Matematikte, tek fonksiyon ve çift fonksiyon, aralarında simetri ilişki bulunan ve toplamaya göre tersleri olan fonksiyonlardır. Matematiksel analizin birçok alanında, özellikle kuvvet serisi ve Fourier serisinde sıkça kullanılır. Kuvvet fonksiyonununeş kuvvetlerine göre adlandırılır ve şu şartı şağlar: Eğer n çift tam sayı ise, f(x) = xn, çift fonksiyon; n tek tam sayı ise, fonksiyon tek fonksiyondur.
Tanım ve örnekler[değiştir
Yansıma
SORU 1:
\( f(x) = -x^2 - 6 \) fonksiyonuna aşağıdaki dönüşümler sırasıyla uygulanıyor.
3 birim sağa öteleme
2 birim aşağıya öteleme
\( y \) eksenine göre yansıma
\( x \) eksenine göre yansıma
Buna göre elde edilen fonksiyonun en küçük değeri kaç olur?
Çözümü Göster
Fonksiyonu 3 birim sağa ötelemek için fonksiyonun girdisinden 3 çıkarılır.
\( f(x - 3) = -(x - 3)^2 - 6 \)
Fonksiyonun 2 birim aşağıya ötelemek için fonksiyonun çıktısından 2 çıkarılır.
\( f(x - 3) - 2 = -(x - 3)^2 - 6 - 2 \)
\( = -(x - 3)^2 - 8 \)
Fonksiyonun \( y \) eksenine göre yansımasını almak için fonksiyonun girdisinde \( x \) yerine \( -x \) yazılır.
\( f(-x - 3) - 2 = -(-x - 3)^2 - 8 \)
Fonksiyonun \( x \) eksenine göre yansımasını almak için fonksiyonun çıktısı \( -1 \) ile çarpılır.
\( -(f(-x - 3) - 2) = -(-(-x - 3)^2 - 8) \)
\( -f(-x - 3) + 2 = (-x - 3)^2 + 8 \)
\( = x^2 + 6x + 17 \)
Bir parabol olan fonksiyon en küçük değerini tepe noktasında alır.
Tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,
\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{6}{2} = -3 \)
\( k = (-3)^2 + 6(-3) + 17 = 8 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 2:
\( f(x) = 2x - 7 \) fonksiyonunun orijine göre yansıması önce 5 birim sola, sonra 1 birim yukarıya öteleniyor.
Elde edilen fonksiyonun denklemini bulunuz.
Çözümü Göster
Bir fonksiyonun orijine göre yansımasını almak için girdisi ve çıktısı \( -1 \) ile çarpılır.
\( -y = 2(-x) - 7 \)
\( y = 2x + 7 \)
Fonksiyonu 5 birim sola ötelemek için \( x \) yerine \( x + 5 \) yazılır.
\( y = 2(x + 5) + 7 = 2x + 17 \)
Fonksiyonu 1 birim yukarıya ötelemek için fonksiyonun çıktısına 1 eklenir.
\( y = 2x + 17 + 1 = 2x + 18 \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 3:
Analitik düzlemde verilen \( ABC \) dik üçgeni önce 3 birim sağa, sonra 2 birim aşağıya ötelendikten sonra \( y = x \) doğrusuna göre yansıması alınıyor.
Yeni üçgenin köşe koordinatlarının ordinatları toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
\( ABC \) üçgenine uygulanan tüm dönüşümler üçgenin köşelerine aynı şekilde yansır.
\( (5, 4) \) noktası 2 birim aşağıya ötelendiğinde \( (5, 2) \) noktası elde edilir.
Dönüşüm 3: \( y = x \) doğrusuna göre yansıma
Bir noktanın \( y = x \) doğrusuna göre yansıması alınırken \( x \) ve \( y \) değerleri aralarında yer değiştirir.
\( (5, -1) \) noktasının \( y = x \) doğrusuna göre yansıması alındığında \( (-1, 5) \) noktası,
\( (9, -1) \) noktasının \( y = x \) doğrusuna göre yansıması alındığında \( (-1, 9) \) noktası,
\( (5, 2) \) noktasının \( y = x \) doğrusuna göre yansıması alındığında \( (2, 5) \) noktası elde edilir.
Buna göre oluşan üçgenin köşe koordinatlarının ordinatları toplamı \( 5 + 9 + 5 = 19 \) olarak bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 4:
\( f(x) = x^3 + n \) fonksiyonunun önce \( x \) eksenine göre yansıması alınıyor, sonra 4 birim yukarı ve 3 birim sağa öteleniyor.
Son durumda \( A(-3, ) \) noktası grafiğin üzerinde olduğuna göre \( n \) kaçtır?
Çözümü Göster
Bir fonksiyonun \( x \) eksenine göre yansıması alınırken fonksiyonun çıktısı -1 ile çarpılır.
\( -f(x) = -(x^3 + n) = -x^3 - n \)
Bir fonksiyon 4 birim yukarı ötelenirse çıktısına 4 eklenir.
\( -f(x) + 4 = -x^3 - n + 4 \)
Bir fonksiyon 3 birim sağa ötelenirse girdisinden 3 çıkarılır.
\( -f(x - 3) + 4 = -(x - 3)^3 - n + 4 \)
\( A(-3, ) \) noktası bu fonksiyonun grafiği üzerinde olduğuna göre bu denklemi sağlamalıdır.
\( -(-3 - 3)^3 - n + 4 = \)
\( - n + 4 = \)
\( n = 5 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 5:
\( \log{\abs{x}} + 3 \) fonksiyonunun grafiği \( y = x \) doğrusu ile kaç noktada kesişir?
Çözümü Göster
Önce \( \log{x} \) fonksiyonuna iki dönüşüm uygulayarak sorudaki fonksiyonu elde edelim.
\( \log{x} \mapsto \log{\abs{x}} \)
Fonksiyonun girdisinin mutlak değeri alındığında \( y \) ekseninin solunda kalan noktalar (varsa) silinir ve \( y \) ekseninin sağında kalan noktaların \( y \) eksenine göre yansıması oluşur.
\( \log{\abs{x}} \mapsto \log{\abs{x}} + 3 \)
Bir fonksiyonun çıktısına 3 birim eklendiğinde grafiği 3 birim yukarı ötelenir.
Aşağıda bu dönüşümler sonucunda oluşan fonksiyonun ve \( y = x \) doğrusunun grafikleri verilmiştir.
\( y = x \) doğrusunun fonksiyonun \( y \) ekseninin solunda kalan kısmını tek noktada kestiğinden emin olabiliriz, \( y \) ekseninin sağında kalan kısmını kesip kesmediğinden ya da kesiyorsa kaç noktada kestiğinden emin olmak için ya bir programla grafiğini çizmeliyiz ya da iki denklemi ortak çözmeliyiz.
Alternatif olarak \( y = x \) doğrusunun fonksiyonun \( y \) ekseninin sağında kalan kısmını 2 noktada kestiğini daha pratik bir yöntemle bulabiliriz.
Verilen logaritma fonksiyonunda \( y = 0 \) verip \( x \) değerini ve \( x = 1 \) ve \( x = 10 \) verip \( y \) değerlerini hesapladığımızda fonksiyonun aşağıdaki noktalardan geçtiğini buluruz.
\( (10^{-3}, 0), (1, 3), (10, 4) \)
Bu noktalardan 1. ve 3.sünün ordinat değerleri apsis değerlerinden küçük olduğu için \( y = x \) doğrusunun altında kalır, 2. noktanın ise ordinat değeri daha büyük olduğu için \( y = x \) doğrusunun üstünde kalır.
Buna göre fonksiyon grafiğinin doğrunun altındayken doğruyu kesip üstüne geçtiği, sonra tekrar kesip altına indiği sonucuna varabiliriz.
Buna göre verilen fonksiyon ve doğru 3 noktada kesişirler.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 6:
\( f(x) = 3^x - 5 \) fonksiyonu verilmiştir. Buna göre aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi ya da hangileri tüm tanım aralığında artandır?
\( -f(x) \)
\( f(-x) \)
\( -f(-x) \)
Çözümü Göster
Tabanın 1'den büyük olduğu üstel fonksiyonlar tüm reel sayılarda artandır. Fonksiyonun çıktısından 5 çıkarırsak tüm noktalar 5 birim aşağıya öteleneceği için fonksiyon yine artan olur.
I. öncül: \( -f(x) \) fonksiyonu \( f(x) \) fonksiyonunun \( x \) eksenine göre simetriğidir, dolayısıyla artan grafik azalan bir grafiğe dönüşür.
II. öncül: \( f(-x) \) fonksiyonu \( f(x) \) fonksiyonunun \( y \) eksenine göre simetriğidir, dolayısıyla artan grafik azalan bir grafiğe dönüşür.
III. öncül: \( -f(-x) \) fonksiyonu \( f(x) \) fonksiyonunun hem \( x \) hem de \( y \) eksenine göre simetriğidir, dolayısıyla artan grafik yine artan olur.
Buna göre sadece III. önermedeki fonksiyon artandır.
