 1000 , 1025 , 1050 , ….. , 9975

Terim Sayısı Formülü = {(Son Terim — İlk Terim)/ Artış Miktarı} + 1

= {(9975 — 1000)/ 25} + 1

= {(8975)/ 25} + 1

= {359} + 1

= 360





Terim Sayısı Bulma (Terim Sayısını Bulma)



Terim Nedir ?



Bir dizide, + veya – işareti ile birbirinden ayrılmış sayıların her birine terim denir. Bir dizide bulunan terimlerin sayısına (adetine) ise o dizinin terim sayısı denir. Örneğin aşağıda verilen dizilerden 1. dizinin terim sayıs 5, 2. dizinin terim sayısı 7 ve 3. dizinin terim sayısı ise 6'dır.



3 + 4 + 5 + 6 + 7 (Terim Sayısı 5'tir)

3 - 3 + 3 - 3 + 3 - 3 + 3 (Terim Sayısı 7'dir)

1² + 3² + 5² + 7² + 9² + 11² (Terim Sayısı 6'dır)



Terim Sayısı Nasıl Bulunur ? (Terim Sayısı Formülünün İspatı)



Bir dizinin terim sayısını bulabilmek için, dizinin ardışık iki terimi arasındaki farkın hep aynı olması gerekir. Eğer bir dizinin ardışık iki terimi arasındaki fark hep aynı değil ise bu dizinin terim sayısını aşağıda vereceğimiz formül yardımıyla bulamayız. Bir dizinin sol en baştaki terimine ilk terim, sağ en sondaki terimine ise son terim denir. Ardışık iki terim arasındaki sabit farka ise artış miktarı denir.





Yukarıdaki dizide; x dizinin ilk terimi, x+nk dizinin son terimi, k ise artış miktarıdır. Dikkat ederseniz eğer, dizinin son teriminde kaç tane k var ise dizide de onun bir fazlası kadar terim vardır.



x + (x+k) için;

Dizinin son teriminde 1 tane k vardır ve dizinin terim sayısı 2'dir.

x + (x+k) + (x+2k) için;

Dizinin son teriminde 2 tane k vardır ve dizinin terim sayısı 3'tür.

x + (x+k) + (x+2k) + (x+3k) için;

Dizinin son teriminde 3 tane k vardır ve dizinin terim sayısı 4'tür.



O zaman, dizinin son terimi olan x+nk'de n tane k olduğuna göre dizinin terim sayısı n+1 olur. Buna göre bir dizide kaç tane terim olduğunu (dizinin terim sayısını) bulmak istiyorsak eğer, en son terimdeki k sayısının önündeki sayının (n) değerini bulup buna 1 eklememiz gerekir.



x + (x+k) + (x+2k) + (x+3k) + ... + (x+(n-1)k) + (x+nk)



Yukarıdaki dizinin terim sayısını (n + 1) bulabilmek için, ilk önce x'i yok etmemiz gerekir. x+nk'den x'i çıkarırsak nk kalır.

x+nk - x = nk

İkinci adım olarak k'yi yok etmemiz gerekir. Bunun için, nk'yi k'ye böleriz.

nk/k = n

Son olarak n'e 1 ekleriz.

n + 1

Yukarıdaki üç adımı birleştirirsek. (x+nk - x)/k + 1 = n + 1 şeklinde bir sonuç elde ederiz.



x+nk: Son Terim

x: İlk Terim

k: Artış Miktarı

n + 1: Terim Sayısı



Buradan;





Örnek 1

3 + 6 + 9 + ... + 75 + 78 Dizisinin terim sayısı kaçtır ?



Cevap

T.S. = (S.T. - İ.T.)/A.M. + 1

S.T. = 78

İ.T. = 3

A.M. = 3

T.S. = (78 - 3)/3 + 1

T.S. = 75/3 + 1

T.S. = 25 + 1

T.S. = 26 olur.



Örnek 2

23 + 27 + 31 + 35 + ... + 255 + 259 Dizisinin terim sayısını bulunuz ?



Cevap

T.S. = (S.T. - İ.T.)/A.M. + 1

S.T. = 259

İ.T. = 23

A.M. = 4

T.S. = (259 - 23)/4 + 1

T.S. = 236/4 + 1

T.S. = 59 + 1

T.S. = 60 olur.



Örnek 3

13 + 15 + 17 + ... + n Dizisinin terim sayısı 44 ise n'in değeri kaçtır ?



Cevap

(S.T. - İ.T.)/A.M. + 1 = T.S.

(n - 13)/2 + 1 = 44

(n - 13)/2 = 44 - 1

(n - 13)/2 = 43

n - 13 = 2.43

n - 13 = 86

n = 86 + 13

n = 99 olur.



Örnek 4

İlk terimi 36 Son terimi 351 olan bir dizinin terim sayı 64 ise artış miktarını bulunuz ?



Cevap

T.S. = (S.T. - İ.T.)/A.M. + 1

64 = (351 - 36)/A.M. + 1

64 - 1 = 315/A.M.

63 = 315/A.M.

63A.M. = 315

A.M. = 315/63

A.M. = 5 olur.