Lineer Homojen Diferansiyel Denklemler

Matematikte ve uygulamalarında ele alınan birçok kavram iki veya daha fazla de˘ gi¸skene sahip olan fonksiyonlar ile ifade edilir. ¨ Orne˘ gin, dünyä uzerindeki bir noktanın S sıcaklı˘ gı bu noktanın boylamı olan x ile enlemi olan y de˘ gi¸skenlerine ba˘ glıdır. Benzer¸sekilde, bir silindirin V hacmi taban yarıçapı r ile yüksekli˘ gi olan h de˘ gi¸skenlerine ba˘ glıdır. ˙ Iki De˘ gi¸skenli Fonksiyonlar D, düzlemde bir bölge, yani D ⊂ R 2 olsun. D bölgesindeki her (x, y) sıralı ikilisini f (x, y) ile gösterilen tek türlü belirli bir reel sayıya kar¸sılık getiren f kuralına iki de˘ gi¸skenli bir fonksiyon denir. D bölgesi f (x, y) fonksiyonunun tanım kümesi olarak adlandırılır. f (x, y) fonksiyonunun görüntü kümesi f fonksiyonunun D bölgesindeki noktalara kar¸sılık aldı˘ gı de˘ gerlerin kümesidir, yani {f (x, y) : (x, y) ∈ D} kümesidir. Bir (x, y) noktasında f fonksiyonunun aldı˘ gı de˘ ger genelde z = f (x, y) ile gösterilir. Bu gösterimde x ile y ba˘ gımsız de˘ gi¸skenler, z ise ba˘ gımlı de˘ gi¸skendir. Bu gösterim ile S sıcaklı˘ gı, x boylamı ve y enlemi cinsinden S = f (x, y) ile, silindirin V hacmi V (r, h) = πr 2 h ile gösterilir. Bir formül ile verilen iki de˘ gi¸skenli bir f fonksiyonunun tanım kümesi kesin olarak belirtilmemi¸sse bu fonksiyonun tanım kümesi verilen formülü iyi tanımlı yapan tüm (x, y) noktalarının kümesi olarak alınır. ¨ Orne˘ gin, f (x, y) = x ln (y 2 − x) fonksiyonunun tanım kümesi logaritmanın tanımlı oldu˘ gu D = { (x, y) : x < y 2 } kümesidir. f fonksiyonu, tanım kümesi D olan iki de˘ gi¸skenli bir fonksiyon ise f fonksiyonunun grafi˘ gi G = { (x, y, z) ∈ R 3 : z = f (x, y) , (x, y) ∈ D } kümesidir. Tek de˘ gi¸skenli bir f fonksiyonunun grafi˘ gi y = f (x) ile verilen ve iki boyutlu bir¸sekil olan C e˘ grisidir. Di˘ ger taraftan, iki de˘ gi¸skenli bir f fonksiyonunun grafi˘ gi z = f (x, y) ile verilen vë uç boyutlu bir¸sekil olan S yüzeyidir. Uygulamalarda iki de˘ gi¸skenli bir fonksiyonun grafi˘ giniçizmek tek de˘ gi¸skenli bir fonksiyonun grafi˘ giniçizmekten daha zordur. z = f (x, y) fonksiyonunun S grafi˘ gi tanım kümesinin tam olarak altında veyä ustünde kalan xy-düzlemindeki izdü¸sümü ile görselle¸stirilebilir.